促進學生核心素養發展的小學數學思維可視化路徑探索

【摘要】隨著課程改革的不斷深化，教育更加重視學生思維品質的提升和綜合能力的發展，然而思維是看不見的，它的傳遞和學習難度很大。本文基于思維可視化對促進學生思維發展的現實意義，探索小學數學思維可視化的路徑和方法，引導學生通過將數學思維“畫”出來、“說”出來、“做”出來，促進學生不斷完善數學思考的路徑和方法，發展數學思維，提升數學核心素養。

【關鍵詞】小學數學 思維可視化 路徑 核心素養

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）22-0083-05

數學被稱為思維的體操?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數學課標》）以學生發展為本，以核心素養為導向，首次將“會用數學的眼光觀察現實世界”“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”（以下簡稱“三會”）作為數學課程要培養的學生三方面核心素養。而所謂數學思維，指的是數學課程為人們提供的一種理解與解釋現實世界的思考方式。這種思考方式還是培養學生數學眼光、數學表達的思想基礎?！?022年版數學課標》明確指出：“通過數學的思維，可以揭示客觀事物的本質屬性，建立數學對象之間、數學與現實世界之間的邏輯聯系；能夠根據已知事實或原理，合乎邏輯地推出結論，構建數學的邏輯體系；能夠運用符號運算、形式推理等數學方法，分析、解決數學問題和實際問題；能夠通過計算思維將各種信息約簡和形式化，進行問題求解與系統設計；形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，培養科學態度與理性精神?！币虼耍l展數學思維有助于全面提升學生的數學核心素養。

科學思維是人腦對客觀現實間接的概括的反映，反映的是事物的本質和事物間規律性的聯系?？茖W思維因其內隱于人的大腦之中，導致其傳遞和學習的難度遠遠大于純粹的知識與技能?？茖W思維比科學知識更重要，這已是不爭的事實。因此，教師提高教學效益的關鍵并不在于知識重復的次數，而在于挖掘和呈現知識背后的思維規律并訓練學生掌握這種思維規律。近年來，隨著知識可視化研究的深入推進，人們知道了可以對知識表征進行可視化呈現，于是思維可視化的研究便提上了日程。所謂思維可視化，指的是運用一系列圖示技術把本來不可見的思維（思考方法和思考路徑）呈現出來，使其清晰可見的過程。在教育領域，思維可視化側重于呈現知識表征背后的思維規律、思考方法、思考路徑，尤其強調對思考方法及思考路徑的梳理與呈現。那么，在小學數學教學中，怎樣才能將不可見的思維呈現出來呢？教學實踐中，筆者較常使用的三種策略是讓學生將數學思維“畫”出來、“說”出來、“做”出來，收到了較好的教學效果。

一、將數學思維“畫”出來，讓思維觸手可及

圖像思維是思維的一種特殊形式，是人類用眼睛接收視覺信息后，在頭腦中對所接收的信息進行圖像化的記憶、理解和加工的過程。這個理解和加工的過程，包含了對所接收的視覺信息進行解碼和呈現的過程，通過對所解碼的信息進行加工，把自己的理解用圖像的形式呈現出來。在教育學領域，畫圖是學生表征思維、教師觀察學生思維行之有效的方法。研究表明，大腦比較喜歡圖示學習和記憶，人類對圖像的記憶力遠勝于對文字的記憶力，一張整體感強、重難點突出的圖片可以讓大腦瞬間明了它的含義。小學數學教師指導學生借助思維導圖、模型圖、表格等圖示技術，用圖像的形式直觀呈現自己進行數學思考的過程，打通數學抽象與現實世界聯系的通道，讓學生的數學思維可視化，從而促進學生更好地了解、理解、記憶、運用數學思維規律和方法，不斷提升數學思維品質。

（一）借助思維導圖，讓思維結構可視化

思維導圖是進行知識梳理時強有力的思維可視化工具，常用的思維導圖有氣泡圖、樹形圖、括號圖、流程圖、魚骨圖等。學生利用思維導圖，可以將一個個零散的知識點整合為一個知識群，從整體上理解所學知識與方法，建構數學思維的邏輯關系，形成自己的知識體系。教師通過分析學生的思維導圖，可以看見學生眼中的知識結構，再現他們知識形成的軌跡，從而了解學生思維發展的過程和現狀。每一個學生的思維都是獨特的，對于同一個學習內容，不同的學生制作的思維導圖極有可能不同。課堂教學中，教師可以借助學生豐富多彩的思維導圖作品，拓寬學生的思路，發展學生的數學思維，促進學生完善知識結構、領悟數學本質，進而形成和發展數學核心素養。

