轉(zhuǎn)化與化歸思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

譚莉

摘 ?要：數(shù)學(xué)思想是指在現(xiàn)實(shí)生活中對(duì)各類(lèi)數(shù)學(xué)理論形成的本質(zhì)認(rèn)知，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科中的總結(jié)性、廣泛性和奠基性的特點(diǎn)。教師研究數(shù)學(xué)學(xué)科的思想和方法，有助于提高課堂教學(xué)的效率、發(fā)展和改善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)的思想和方法，包括轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與討論、函數(shù)與方程。數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究與求解過(guò)程，是一種從未知到已知的變化過(guò)程，即通過(guò)聯(lián)想和類(lèi)比分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，選擇合適的方式進(jìn)行演化，最終確定比較合理、容易的解決方法。教師將轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用到初中數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)中，有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)以及解題技巧。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化與化歸；初中數(shù)學(xué)；學(xué)習(xí)能力

轉(zhuǎn)化與化歸思想在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用，能夠使學(xué)生掌握有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的技巧和方法，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索實(shí)踐，顯著提高學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力。

在改革數(shù)學(xué)教學(xué)模式的過(guò)程中，教師可以從轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，探索教學(xué)改革的創(chuàng)新措施，使學(xué)生能夠掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的技巧和方法，并主動(dòng)探索和實(shí)踐課程知識(shí)。

一、轉(zhuǎn)化與化歸思想概述

轉(zhuǎn)化與化歸思想是一種基本的數(shù)學(xué)思想，在解決、研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，這種思想使用了相對(duì)科學(xué)、規(guī)范化的手段和方法來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決是從困難到簡(jiǎn)單的過(guò)程，簡(jiǎn)單而言，轉(zhuǎn)化與化歸思想是把忽視的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，簡(jiǎn)化復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，將多維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維、二維問(wèn)題。收斂思維涉及目標(biāo)、方法和對(duì)象，學(xué)生通過(guò)了解這三個(gè)領(lǐng)域，能夠更好地用簡(jiǎn)化的方法解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

初中數(shù)學(xué)包括許多數(shù)學(xué)思想，如正統(tǒng)思想等。如果中學(xué)數(shù)學(xué)能夠在學(xué)校教育中靈活運(yùn)用上述思想，學(xué)生就可以更好地理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)習(xí)能力也將越來(lái)越好。中學(xué)數(shù)學(xué)的大部分知識(shí)點(diǎn)都是抽象的，學(xué)生在學(xué)習(xí)和理解上會(huì)經(jīng)常遇到困難，教師在學(xué)習(xí)上應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，能夠使抽象的知識(shí)點(diǎn)更易于理解。初中生會(huì)經(jīng)常遇到幾何、公式問(wèn)題，如果學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，能夠更好地理解和解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、研究轉(zhuǎn)化與化歸思想教學(xué)的必要性

在初中數(shù)學(xué)的教科書(shū)中，包含了大量轉(zhuǎn)化與化歸思想的內(nèi)容。學(xué)生在掌握有理數(shù)的基礎(chǔ)上，可以用加法、減法、除法、乘法，以及二元一次方程的代入法來(lái)求出加、減、乘、除的結(jié)果；也可以運(yùn)用加減法、一元一次方程或分式方程求出整式方程。學(xué)生在證明平行四邊形的對(duì)角、對(duì)邊相等時(shí)，可以連接對(duì)角線，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的三角形，從而得到平行四邊形的對(duì)角、對(duì)邊相等的結(jié)論；利用相似比和直角三角形函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，來(lái)求解直角三角形，在適當(dāng)?shù)臈l件下，也可以將非直角三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形。

轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中隨處可見(jiàn)，因此教師在教學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)進(jìn)行更高層次的理解，甚至要結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的橫向和縱向聯(lián)系，有意識(shí)地將轉(zhuǎn)化與化歸思想滲透到數(shù)學(xué)的教學(xué)中，并在教學(xué)過(guò)程中對(duì)這種思想進(jìn)行編輯和改造。轉(zhuǎn)化是一種將困難問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢越鉀Q、具有更明確客觀特征問(wèn)題的方法。“數(shù)”與“形”的結(jié)合是幾何與代數(shù)的相互變換，但有些問(wèn)題在變換后無(wú)法立即解決，因此需要重新變換。化歸的概念也可以用于簡(jiǎn)化計(jì)算，一般而言，中學(xué)數(shù)學(xué)課中常用化歸的思想來(lái)解決代數(shù)問(wèn)題，用轉(zhuǎn)化的思想來(lái)證明幾何問(wèn)題。

