淺談函數與方程思想在高中數學解題中的應用

胡建峰

【摘要】函數與方程思想是高中數學思想之一，它在數學解題過程中廣泛應用，包含了函數與方程的共同優點，是高中生學習掌握數學思想必不可少的一部分.在數學課堂教學過程中，教師通常引導學生利用已知條件去建立函數或者方程去解決問題，進而提高學生的解題效率和正確率.文章深入探討了函數與方程思想的內涵，并結合具體的數學實例去說明函數與方程思想在高中數學解題中的應用.

【關鍵詞】高中數學；解題能力；函數與方程思想

目前，在高中數學中，方程與函數的相關知識是非常重要的知識點.函數與方程思想是高中學生解決數學問題必須掌握的，同時是高中生學習數學思想非常關鍵的一部分.但一部分學生在函數與方程的相關學習過程中，總會遇到函數與方程轉化過程中的各種問題，從而導致在學習過程中出現差錯.所以，在教學過程中，數學教師不僅要教會學生做對函數與方程的相關題目，還要教會學生如何運用函數與方程思想解決問題.另外，在日常教學過程中，數學教師也會發現掌握函數與方程思想的學生在解答函數與方程問題的時候，經常可以做到舉一反三.因此，數學教師要指導學生不斷提高自身的函數與方程思想，培養學生的數學知識學習能力與解決數學問題的能力.

一、函數與方程思想的簡述

函數思想是指人們從運動變化的角度，去研究分析數學中的數量關系，然后建立函數關系或構造函數，利用函數的圖像與性質去分析和解決相關的問題.方程思想是分析數學中的等量關系，從而去構建方程或方程組，通過求解或利用方程的性質去分析解決問題.方程與函數思想是結合上述兩種思想方法，讓學生從建立函數與方程的角度去看問題，建立未知與已知之間的關系式，從而將問題求解轉化到函數或方程的求解上.

二、函數與方程思想在高中數學解題中的應用

在高中的數學學習過程中，學生經常會面臨題干中所給的參數未知或者題干信息不全的情況，通常在這種情況下，學生可以先將未知參數視為特定條件，并將其代入題目中，尋找它們之間存在的關系，從而建立函數或者方程，然后以解答函數或者方程的形式去解決問題.

（一）在三角函數問題中的應用

在三角函數的題型中，經常會涉及最值問題的求解，此時學生便可以利用題目中所給的條件來建立方程，并結合三角函數的性質去解題，提高解題效率.

例1 某一農場主打算在自己的矩形農場ABCD里放養牛群和羊群，為了防止牛群跟羊群混淆，現農場主將牛群放在矩形農場的左邊（AD邊）進行放養，將羊群放在矩形農場的右邊（BC邊）進行放養，把牛群跟羊群的運動軌跡比作圖1中的AN，BM，而農場主住在矩形農場AB邊的中點O點，農場主每天從家走到牛群，然后從牛群走到羊群，再從羊群走回家，行程路徑正好是一個三角形，其中農場主從家走到牛群的路徑和從羊群走回家的路徑形成直角，如圖1所示，已知AB=100米，BC=503米.

（1）設∠BOM=α，試將△OMN的周長L表示成α的函數關系式，并求出函數的定義域；

（2）農場主發現，自己每走一米路程，需要花費0.8秒，試問：當牛群和羊群在哪里時，農場主走一圈花費的時間最少？并求出最少時間.

分析 針對第（1）問，求△OMN的周長，需要分別計算OM，ON和MN的邊長，然后將三者相加.又因為點M在邊BC上，點N在邊AD上，點N和點M是運動的，要考慮點N和點M運動的臨界點，從而得到角α的范圍，進而推算出函數的定義域.針對第（2）問，因為要求的花費時間最少，且行走路程均為勻速，即取△OMN的周長的最小值即可.

所以當BM=AN=50米時，花費時間最低，最少時間用為80（2+1）秒.

（二）在直線與圓的方程問題中的應用

在直線與圓的方程中，直線與圓之間存在著一定的關系，這些關系都可以作為學生構建方程或函數的條件.學生通過對未知線段進行設值，并且結合幾何關系建立方程組并求解方程組，能夠有效提高解題的正確率和速度.

例2 如圖2所示，在平面直角坐標系中，有長方形ABCD，長方形ABCD對角線的交點為E（1，1），AB邊所在直線的方程為x-y-2=0，點F（-3，1）在AD邊所在直線上.

（1）求AD邊所在直線的方程；

（2）求長方形ABCD外接圓的方程.

分析 針對第（1）問，由題干知直線AD經過點F，又因為直線AB⊥直線AD，直線AB的斜率題干中已給，所以就可以求出直線AD的斜率，將直線AD的斜率和經過點帶入點斜式的方程中，便可以得到最終結果.針對第（2）問，首先，利用直線AD和直線AB相交于A點，得到A點的坐標，其次利用點E是長方形ABCD的中點，推導出E為長方形ABCD外接圓的圓心，則半徑是線段AE的長，最后，利用圓的方程公式，計算矩形ABCD外接圓的方程.

（四）在等式、不等式方程組問題中的應用

在高中的許多數學問題中，經常會出現兩個未知數，在這種情況下，我們就要學會列方程組解決問題.學生在面對方程組問題時，先要找出問題中的兩個未知數，以及它們之間的關系，從而列方程組，化簡求解，從而得到最終結果.

例4 胡經理到一個機器廠家去選購M，N兩種型號的小型零件，若購買M型號零件60個，N種型號零件100個，需要700元；若購進M型號零件100個，N種型號零件50個，同樣需要700元.

（1）求M，N兩種型號的小型零件分別為多少元？

（2）若銷售1個M型零件可獲利3元，銷售1個N型零件可獲利2元，根據公司要求，購買的M型零件數量是購進N型零件數量的2倍少10個，且M型零件最多可買進80個，這些零件全部售出后，總獲利不少于322元，有幾種購買方案？胡經理該如何進貨？

結 語

函數與方程思想是高中數學思想最基礎的內容之一，它在高中數學解題中被廣泛應用，學生學好函數與方程思想，便可以在高中的數學解題過程中利用題干中已知條件構建方程，并且通過求解方程解答問題.在日常的教學當中，教師在詳細講述解答題目的過程中，也要去掉一些不必要的過程，從而使題目的求解過程更加簡單明了，這樣有利于提高高中生的解題能力和解題效率，加深高中生對方程與函數思想的了解.

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