數形結合方法在高中數學解題教學中的應用

劉錦程

摘 要：數與形是數學學科中的兩個基本對象，如果不能將二者進行有機結合、找到對應的關系，則會影響學生在解答數學題的過程中難以運用各種思維方法分析題目、掌握知識。本文首先分析高中數學解題教學現狀，指出其中存在的問題，再闡述將數形結合方法應用于高中數學解題教學的必要性，最后從體驗、理解、啟迪、鍛煉四個方面提出數形結合在數學解題教學中的應用策略，并給出具體的示例，以期培養高中學生的解題能力，為廣大數學教師提供參考與建議。

關鍵詞：高中數學；解題教學；數形結合方法

最新版的《普通高中數學課程標準》明確提出：要注重提高學生的數學思維能力，讓學生在學習數學和運用數學解決問題時，經歷多種思維過程，對各種客觀事物中蘊含的數學模式進行思考與判

斷[1]。在引導學生經歷思維過程、做出思考與判斷的過程中，則離不開多種數學方法與思想，而數形結合方法正是高中階段學生常用的數學方法，被廣泛運用于高中數學的各個部分中。那么，如何將數形結合方法應用于高中數學解題教學中，使二者的結合發揮“1+1＞2”的效果呢？這是每位數學教師應當深入思考的問題。

一、高中數學解題教學現狀

（一）師生對解題的認識存在誤區

在數學解題教學中，教師引導學生思考、解題，并不是為了得到一個答案，而是為了讓學生在解題過程中實現知識獲得、能力提升與素養養成。但在應試教育觀念的長期影響下，無論是教師與學生，都在認識解題教學最終目的上走進了誤區。一些教師認為，數學教學是依托于大量習題的練習和講解展開的，學生要多練習，才會“熟能生巧”，在考試中取得較高的分數，在教師的影響下，許多學生也深以為然。但這些師生都忽視了，若無概念與知識點“奠基”，學生從什么角度切入題目，又該用怎樣的方法解題呢？因此，這樣的想法和模式是片面的，也不利于解題教學的開展。

（二）現代教育技術手段應用不足

隨著社會物質條件的改善，各個學校的教學硬件設施也煥然一新，許多數學教師將現代教育技術手段引入解題教學，在這之中，電子課件、電子白板運用的頻率最高，但一些教師對現代教育手段應用水平不高、綜合素質有待提升，這就讓現代教育技術在解題教學中的應用出現了兩種情況。一方面，教師通常會將具有挑戰性的數學概念、問題和知識點呈現在幻燈片上，學生所要解答的題目自然也不例外，這讓本該由學生深入探究的數學課堂與休閑性、趣味性的文學藝術影片相類似，這顯然與解題教學的出發點和落腳點是相悖的；另一方面，各種新式設備與教學模式固然活躍了課堂氣氛，但教師在大多數時候是站在講臺上進行講授的，并未深入到學生群體中實時觀察學生的課堂表現與解題反饋，這讓師生的距離變遠、互動量減少，最終階梯教學的實效性可想而知。

從這兩種情況的出現能看出一個問題：現代教育技術本該在解題教學中起到輔助作用，但教師卻讓其“喧賓奪主”，當技術工具的使用在課堂上占據主要位置時，那往往會適得其反。數學是一門腦與手并用的學科，學生只觀看課件、進行思考或是跟著教師的思路來探究具體的數學問題顯然是不夠的，學生要親自動手動腦解題，這樣才能在實踐認知過程中理解數學概念原理的本質意義，這也要求教師要認識到現代教育技術的輔助作用，使其“錦上添花”，而非“喧賓奪主”。

（三）教師的數學素養難以提升

大多數高中數學教師接受過高等教育的洗禮，具有較高的知識水平與能力，但在數學學科素養提升方面，卻因種種原因難以提升。這就導致教師在教學實踐中只知數學的工具性、科學性，卻未能深入挖掘數學題目背后的人文資源與生活價值。教師對課程編排意圖、出題意圖的認知出現偏差，解題教學的目標也就難以實現了。教師如此，那學生呢？許多學生也只是將數學視作工具，對于數學文化、數學史、數學與生活的聯系一概不管、不知，長此以往顯然不利于學生的全面發展。解答高中數學題目，系統學過高中數學的知識都能基本完成，但要將高中數學題目講清楚、講透徹、講深入，教師任重而道遠。