例如，教學人教版數學五年級上冊第六單元“多邊形的面積”，在整理單元知識時，有的學生將本單元知識點平行四邊形的面積公式、三角形的面積公式、梯形的面積公式一一羅列出來進行呈現，這樣的整理，尚未對知識進行結構化處理，知識點還是零散的；有的學生在此基礎上將與知識點相關的概念一層一層地往下挖，將公式推導的過程羅列出來，借助思維導圖的形式讓同學和老師看到了知識點之間的聯系，看到了一個連續的結構化的多邊形面積公式知識框架。借助思維導圖這個思維工具，學生可進一步發現：用梯形的面積公式s=（a+b）h÷2，完全可以計算長方形、正方形、平行四邊形、三角形的面積。如：當上底縮短為0時，便可溝通三角形與梯形的聯系；同樣，將上底擴大、下底縮小，直到上下底相等時，梯形就變成了長方形、正方形或平行四邊形。這樣，梯形面積公式就成了以上這些平面圖形的“通用公式”。內容結構可視化，為學生搭建了新的認知框架，不僅加深了學生對多邊形的認識，而且將學生的思考引向縱深，使學生在系統化、結構化的思考過程中發現了多邊形面積之間的內在聯系，從而發展了學生思維的深刻性和靈活性。

由上可知，思維導圖不僅可以幫助學生梳理整合所學內容，使學生的知識結構更加清晰，而且有利于學生的數學思維從零散走向系統、從分散走向聯系、從碎片化走向結構化，從而幫助學生學會用數學的眼光觀察問題、用數學的思維分析問題、用數學的語言建構知識之間的有機聯系。

（二）借助數形結合，讓思考過程可視化

在日常教學中，數學教師們都有這樣的體會：對學生來說，完成作業也許不是多難的事，但要學生說清作業中的道理卻是非常艱難，學生往往不知道從何說起，也不知道用怎樣的語言進行表達。數形結合既是一種重要的數學思想，也是運用數學語言表達數學規律的一種數學表達方式。在問題解決教學中，教師可以引導學生通過畫圖表征題意、表達思考過程，或者借助畫圖厘清數量關系，找到解決問題的方法，同時將題目中的道理用數形結合的方式表達出來，使自己的思考過程被看見，從而更容易實現師生之間、生生之間的思維交流與碰撞。

例如，教學一年級“6+（ ）=10”這一內容時，筆者了解到，經歷了學前教育的小學生其實都可以確定6+4=10，但為了看到學生思考的過程，筆者開始追問學生：“都認為括號里面要填的數字是4嗎？請把你的想法寫出來或畫出來。”此問，筆者給學生指引了三個思考的方向，一個是寫，一個是畫，一個是邊寫邊畫，旨在讓學生通過畫計算過程，促進對10以內加減法的計算方法探究和對算理的理解，這也是小學計算教學與學前教育的重要區別。在筆者的追問下，學生的思維火花綻放，總共呈現了如圖1所示的四種想法。

同樣的答案，背后隱藏著學生不同的思考方法和路徑：“方法一”靠數數數出了結果；“方法二”通過畫圖找到了答案；“方法三”的學生借助想加算減得到了結果，已經具備一定的推理意識；“方法四”的學生根據數的組成得出了結果。借助數形結合，學生將內隱的心智通過圖示技術呈現出來，讓思維觸手可及。教師由此觀察到學生的思維路徑，便可以有針對性地調整課堂教學策略，發展學生的計算思維。

數形結合不僅可以促進學生的數學思考，而且可以讓學生通過閱讀他人的圖示看到他人的思考過程，從而促進生生之間的思維交流與碰撞，進而促進學生的思維發展。高年級的數學問題解決教學，尤其需要學生學會借助數形結合的方法厘清問題當中所隱含的數量與數量關系。例如下面的問題：“弟弟的零花錢比哥哥少12元，哥哥的零花錢比弟弟多[15]，弟弟的零花錢有多少？”這樣的題目，僅靠閱讀文字，學生往往無從下手，如果借助如圖2所示的線段圖作為思維的支架，便可以清楚地看到題目之中所隱含的各個數量及其間的數量關系。

