借“表”助“思”領悟精髓

徐如權(quán)

【摘要】表格在小學數(shù)學中經(jīng)常出現(xiàn)，它不僅直觀形象，還可以促進學生思考，找到知識特點，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，從而提高學生解決問題的能力有利于學生進行自主探索與合作交流.文章從利用表格整理歸納、比較分析、探究規(guī)律到創(chuàng)設表格解決生活實際問題等方面進行展開，以培養(yǎng)學生會借助表格進行分析和解決問題的意識，提高學生的應用能力為目標，闡述教師在小學數(shù)學教學中如何利用表格促進學生自主探究.

【關鍵詞】表格；自主探究；核心素養(yǎng)

在實際教學過程中筆者體會到，小學生的探究意識和探究能力是有限的，需要不斷引導才能提高.探究性學習的實施策略雖然很多，但真正具有操作性、行之有效的辦法卻不多，利用表格來引導學生探究，不斷提高學生的探究能力和水平是一種很好的做法.表格，有利于學生觀察；有利于學生整理數(shù)學素材；有利于學生的分析比較；有利于學生抽象概括出一般規(guī)律；有利于學生運用數(shù)學，提高解決問題的能力，能夠使學生掌握數(shù)學的思想和方法，并應用于生活實際.

一、直觀梳理，表現(xiàn)其意

小學數(shù)學教材中有一些能幫助學生探究的表格，但受到教材編寫篇幅和格式的限制，省略了許多操作的過程和使用的辦法，教師應有目的地創(chuàng)設情境，利用表格進行梳理，對教材內(nèi)容進行豐富和改編，營造探索氛圍，增強操作性.這樣才能真正促進學生的發(fā)展.

（一）看表想“類”

數(shù)學分類思想就是根據(jù)數(shù)學對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種思想.要抓住事物的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，對于學生來說比較抽象，那么教師可引導學生通過表格的形式進行探究找到事物的本質(zhì)屬性，將其分類.

案例1：“三角形的分類”.在“三角形的認識”這節(jié)課中，學生學習了三角形的概念、特征以后就要接著學習三角形按角分類的知識.多媒體屏幕上有之前研究過的6個三角形，教師設計一份統(tǒng)計分析報告，發(fā)給每個學生，讓他們根據(jù)統(tǒng)計報告的內(nèi)容對三角形進行分類.學生通過對統(tǒng)計分析報告的填寫和觀察，不僅對三角形按角分類有了明確的認識，還發(fā)現(xiàn)了許多新知識.如圖1所示，三角形的角的特點用數(shù)字化的方式加以呈現(xiàn)，如：①號和②號都有3個銳角，③號和④號都有2個銳角、1個直角，⑤號和⑥號都有2個銳角、1個鈍角，還發(fā)現(xiàn)所有的三角形都至少有2個銳角，一個三角形中最多只有一個直角或一個鈍角等.這樣學生對分類的情況一目了然，這些知識都是學生自己發(fā)現(xiàn)的，很有成就感，因此學習積極性非常高.

（二）看表歸“征”

通過表格來尋求知識的特征，是表格重要作用.學生學習時在表格中進行標記、進行觀察、進行分析，將數(shù)學思維方法形象化，使數(shù)學思維方式更加簡單高效，找到內(nèi)在的聯(lián)系，理解數(shù)學概念及其難點，最終探索到數(shù)學知識的特征.

案例2：在五下教材第10頁“3的倍數(shù)的特征”中有這樣一個表格（新教材的表中去掉了100，進行了修改，這樣更便于找到3的倍數(shù)的特征）.讓學生從表格中圈出3的倍數(shù)的數(shù).

如圖2所示，在表格的幫助下，學生發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的數(shù)呈斜線狀，也就輕而易舉地找到了3的倍數(shù)的規(guī)律.表格讓這樣的規(guī)律一目了然.同時學生看出了3的倍數(shù)的特征是一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù).顯然，這個表格發(fā)現(xiàn)來自學生，更具有代表性.教師在分組探究的基礎上，學生能把表格中所觀察到的特征表達出來，得出3的倍數(shù)的特征已不成問題，也為以后探究其他數(shù)的倍數(shù)特征有了學習策略和研究方法.

這樣利用表格對知識進行梳理、探究，發(fā)現(xiàn)其特征的過程，不僅能培養(yǎng)學生的觀察力和表達能力，還能促進學生的思維的發(fā)展，提高學生學習數(shù)學的興趣.

二、步步為營，由表及里

學生在探究性學習過程中，往往因探究目標不明或探究難度過大而放棄探究.教師應根據(jù)探究材料的特點設計一些表格，使探究的目標集中，降低探究的難度，形成探究的梯級結(jié)構(gòu)，便于學生找到知識的規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系.

