基于GeoGebra的函數性質探究

謝濤 程國忠

摘要：本文中基于GeoGebra的可視性，設計了冪函數性質的探究活動.利用信息技術，不僅能將數與形有機結合，揭示“數形結合”是研究一類函數的基本思想方法，同時也有效地突破了教學難點，打破了思維障礙.

關鍵詞：函數性質；冪函數；GeoGebra；教學設計

冪函數是繼函數概念及其基本性質后所學習的第一種基本初等函數模型.通過對冪函數的學習，構建出研究一類函數的基本方法，即定義與表示—圖象與性質—應用.在教學中，大部分教師選擇讓學生通過觀察圖象，感知和發現函數性質.然而，觀察圖形變化是處理教學難點的一個關鍵因素，并且此過程中，函數圖象均處于靜態，學生難以感受到變化中的不變性，導致教學活動缺乏探究性，學生思維缺乏主動性.為解決這些問題，本文中基于GeoGebra（以下簡稱GGB）開展探究活動，對新人教A版高中數學必修第一冊第三章第3節“冪函數”進行了如下教學設計.

1 回顧舊知，引出課題

問題1 前面我們已經學習了有關函數的哪些知識？

設計意圖：通過復習回顧所學內容，在學生原有的知識體系中生長出新的知識，幫助學生構建知識體系，探尋研究路徑.

問題2 利用已有知識，請同學們解決下列5個問題.

（1）如果張紅購買了價格為1元/kg的蔬菜w kg，那么她需要支付p元，則p=___________.

（2）如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S=___________.

（3）如果立方體的棱長為a，那么立方體的體積V=___________.

（4）如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長a=___________.

（5）如果某人t s內騎車行進了1 km，那么他騎車的平均速度v=___________.

追問1：如果去掉這些變量的實際意義，將自變量用x來表示，因變量用y來表示，上述五個式子分別如何表示？

追問2：觀察抽象后的式子，它們在形式上都有哪些共同特征？

追問3：根據這些特征，可以用一個怎樣的式子進行概括？

師生共同歸納總結，最終得到冪函數的定義：一般地，函數y=xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數.

設計意圖：“情境問題是數學教學的平臺”，創設合適的數學情境，有助于激活學生的數學思維.通過解決生活中的實際問題，抽象得到熟悉的函數模型，強化學生對函數概念的理解.通過3個追問，引導學生由這些特殊的函數概括出一般的形式，由特殊到一般，抽象出冪函數的定義.培養學生數學抽象核心素養，促使學生感悟特殊到一般的數學思想方法.

2 合作探究，體驗過程

問題3 根據初中研究一次函數、二次函數、反比例函數的經驗，我們該如何研究冪函數？

問題4 分別畫出y=x，y=x2，y=x－1這三個函數的圖象，并研究它們各自具有哪些性質.

教學組織：學生體驗作圖過程，并從定義域、值域、單調性、奇偶性等方面研究這三個函數的性質，同時明確定義域是研究一個函數其他性質的前提.最后，教師借助GGB準確作圖，如圖1所示.

設計意圖：引導學生回顧研究一類函數的基本方法——圖象法，并以學生熟悉的三個具體函數作為對象展開研究，符合“最近發展區”理論.引導學生從圖象上直觀感受函數的基本性質，讓學生體驗“說”的過程，進而體會“形”是研究函數的一種重要方式.

追問1：它們之間有什么共同的特點？

追問2：將它們放在同一坐標系下，有何發現？

教學組織：教師將合并后的函數圖象（如圖2）在GGB上呈現出來，引導學生發現它們的共性，鼓勵學生提出有關一般冪函數性質的猜想，并借助GGB加以驗證.

發現1：這三個函數圖象有共同的交點，都經過點（1，1）.

猜想：冪函數圖象都經過點（1，1）.

探究：你能從代數的角度證明這一猜想嗎？

根據冪函數的解析式f（x）=xα，可知f（1）=1α=1，所以冪函數的圖象過點（1，1）.

發現2：函數y=x，y=x－1是奇函數，函數y=x2是偶函數.

猜想：當指數α為奇數時，冪函數是奇函數；當指數α為偶數時，冪函數是偶函數.

探究：這是巧合還是必然呢？不妨借助GGB軟件來探究（如圖3）.