三、初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想存在的問(wèn)題

（一）知識(shí)銜接困難

轉(zhuǎn)化與化歸思想是一種不斷變化的思維方式，它將陌生、難解的題目轉(zhuǎn)化為熟悉、有規(guī)律和淺顯的題目，方便學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中解決未知的問(wèn)題。形成這種思想不僅需要學(xué)生有系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和框架，還需要學(xué)生掌握新舊知識(shí)間的聯(lián)系，以獲得相關(guān)的信息并及時(shí)解決新的問(wèn)題。如果學(xué)生掌握的知識(shí)不夠系統(tǒng)，轉(zhuǎn)化和化歸的過(guò)程就會(huì)受阻，無(wú)法把掌握的知識(shí)精確地聯(lián)系在一起，找不到解題的突破口。

（二）應(yīng)用意識(shí)較弱

轉(zhuǎn)化與化歸思想的主要目的是通過(guò)分析、觀察、類(lèi)比和聯(lián)想等，將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)領(lǐng)域，并最終解決問(wèn)題。但在現(xiàn)實(shí)中，大部分學(xué)生往往無(wú)法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，很難將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為他們熟悉、已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法。一些學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)公式、理論等來(lái)解決問(wèn)題，而不分析與問(wèn)題有關(guān)的已知和未知條件之間的關(guān)系，或者缺乏知識(shí)轉(zhuǎn)換的意識(shí)。這嚴(yán)重限制了學(xué)生解決問(wèn)題的有效性和正確性。

四、轉(zhuǎn)化與化歸思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用策略

在對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)的過(guò)程中，教師應(yīng)有意識(shí)地探索轉(zhuǎn)化與化歸思想的多元化應(yīng)用，啟發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的多維度思考和探究，從而進(jìn)一步提高學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

（一）培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)整合

在實(shí)踐中，教師可以集中精力增強(qiáng)學(xué)生的意識(shí)，幫助學(xué)生發(fā)展創(chuàng)造性的思想，從而將教學(xué)材料、主題和歸屬感充分地結(jié)合起來(lái)。前文從多重方程轉(zhuǎn)化為一元方程的內(nèi)容就充分反映了轉(zhuǎn)化與化歸的思想。在教學(xué)過(guò)程中，教師不能簡(jiǎn)單地通過(guò)讓學(xué)生熟悉解決這些問(wèn)題的方法、概念和知識(shí)，來(lái)傳達(dá)問(wèn)題的解決方案，而是必須在實(shí)踐中注重學(xué)生歸屬感的形成，促使學(xué)生將歸屬感轉(zhuǎn)化為思想，包括方程式的表現(xiàn)形式和各種圖形的變換等。在解釋這些要點(diǎn)時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用自己的想法解決問(wèn)題，并循序漸進(jìn)地加以闡釋?zhuān)@不僅向?qū)W生傳授了數(shù)學(xué)知識(shí)，還進(jìn)一步拓展了他們的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

在實(shí)踐中，教師不僅要使學(xué)生注重對(duì)某一知識(shí)點(diǎn)的理解和利用，還要讓學(xué)生注重整合不同的知識(shí)點(diǎn)，不斷積累知識(shí)，從而為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。此外，教師需要引導(dǎo)學(xué)生比較新舊知識(shí)，從而形成完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，便于學(xué)生數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。

（二）通過(guò)經(jīng)典例題滲透轉(zhuǎn)化和化歸思想

轉(zhuǎn)化和化歸，可以通過(guò)變革性的思想解決一些無(wú)法解決的問(wèn)題，教師需要充分引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化和化歸思想應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的優(yōu)勢(shì)。