（一）探表尋“規(guī)”

數(shù)形結(jié)合不僅是一種數(shù)學思想，也是一種很好的學習方法.教師引導學生在學習中運用表格把“形”和“數(shù)”有機地結(jié)合，既能促進學生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，又能促進學生的可持續(xù)性發(fā)展.

案例3：在六下教材第100頁“數(shù)學思考”例1中有一張表格，它是一道非常典型又比較抽象的數(shù)形結(jié)合題.為了使學生自己發(fā)現(xiàn)并真正理解點數(shù)與線段數(shù)之間的關系，教師設計了一份探究學習表，發(fā)給每個學生進行探究.

學生從2個點開始探究，通過連一連的實際操作，很好地把“形”展現(xiàn)了出來.但只有“形”，還不能解決我們的需求，這就需要教師引導學生合理利用表格，將數(shù)和形完美地結(jié)合起來，以便達到問題所需要的結(jié)果.

如圖3所示，學生通過合作交流后的反饋來看，用紅線表示增加的線段，因此點數(shù)、增加條數(shù)和總條數(shù)之間的關系已經(jīng)是顯而易見了.通過上述表格的連、填、算、想，學生分三個層次逐步發(fā)現(xiàn)這類問題的規(guī)律.第一層次是探究根據(jù)點數(shù)畫出圖形，找到“形”；第二層次是探究“形”與數(shù)之間的聯(lián)系，每增加1個點，增加線段的數(shù)量與原有點數(shù)的數(shù)量相同；第三層次是整理對比發(fā)現(xiàn)：線段總條數(shù)就是1到點數(shù)減1的所有自然數(shù)相加的和，構(gòu)成一個等差數(shù)列.這樣利用表格，恰到好處地把數(shù)與形進行結(jié)合，降低了對這一內(nèi)容探究的難度，使學生始終處于積極的探究活動之中.

（二）探表溝“算”

在平時的教學中，我們經(jīng)常會采取列舉的方法來解決問題，當數(shù)據(jù)較多時，就會利用表格進行列舉.表格不僅可以對數(shù)據(jù)進行排列，而且可以清晰地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，從而提煉出精準的算式，以便快速地解決問題.

案例4：在四下教材第104頁“雞兔同籠”中，有這樣一個表格.新教材將其安排在四年級，刪去了方程解法，更加突出了列表法和假設法的作用.這節(jié)課中教師可充分發(fā)揮學生的主體性，讓學生根據(jù)自己的想法去完成表格.為了更能突出學生思維的靈活性和隨意性，教師將表格進行了簡單的修改.

學生的反饋如圖4所示，他們都是根據(jù)“兔和雞一共有8只”這一數(shù)量關系列出不同的數(shù)量組合方式，算出每種可能性的腳數(shù)，再與實際腳數(shù)對比，最后進行篩選，找到所需答案.接著教師引導學生進一步探究表格，組內(nèi)交流，班級交流，逐步找到表格中蘊含的假設思想.數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的精髓，其形成必須建立在學生的認知水平和經(jīng)驗基礎之上，“隱性”的經(jīng)驗經(jīng)過列表、篩選、調(diào)整，才會顯現(xiàn)出靈活、巧妙的“活”方法.因此學生通過對表格觀察、計算、對比，不難發(fā)現(xiàn)每增加1只雞減少1只兔，總腳數(shù)會隨之減少2只或每增加1只兔減少1只雞，總腳數(shù)會隨之增加2只.只是發(fā)現(xiàn)的這些規(guī)律是不夠的，我們需要把這些發(fā)現(xiàn)與假設法的算法有機的溝通.通過對表格的探究，學生們能找到數(shù)量之間的聯(lián)系，從而得出抽象的算式.這樣從列表格到假設法解決“雞兔同籠”問題已水到渠成.雖然學生探究的結(jié)果不一定完善，但是正是經(jīng)歷了這種從表格中列舉到抽象出用數(shù)學算式解答的過程，學生才真正體驗了數(shù)學的思想和方法，同時產(chǎn)生了學習數(shù)學的興趣.

三、遷移生活，表里相應

表格這一形式是解決實際問題的中介.因此培養(yǎng)學生合理創(chuàng)設表格、分析表格的能力，讓學生會用數(shù)學去思考問題，將現(xiàn)實生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學思想，是最終解決問題所不可或缺的.在小學高年級的數(shù)學活動中，教師讓學生有意識地創(chuàng)設表格、分析表格來探究數(shù)學知識是比較常見的.