首先，在GGB的繪圖區中創建兩個滑動條，分別表示奇數和偶數，用于控制冪函數的指數.其次，在代數區中輸入兩類冪函數，繪制對應的函數圖象.最后，拖動滑動條，讓學生觀察當指數α發生變化時函數圖象的特點，猜想得以驗證.

設計意圖：單獨研究每個對象時，要在變化中尋找不變性，即函數的性質，相對困難.因此，需引導學生學會用“分與合”這一思想，研究事物的個性與共性，認識事物之間的聯系.對于函數性質的探究，信息技術不僅讓抽象的函數“動”了起來，也讓學生的思維“動”了起來，極大地提高了直觀性，有助于發展學生的直觀想象素養.

問題5 剛才我們探究發現，根據指數α的奇偶性，可以判斷冪函數的奇偶性.那么，冪函數的其他性質是否也與α存在一定關系呢？為深入探究，請同學們繼續在該坐標系下畫出函數y=x3和y=x12的圖象（如圖4）.

設計意圖：對于函數y=x3的圖象，在描點過程中，部分學生喜歡取整數點，導致其與函數y=x2的圖象在區間（0，1）上的位置關系拿捏不準.此時，引導學生在區間（0，1）上取點，并利用GGB實現交互，展示取點、列表、描點、連線繪制函數圖象的動態過程，借助信息技術突破教學中的難點，克服學生思維上的障礙.同時，從“形”的角度再次證明了前面兩個猜想的正確性.

追問1：再次觀察這五個函數的圖象，有何發現？

發現3：函數圖象在第一象限均有出現，即冪函數在（0，+∞）都有定義.

追問2：聚焦第一象限，有何發現？

發現4：y=x12，y=x，y=x2，y=x3在第一象限單調遞增，y=x－1在第一象限單調遞減.

猜想：當指數α>0時，冪函數在第一象限內單調遞增；α<0時，冪函數在第一象限內單調遞減.

探究：創建兩個滑動條，分別控制α>0和α<0.拖動滑動條，通過觀察函數圖象在第一象限內的變化，學生可以直觀感受到這一猜想的正確性（如圖5）.

追問3：當α<0時，函數在第一象限內單調遞減.遞減有怎樣的特點？函數值會隨著自變量的增大而無限減小嗎？

發現5：當α<0時，x→0+時，函數圖象無限接近于y軸；x→+∞時，函數圖象無限接近于x軸.

問題6 你能從代數的角度證明冪函數f（x）=x是增函數嗎？

設計意圖：強化學生的作圖能力和歸納概括能力，強化學生通過代數運算和幾何直觀來研究函數性質的方法.培養學生用數學的語言表達數學現象的能力.

3 自主歸納，提煉升華

根據探究得到冪函數的性質如下：

（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義，并且圖象都通過點（1，1）.

（2）當α為奇數時，冪函數為奇函數；當α為偶數時，冪函數為偶函數.

（3）若α>0，則冪函數圖象過原點，并且在區間［0，+∞）上是增函數.

（4）若α<0，則冪函數圖象在區間（0，+∞）上是減函數.在第一象限內，當x從右邊趨近原點時，圖象在y軸右側無限逼近于y軸，當x趨向+∞時，圖象在x軸上方無限逼近于x軸.

4 學以致用，小試牛刀

例1 已知冪函數y=f（x）圖象過點（2，2），求f（4）的值.

例2 利用冪函數的性質，比較下列各題中兩個值的大?。?/p>

（1）（－1.5）3，（－1.4）3; （2）1－1.5，1－1.4.

5 梳理知識，形成系統

問題7 我們是如何研究冪函數性質的？研究路徑是怎樣的？這一過程中學到了哪些數學思想方法？

設計意圖：“思想方法是數學的靈魂”，通過構建思維導圖（圖6），總結研究對象所涉及的研究思路與方法，幫助學生建立良好的知識結構，從而促使學生核心素養的發展.

新課程標準倡導數學教學要適當地利用信息技術進行輔助教學.對于抽象程度較大的數學內容，借助GGB的可視性，可建立起“抽象”通往“可見”的橋梁，為學生探索規律啟發思路，為學生解決問題提供直觀.只有這樣，才能有效落實學生的“四基”與“四能”，發展學生的數學核心素養.