例如，在“函數(shù)與圖像”的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)交點(diǎn)的作用進(jìn)行深入的探究。其中一個(gè)問(wèn)題是“當(dāng)直線y=x+b與直線y=2x+4的交點(diǎn)在第二象限時(shí)，則b的取值范圍是什么？”。當(dāng)學(xué)生第一次遇到這個(gè)問(wèn)題時(shí)，他們會(huì)感到困惑：如何保證兩條直線的交點(diǎn)在第二象限？根據(jù)第二象限坐標(biāo)的特點(diǎn)，學(xué)生能夠推斷出其交點(diǎn)坐標(biāo)就是這兩個(gè)方程組成的方程組的解，也就是這個(gè)問(wèn)題的最終結(jié)果。這時(shí)一切問(wèn)題都迎刃而解，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生頓悟的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

（三）轉(zhuǎn)化與化歸思想在代數(shù)中的應(yīng)用

通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸思想可以幫助學(xué)生理解和解決各種代數(shù)問(wèn)題，并培養(yǎng)他們的代數(shù)思維能力。通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸思想，學(xué)生可以將一個(gè)復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)但更簡(jiǎn)單的形式，從而更容易求解。例如，對(duì)于二次方程ax2+bx+c=0，我們可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，通過(guò)配方法將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)完全平方的差，或者利用因式分解將該方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次方程的乘積，進(jìn)而得到方程的解。

轉(zhuǎn)化與化歸思想還可以在多項(xiàng)式運(yùn)算中幫助學(xué)生將多項(xiàng)式進(jìn)行合并、分解和分配，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。例如，要計(jì)算多項(xiàng)式的和或差時(shí)，可以將各項(xiàng)按照相同的指數(shù)進(jìn)行合并，化簡(jiǎn)后再進(jìn)行運(yùn)算；而在乘法和除法中，可以利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將多項(xiàng)式進(jìn)行分解或合并，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。

在函數(shù)圖像的繪制和分析中，轉(zhuǎn)化與化歸思想可以幫助學(xué)生將函數(shù)轉(zhuǎn)化為特定形式，進(jìn)而更好地理解函數(shù)性質(zhì)和特點(diǎn)。例如，在繪制一次函數(shù)的圖像時(shí)，可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)平移和縮放將其轉(zhuǎn)化為y=kx的標(biāo)準(zhǔn)形式，從而判斷出斜率和截距的關(guān)系。

在解決不等式的問(wèn)題時(shí)，轉(zhuǎn)化與化歸思想可以幫助學(xué)生改變不等式的形式，使學(xué)生更便于求解。例如，對(duì)于復(fù)雜的分式不等式，可以通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸思想將其轉(zhuǎn)化為乘積形式或平方形式，從而簡(jiǎn)化不等式的求解過(guò)程。

（四）轉(zhuǎn)化與化歸思想在統(tǒng)計(jì)推斷中的應(yīng)用

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，轉(zhuǎn)化與化歸思想可以在統(tǒng)計(jì)推斷中起到關(guān)鍵的作用。一種常見(jiàn)的應(yīng)用就是通過(guò)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)樣本均值的推斷來(lái)簡(jiǎn)化總體均值的估計(jì)過(guò)程。假設(shè)有一個(gè)總體，并希望對(duì)該總體的均值進(jìn)行推斷。傳統(tǒng)的方法要求獲得整個(gè)總體的數(shù)據(jù)，然后計(jì)算總體均值。然而在實(shí)際情況下，很難獲取到總體的數(shù)據(jù)。因此，可以通過(guò)抽取樣本來(lái)代表總體的特征。

轉(zhuǎn)化與化歸思想能夠?qū)?fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)樣本均值的推斷。具體而言，從總體中隨機(jī)抽取一個(gè)樣本，并計(jì)算該樣本的平均值。然后，依據(jù)中心極限定理，可以認(rèn)為樣本均值的分布接近正態(tài)分布。基于樣本均值的正態(tài)分布性質(zhì)，可以通過(guò)置信區(qū)間或假設(shè)檢驗(yàn)方法對(duì)總體均值進(jìn)行推斷。通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸思想，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)樣本均值的推斷，簡(jiǎn)化了推斷過(guò)程。這樣，只需關(guān)注樣本數(shù)據(jù)而不必考慮整個(gè)總體的特征。同時(shí)，樣本均值的推斷方法已經(jīng)得到廣泛研究和應(yīng)用，具有可靠的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和方法。

（五）強(qiáng)化教學(xué)設(shè)計(jì)，開(kāi)展轉(zhuǎn)化與化歸主題教學(xué)