以圖呈思、以圖促思、以圖明理，學生運用數形結合的方法溝通形象思維和抽象思維，突破原有認知，促進數學理解，進而完成對知識的再創造，發展數學思維，最終順利解決問題。

二、將數學思維“說”出來，讓思維全程展現

美國國家實驗室總結出來的學習金字塔理論認為，在諸多學習方式中，聽講、閱讀、視聽、演示這些被動學習方式，相對于討論、實踐、教授給他人這些學習方式而言，學習內容的留存率要低很多。這就是說，課堂教學中，教師給學生主動交流學習、實踐操作的機會，將更加有利于促進學生對知識與方法的獲得及應用。因此，課堂教學中，教師應盡可能地給學生創造更多表達的機會，讓學生自主表達、自由表達、充分表達，并在對話、溝通、質疑、答疑的過程中促進思維發展。

例如，課堂教學中，教師呈現下面的問題：“雙十一購物狂歡節期間，某超市促銷一種奶粉和一種餅干。李奶奶買了3袋奶粉和5袋餅干，付了278元；張奶奶買了同樣的6袋奶粉和6袋餅干，付了516元。每袋奶粉和餅干各多少元？”要求學生以小組學習的方式，說說自己的想法和問題解決思路，并寫下自己求解的過程和結果。各組學生在討論解決這個問題的過程中，展現了不同的問題解決過程，如圖3、圖4所示。

在圖3中，第1組和第2組的解題思路大體一致，都是將李奶奶購買的奶粉和餅干的數量都乘以2，從而創造出與張奶奶某一項購買數量相同的一個條件——6袋奶粉，然后將上下兩個式子相減，便只剩下餅干這一個條件，從而順利求解出每袋餅干的價錢。再以此為基礎，求解出奶粉的價錢。然而，第1組和第2組的寫法又不盡相同，從數學上看，第1組的寫法更簡潔，思路也更清晰。

在圖4中，第3組和第4組的解題思路一致，與第1組和第2組的思路不同。第3組和第4組都是先將上下兩個算式相減，于是出現3袋奶粉+1袋餅干=238（元）；再將新出現的這個式子與李奶奶3袋奶粉+5袋餅干=278（元）相互對照，可以發現二者擁有相同的條件——3袋奶粉，然后將這兩個算式相減就可以去掉一個條件即奶粉的數量和價錢，只剩下另一個條件即餅干的數量和價錢……總結四組學生的問題解決過程，都運用了將復雜問題簡單化、陌生問題熟悉化、未知問題已知化的思維方法，而這其實就是數學上重要的解題策略——“轉化”策略。

課上到這里，按說已經比較圓滿了，可是教師意猶未盡，繼續追問：“還有不同的解題方法嗎？”學生繼續思考，漸漸有了新的回應。

生1：可以將張奶奶的數量除以2。

師：除以2是不是所有的題目都能用？

生2：要有倍數關系才能用。

師：假如沒有倍數關系會怎樣？找不到相同的條件怎么辦？

……

“創造條件變相同”，這是中學“二元一次方程”消元法的本質。雖然這是小學數學的課堂，但數學思維卻是前后一貫的，初中數學的代數思維早已孕伏在小學數學學習的過程當中。在這節課上，師生猶如一只探險隊，教師是探險隊的首領，用一個個問題引領學生展開數學思考、交流探討、合作學習，共同經歷觀察、對話、溝通、質疑、驗證的過程，最終獲得了數學知識與方法。教師通過觀察學生的思維狀態、方向與路徑，靈活調整自己的教學策略，培養學生的數學核心素養，發展學生的數學思維。

三、將數學思維“做”出來，讓思維有跡可循

著名心理學家皮亞杰指出：“智慧是從動手開始的，只有親自經歷艱辛的探索實踐活動，才能使大腦變得更加智慧，更有創造力?！碧K霍姆林斯基說：“兒童的智慧在自己的指尖上?！惫P者以為，數學思維不是孤立存在的，小學生的數學思維發展，往往伴隨著具體的數學活動而展開。教師在教學比較抽象的數學知識時，可以借助“做數學”的學習活動，讓無形的數學思維變得有跡可循，使學生通過動手操作、親身體驗獲得和積累豐富的數學活動經驗，進而獲得相關數學知識。具體教學中，教師可以根據不同學段學生的思維特點設計教學路徑，促進學生的數學理解，發展學生的數學思維，培養學生的數學核心素養。