（四）傳統教學評價對教學的影響

大多數學校評價教師教學效果的方式很簡單，那就是在每次考試中取教師所任教班級的學生成績平均數，再將各班平均成績進行排序，以平均成績的高低來作為教學評價的依據。為了提高“平均成績”，教師會在課內外為學生布置大量的數學練習題，而學生為了取得一個較高的分數，也會在課外進行補課，同時利用教輔資料進行大量練習，這無疑讓師生共同陷入了“題海戰術”的誤區。一方面，平均成績本就是以高分數補低分數，對有待提高的學生并沒有多少實質意義，以此作為衡量教師教學水平與教學效果的標準，過于淺層化、表面化和形式化；另一方面，學生的數學成績是多種因素作用的階段性結果，其中既有教師的講授和學生的課堂學習與課后練習，也有學生本身的數學基礎與數學能力和學生是否在課外通過補課進行額外的補充與提升。因此，這種傳統的教學評價是不利于解題教學的改進與提升的，同時也會讓教師對學生的當下學習能力與未來發展潛能估計錯誤，這顯然不利于學生的全面發展。

二、將數形結合方法應用于高中數學解題教學中的必要性

（一）提供解題思路

作為數學問題中的兩大基本元素，圖形中的數量關系可以用“數”表達，卻也要借助“形”來觀察與分析[2]。這兩種基本元素的異同、組合形式、轉換思路等為學生提供了解題思路。一方面，數形結合思想能引導學生從宏觀的角度認識到數學課程的地位與價值，從而讓學生對數學有更準確和深刻的認知；另一方面，數形結合方法是溝通數學與生活的“橋梁”，既能將生活問題轉化為數學問題，也能讓數學問題回歸生活，有利于學生對數學知識進行遷移與創新。由此可見，將數形結合方法應用于高中數學解題教學，對為學生提供解題思路、幫助學生建立起學習數學的自信心有著重大的意義。

（二）降低解題難度

不可否認的是，在所有的高考科目中，數學是難度最大、兩極分化最嚴重的學科，許多學生稱“一見到數學就頭疼”“一開始做題就不知道何處下筆”，這是因為學生并未建立起“數”與“形”之間的聯系，對數形結合的靈活運用更是無從談起，這才覺得數學題很難、無從下筆。從以形化數的角度出發，引入函數圖象、求解數量關系是其中的重要內容，而函數圖象的五種性質在降低解題難度中發揮著重要的作用，如函數的凹凸性與求證不等式。學生在遇到除函數外的數學疑難問題時，可以嘗試利用數形結合思想，引入函數來思考探究問題，在這個時候，所謂的疑難問題也就不再難了。

（三）培養數學思想

數學思想既是強化學生數學學習效果的重要保障，也是推動學生發展數學思維的重要載體。而數形結合方法作為將高中數學兩大重要內容聯系起來的“紐帶”與“橋梁”，不僅能助力學生數形結合思想的形成與發展，讓學生通過以形代數、以數解形形成多樣的數學解題思路，還能憑借著數學思想之間的貫通性，培養學生其他方面的數學思想，如分類討論這種典型的應用數學思想、類比思想等，這對于學生數學思想的形成與發展有著重要的作用。

（四）落實核心素養

高中數學核心素養包括六個方面：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析。在這六個方面中，邏輯推理和數學建模與數形結合思想息息相關。在數學建模中，構建函數關系、構建方程、利用統計學知識皆屬于數形結合范疇，而邏輯推理作為一種復合能力，涉及數學運算、數據分析等，同樣離不開數形結合。由此可見，將數形結合方法應用于高中數學解題教學，能真正落實數學核心素養，促進學生的全面發展。

三、將數形結合方法應用于高中數學解題教學的策略

（一）關注數學概念，體驗數形結合

高中生的數學學習過程呈現出明顯的階段性和差異性特點，在數學教學中，教師要遵循循序漸進原則，將數形結合的方法由淺入深地滲透到教學中，幫助學生建立數形結合思維[3]。開展解題教學的第一步就是關注最基礎的數學概念，引導學生經歷概念形成，這樣不僅能幫助學生建立起數學知識的結構與體系，還能發展學生的邏輯推理這一數學核心素養。而學生在幾何背景中觀察、思考、推導、總結數學概念的過程，正是體驗、理解數形結合思想與方法的過程。

例如：在教學“復數的概念”時，教師可以先讓學生對數集的擴充過程進行回顧，復習“自然數集→整數集→有理數集→實數集”，再以“在實數集中方程+1=0有解嗎”這一問題創設問題情境，讓學生進行思考。當學生通過交流、討論、回顧知識得出“此方程無實數解”的答案后，教師再提出以下問題讓學生思考：1.負數能否開平方？2.為了解決負數開平方這一問題，我們能否擴充實數集來解決呢？由這兩個問題，教師可以提出“科學家們由此引出了虛數i”，那么，i這個虛數單位到底有什么作用呢？這就是本節課所要學習的概念。