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須不斷加強(qiáng)教學(xué)設(shè)計(jì)，創(chuàng)新教學(xué)方法，積極轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)和研究教材時(shí)，必須注意教材中包含的思維方法；要注意合作探究或訓(xùn)練方式的改變，將新舊數(shù)學(xué)知識(shí)建立聯(lián)系，使學(xué)生具有逆向思維。在數(shù)學(xué)課上創(chuàng)新的教學(xué)模式，可以讓學(xué)生理解和感受到數(shù)學(xué)思維的有效性，因此教師可以有意識(shí)地為學(xué)生創(chuàng)造出獨(dú)立發(fā)展和學(xué)習(xí)的空間，展示數(shù)學(xué)問(wèn)題的相似之處，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論，最終產(chǎn)生相應(yīng)的模型，來(lái)反映學(xué)生思維的轉(zhuǎn)變。

例如。教師可以借助多媒體設(shè)備，讓學(xué)生觀察與預(yù)測(cè)“余角與補(bǔ)角”中角的個(gè)數(shù)及其相互關(guān)系，以加深學(xué)生對(duì)“余角”與“補(bǔ)角”的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)與思考的能力。

五、初中數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想培養(yǎng)的原則

轉(zhuǎn)化與化歸是重要的數(shù)學(xué)思想，不是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式或具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而是知識(shí)體系的一部分，貫穿了學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程。因此，為了培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)遵循以下原則：

（一）直觀性原則

直觀性原則就是在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，教師指導(dǎo)學(xué)生直接感知學(xué)習(xí)對(duì)象，并幫助學(xué)生在各種數(shù)學(xué)理論知識(shí)和實(shí)際的事物之間建立聯(lián)系。學(xué)生在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要形成自身的思維能力，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可理解和可視化的問(wèn)題。代數(shù)問(wèn)題是抽象的，但如果學(xué)生能夠把他們轉(zhuǎn)換成直接可見(jiàn)的圖象，則會(huì)很方便地解決該問(wèn)題。

（二）將隱性化為顯性

轉(zhuǎn)化與化歸的應(yīng)用，需要學(xué)生掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，但在課堂上，學(xué)生并沒(méi)有明確表示要通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸來(lái)解決他們存在的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此教師應(yīng)在具體的教材中，堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題中普遍存在的“隱性化為顯性”原則，將思維轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)。

轉(zhuǎn)化與化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，能夠從不同的角度優(yōu)化課堂教學(xué)體系，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行深度的探索和實(shí)踐，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和綜合學(xué)習(xí)能力。基于此，在改革數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，教師應(yīng)該組織學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，總結(jié)應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的規(guī)律，便于學(xué)生遇到類(lèi)似的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠快速地解決；從多個(gè)角度訓(xùn)練學(xué)生，夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，開(kāi)闊學(xué)生的視野，促使學(xué)生將轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用到更加廣泛的實(shí)際生活中。教師通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，提高了教學(xué)的質(zhì)量和效率，促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

［1］何淼，孟兆艷. “轉(zhuǎn)化與化歸思想”在初中數(shù)學(xué)的應(yīng)用［J］. 考試周刊，2010（15）：70-71.

［2］何朝均. 例談數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］. 文理導(dǎo)航（上旬），2010（05）：35.

［3］沈嬌嬌. 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透［J］. 安徽教育科研，2022（27）：61-62+71.

［4］魏玉平. 試析化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效應(yīng)用［J］. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（27）：50-52.

［5］陳同玲. 數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的融合滲透［J］. 中學(xué)課程輔導(dǎo)，2022（27）：117-119.

［6］王穎穎. 類(lèi)比思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略研究［J］. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（26）：122-124.

［7］劉榮霞. 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中化歸思想的妙用［J］. 理科愛(ài)好者，2023（02）：182-184.

［8］蔣偉. 淺談數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透——以“兩角和與差的余弦公式”為例［J］. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（08）：36-37.

［9］裴偉. 新高考下化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］. 數(shù)理天地（高中版），2023（05）：41-43.

［10］ 周前猛. 巧用數(shù)學(xué)思想，求解角度問(wèn)題［J］. 初中生世界，2023（09）：46-47.

（責(zé)任編輯：淳 ?潔）