例如，教學人教版數學二年級下冊“軸對稱圖形”一課，為了促進學生對軸對稱的概念的數學理解，教師可以在課前布置學生觀看一段剪紙視頻，并動手剪一剪視頻中自己喜歡的圖案；課堂中，教師可以將學生的剪紙作品作為課程資源放在教學導入環節，先讓學生觀摩大家的剪紙作品，再請一些學生介紹自己是怎樣剪出這些美麗圖案的，之后讓學生“猜一猜這樣剪出的圖案在數學上是什么圖形”“看一看這些圖案有什么共同點”。課堂上，學生通過親身經歷“折一折”“剪一剪”“猜一猜”“看一看”的系列學習活動，在“做數學”的過程中對軸對稱圖形產生了豐富的感性經驗和直觀認識，課堂上只需教師稍加點撥，便能順利理解軸對稱的本質特征，從而促進學生的數學理解與思維發展。

又如，教學人教版數學五年級上冊“多邊形的面積”中的三角形面積公式前，為了更好地培養、發展學生的數學思維，教師可以先讓學生根據剛剛學過的平行四邊形面積公式推導方法，嘗試自己動手推導三角形的面積，并把自己探索的過程錄成視頻在班上分享。三角形面積公式的推導方法一般可概括為“倍拼法”“割補法”和“分割法”三大類型，如圖5所示。學生在課前通過動手操作，可發現在倍拼、割補、分割前后三角形的面積及其各部分之間的關系，并利用平行四邊形的面積公式順利推導出了三角形的面積公式，從而總結出“轉化—聯系—推導”的研究思路。在課堂上，教師帶領學生比較不同推導方法的異同時，學生可發現轉化的思想：雖然三種推導方法過程不同，但都是借助轉化的思想把未知圖形變成已知圖形加以研究。最后學生深刻理解了推導過程中面積公式里的“÷2”在“倍拼法”和“分割法”中不同的含義。通過親自動手操作，學生對知識形成的過程有了更深刻的理解和體會，并在與同伴的交流中拓寬了思路，深化了認識，為后面進行梯形面積公式、圓的面積公式的推導打下了思維方法基礎。這樣的學習方式，不僅尊重學生的個性差異，體現了學生學習的主體地位，促進了學生的全面發展，而且讓實驗操作成為培養學生知識獲取能力的重要方法。

《2022年版數學課標》就義務教育階段的數學教育首次提出了核心素養的教學導向。然而，正如史寧中教授在新課標培訓中所說：核心素養的培養不是僅憑老師可以教出來的，是學生在他的思維過程中，做事的過程中，本人參與教學的過程中逐漸形成和發展的。例如，《2022年版數學課標》首次將“量感”作為義務教育階段數學核心素養的具體表現之一，主要指向學生對事物的可測量屬性及其大小關系的直觀感知。作為一種感知經驗，量感是學生形成抽象能力和應用意識的經驗基礎。在進入數學學習之前，學生在生活中已經擁有了一定的量感經驗，但這種經驗僅限于定性的描述，比如能夠大體感知物體的大與小、輕與重，路程的長與短、遠與近，溫度的高與低，而不能感知大多少、輕多少、長多少等等，也就是不具備定量描述的經驗。進入數學學習后，學生學會了大量的度量單位，因為只會機械地背誦課本中的概念，而較少參與度量與估量等“做數學”的活動，學生的頭腦中很難形成對單位概念的清晰表象，以至于當面對真實情境中的具體事物選擇合適的度量單位、進行不同單位間的換算、估計度量的結果時，往往不能有效聯系相關度量單位知識做出準確的判斷，進行量化描述，這就是量感缺失。量感核心素養的培養，需要一個漫長的過程，教師可以通過給學生布置“量一量”“折一折”“稱一稱”“掂一掂”等貼近生活的實踐作業，讓學生經歷度量和估量等“做數學”的活動過程，讓學生在動手操作的活動中逐步明白為什么要統一度量單位、為什么要選擇合適的度量單位、為什么要進行單位換算，從而實現對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知逐漸從定性走向定量，不斷豐富量感經驗，促進數學思維發展。量感的培養貫穿學生六年小學數學學習和生活的過程，不是一朝一夕可以形成的，它需要學生經歷數學實踐經驗積累和發展的漫長過程。

總之，將思維可視化引入小學數學教學，可以使數學教學的焦點從知識層面深入到思維層面，讓學生在“畫數學”“說數學”“做數學”的過程中逐漸發展數學思維，有效降低學生對抽象的數學理解的難度，促使學生更深入地理解數學知識的本質，形成和發展數學核心素養。

參考文獻

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作者簡介：王巖梅（1976— ），山東煙臺人，本科，正高級教師，首屆自治區基礎教育教學指導委員會專家，主要研究方向為小學數學教育。

（責編 白聰敏）