（二）創設問題情境，理解數形結合

數形結合方法在高中數學解題教學中的應用是非常廣泛的，如解析幾何中的對應關系、在函數中的應用、在概率與統計中的幾何概型和密度函數等[4]。為了讓學生更好地理解數形結合方法，教師可以在解題教學中創設問題情境，幫助學生更好地理解數形結合思想與方法。一方面，教師可以以數學題目中的條件為基礎，根據學生的基本學情做出適當的延伸與拓展，讓學生調動生活經驗和所學知識進行“舉一反三”后，再回歸原問題進行思考，以此引導學生從不同的角度來思考問題；另一方面，教師要對學生所做出的反應進行提前預設，準確抓住提問時機，以層層深入的問題將學生引入問題情境中，使課堂教學更加高效。

例如：在教學“直線的交點坐標與距離公式”時，教師可以提出以下問題，引導學生從直線的交點切入，逐步建立“求兩直線交點坐標就是解方程組，看解的個數”的概念：1.請分別說出以下三個公式：兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，兩平行線之間的距離公式；2.用數形結合的思想與方法分析解決具體辦法，并用圖像進行呈現；3.結合所學的三個公式，分析將復雜的問題幾何化與代數化的意義。

（三）牢抓典型真題，啟迪數形結合

數學教材是承載數學知識的“容器”，而高考題則為教師開展解題教學指明了方向。數形結合思想與方法在高考中有著重要地位，為了更好地剖析高考命題、引導學生準確抓住零散的知識點，教師應在解題教學中牢抓典型真題，讓學生在思考、探究、解答真題的過程中建立起多個零散知識點之間的聯系，體會數形結合的重要性，理解數形結合的內涵，并通過對比高考典型真題與自己平時所練習的題目，找出自身不足，有針對性地改進與提升。同時，學生在練習真題的過程中形成書寫規范，為未來的高考奠定良好的基礎。

除此之外，教師的解題教學活動不應是簡單就題解題、答疑解惑，數學方法上的提煉總結和數學思維上的點撥啟發固然對學生有著積極影響，但典型真題、例題的應用價值同樣不可忽視[5]。這就要求教師在解題教學中聯系社會生活實際，與學生共同探究數學題目中蘊含的生活經驗規律，從而開闊學生的視野，幫助學生建立數學與生活之間的聯系。例如：在學習“分段函數求最大值”的時候，教師可以將其轉化為“出租車計價”問題，讓學生求市中心到機場的距離，畫出函數圖象，探究“如何乘車才能讓花費最小”。這不僅能讓枯燥的函數知識變得更加生動有趣、變得“活”起來，還能讓學生在利用數形結合方法解題時建立起數學與生活之間的聯系，更真實地去“觸摸”數學、探究數學的妙趣。

（四）重視實踐應用，鍛煉數形結合

在當前的高中數學教學中，數學結合雖然得到了廣泛的重視，但在應用過程中仍存在一些不足，如：僅重視“以形助數”、僅將數形結合方法視作解題工具、應用意識不強等。在這些不足之中，應用意識不強是最大的問題，具體體現在學生主觀上認為作圖浪費時間、學生對知識掌握不全面、學生對代數的幾何意義理解不全面等方面。為了改善此種問題，教師要重視數形結合思想與方法的時間應用，縮短自己講解的時間，以點撥、引導的形式鼓勵學生思考、探究與解決問題，讓學生在實踐應用中鍛煉數形結合思想，最終掌握數形結合方法并將其應用于解題過程中。

例如：在講解“直線與圓、圓與圓”的相關內容時，教師首先可以用圖像呈現直線與圓的三種位置關系、圓與圓的五種位置關系，讓學生分別運用幾何法與代數法揭示、判斷原理。而后，教師可以讓學生用對比圖表的形式來對直線與圓進行對比，讓學生理解兩者關系體現了圓的幾何性質與代數方法相結合，并從不同角度切入做出客觀判斷，以此培養學生的數學實踐意識。而在教學圓的基本性質、圓被直線截得的弦長計算方法時，教師同樣可以讓學生用幾何法與代數法分別切入，運用數形結合方法簡化問題，以此得到圓的幾個基本性質，總結出求圓的弦長應注意的問題。

結束語

將數形結合方法應用于高中數學解題教學中，既是新課改對數學學科提出的要求，也是有效解決數學抽象知識、簡化數學學習的迫切需求，更是教師與學生在數學“教”與“學”的過程中實現協同發展、共同成長的個人訴求。除了數形結合這種重要方法之外，教師還要不斷探索更多的數學的教學模式與思維方法，讓學生在解題過程中對這些方法和模式進行實踐探索，選擇最適合自己的解題方法，以培養學生的創新思維，真正落實數學核心素養。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]房兵.以解題教學中的數形結合發展學生學力：兼對數形結合運用的現狀分析[J].數學教學通訊，2022（27）：58-59+66.

[3]胡亮.數形結合方法在高中數學教學中的應用探析[J].數理化解題研究，2022（33）：26-28.

[4]郭州雄.淺談高中數學中的數形結合思想[J].數理天地（高中版），2022（21）：73-75.

[5]范習昱.高中數學解題教學需要五種意識[J].教育實踐與研究（B），2013（9）：68-70.