（一）創(chuàng)表解“難”

我國地大物博，資源豐富，但由于人口眾多，人均資源比較少，如果能讓學生利用表格認識到數(shù)學的統(tǒng)籌優(yōu)化等重要意義，將促進學生更好地理解數(shù)學、認識數(shù)學，提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

案例5：在生活中，存在著怎樣購買門票、怎樣租車租船等難題，都需要利用數(shù)學的方法去解決，其中創(chuàng)設表格也是一種常見的手段.如四下教材第10頁的“租船問題”.要解決租船問題中怎樣租船最省錢的問題，它不僅要考慮人均單價，還要考慮是否坐滿，對于這兩個關鍵點的分析是缺一不可的.學生對于滿座情況下每條大小船的人均租金是比較容易得出，一致認為租大船更劃算，但如果都是安排大船時會有空位，對這一個關鍵點就比較難突破了.所以教師應該引導學生通過創(chuàng)設表格來進行探究，不斷優(yōu)化策略，最終找到最優(yōu)方案.

學生的思考過程如圖5所示，教師有意識引導學生把解決問題的關鍵要素進行整理，表格中需要體現(xiàn)的素材如大小船的數(shù)量，可坐人數(shù)，空出座位，租金等，再自主創(chuàng)設表格進行探究.通過列表格、計算租金、比較租金，學生可以很顯然租4條大船和2條小船這種方案最省錢.雖然從表中已解決問題，但應該再次深入挖掘全租大船到租4條大船和2條小船之間的聯(lián)系，讓學生體驗知識的探究過程：從租大船時有空位，可以把沒坐滿的那條大船上的人數(shù)與小船可坐人數(shù)進行比較，如果這條大船上的人數(shù)小于或等于小船可坐人數(shù)時那就把這條大船調(diào)整為小船；如果還有空位，可以拆1條大船補1條小船的方式進行調(diào)整（如果拆1條大船補兩條小船就不劃算了），最后得出盡可能多租大船且最好能坐滿時最省錢.利用表格讓學生切實經(jīng)歷“嘗試—調(diào)整—比較—發(fā)現(xiàn)”并最終找到答案的過程.這樣不僅促進了學生的探究能力，提高了學習樂趣，發(fā)散了學生的思維還培養(yǎng)了學生會用數(shù)學的眼光和思想去解決生活問題.

（二）創(chuàng)表提“生”

學好數(shù)學，發(fā)展社會.現(xiàn)實中學生不僅要學習數(shù)學，還要會用數(shù)學知識和方法解決生活中的實際問題.因此，學生可以自創(chuàng)表格，進行多角度分析，概括總結(jié)出多種解決問題的方法，發(fā)散思維，增強數(shù)學運用意識，從而提升對生活的體驗和感知能力.

案例6：在小學數(shù)學中利用表格法來探究實際問題比較常見，如六下教材第67頁“自行車里的數(shù)學”是一節(jié)綜合實踐活動課，根據(jù)探究要求，學生要研究自行車前后輪的齒數(shù)關系，找到蹬同樣的圈數(shù)，哪種組合使自行車走得遠？教師要引導學生創(chuàng)設表格，并對各種組合數(shù)據(jù)進行記錄、對比、分析用數(shù)學的眼光去探究自行車里的秘密.

學生通過自主創(chuàng)設表格，從中找到了前齒輪和后齒輪的關系，如圖6.

學生不僅發(fā)現(xiàn)了自行車前后輪齒數(shù)和所轉(zhuǎn)圈數(shù)的數(shù)量關系：前齒輪齒數(shù)×圈數(shù)=后齒輪齒數(shù)×圈數(shù)，并通過計算齒數(shù)，還發(fā)現(xiàn)了怎樣的齒數(shù)組合蹬一圈，能使自行車行得最遠.這樣會設計表格，運用表格后，對于“蹬同樣的一圈，怎樣的齒數(shù)搭配才能使自行車走得更遠”的問題已是水落石出了.在表格中，學生除了用數(shù)學的思維解決問題外，通過對自行車騎行的體驗后還發(fā)現(xiàn)前后齒數(shù)的比值越大，騎起來越吃力，比值越小，騎起來越輕松.也明白了雖然前后齒輪齒數(shù)的比值越大，蹬一圈會行得遠，但是也要根據(jù)自己的力氣來進行調(diào)節(jié)，否則騎起來會非常吃力.這樣的學習，拉近了數(shù)學與生活的距離，真正體會到生活與數(shù)學是緊密相連的.

表格對提高學生的解題能力非常有效，還會促進學生用數(shù)學的頭腦思考問題，分析問題，突破問題.

總之，教師利用表格來開展探究性學習，是行之有效的教學手段.它使探究性學習更加易于操作、實施，并將有助于提高學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學、創(chuàng)造數(shù)學、運用數(shù)學的能力和數(shù)學素養(yǎng).

【參考文獻】

[1]國家教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版，2022.

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