例談聯想法在高中數學解題訓練中的運用

陳瑤

【摘要】高中數學知識內容比較多，知識之間有著相應的聯系.在高中數學某個問題中，可能會涉及多個知識點，對學生數學能力有著較高的要求.學生不僅需要夯實數學基礎，而且要能夠將各個知識點聯系在一起，靈活利用知識解題.聯想法是一種有效的解題方法，將問題和所學知識聯系起來，通過聯想等方式，明確解題思路，提高學生解題效率.本文分析聯想法在高中數學解題訓練中的應用策略.

【關鍵詞】高中數學；聯想法；解題策略

解題訓練屬于高中數學教學的常規環節之一，解題方法更是豐富，不同的解題方法可以用來處理不同類型的試題.其中聯想法在解題實踐中有著廣泛運用，指的是利用聯想的方式把基礎知識、解題經驗等充分運用起來，據此找到解題的突破口，最終順利解決的一種解題方法.在高中數學解題訓練中，教師應指導學生根據實際題目靈活運用聯想法，使其通過聯想的方式盡快確定解題的關鍵所在，從而全力提升他們的解題速度與準確度.

1 運用直接聯想方法，簡潔處理數學試題

從本質視角來看，聯想是將已經學習過的知識與未知知識整合起來，結合所學內容科學合理的展開推理找到解決問題的方法.在高中數學解題訓練中，涉及的知識點較多，題目類型更是復雜多變，有的題目無須聯想即可輕松求解，當遇到難度較大試題時，教師可指引學生結合題目中的公式與條件運用直接聯想法，使其優化解題思路，簡潔處理數學試題［1］.

例1 已知集合A={－4，2a－1，a2}，B={a－5，1－a，9}，假如A∩B={9}，請問a的值是什么？

解析 學生可以根據題干中的條件“假如A∩B={9}”展開直接聯想，發現9∈A，由此得出2a－1=9或者a2=9，求出a的值，然后他們運用分類討論思想進行逐個分析、驗證與求解.

具體解題方式如下：根據題意可得到2a－1=9或者a2=9，解之得a＝5，a＝3，a＝－3，接著進行分類討論：

（1）當a＝5時，集合A＝{－4，9，25}，集合B＝{0，－4，9}，這時A∩B={-4，9}，與題設相矛盾，故舍去；

（2）當a＝3時，集合A＝{－4，5，9}，集合B＝{－2，－2，9}，集合B存在問題，所以也要舍去；

（3）當a＝－3時，集合A＝{－4，－7，9}，集合B＝{－8，4，9}，這時A∩B={9}，故a的值是－3.

2 應用抽象聯想方法，實現化復雜為簡單

高中數學試題比小學、初中的復雜一些，難度也更大，不少題目中都不會提供數學概念與公式，或者給出的條件比較抽象，當遇到此類試題時，高中數學教學應當指導學生認真閱讀題目，題目中提供的已知信息進行二次加工，通過抽象聯想的方式找到各個條件之間的內在關聯，實現化復雜為簡單的目的，使其以此為基礎找到簡潔的解題思路.

例2 已知函數y=f（x）對于任意x，y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y）－1，當x＞0時，f（x）＞1，且f（3）=4，那么f（x）在［1，2］上的最值是什么？

解析 處理該題目時，學生應以準確掌握函數的性質為前提，判斷函數f（x）的單調性，然后進行抽象聯想，令x，y在特殊情況下求解.

具體解題方式如下：在R上任意取x1、x2，令x1＜x2，得到f（x1）－f（x2）=f（x1）－f（x2－x1+x1）=f（x1）－f（x2－x1）－f（x1）+1，由于x2－x1＞0，那么f（x2－x1）＞1，f（x1）－f（x2）＜0，則f（x1）＜f（x2），說明函數f（x）在R上單調遞增.

然后令x=y=1，得到f（2）=2f（1）－1；

令x=2，y=1，f（3）=f（1）+f（2）=4，3f（1）－2=4，f（1）=2，f（2）=3，根據單調增函數的性質可得f（x）在［1，2］上的最小值是f（1）=2，最大值是f（2）=3.

3 使用接近聯想方法，迅速確定解題思路

接近聯想指的是在具體解題過程中，聯想到同題目有關聯的、較為接近的知識與思路的一種解題方法，需要建立在學生已有的數學知識與解題經驗基礎之上，雖然是一種較為簡單的聯想方法，不過高中數學教師應指引他們從題目中的條件聯想到相關定理、公式、概念等知識，使其將這些內容應用到解題之中，從中找到解題思路與方法，問題便可迎刃而解［2］.

例3 已知向量a＝（3，1），b＝（0，－1），c＝（t，3），而且a－2b與c共線，那么t的值是（? ）

（A）1.? （B）2.? （C）3.? （D）4.

解析 處理本道題目時，根據題干中提供的條件“a－2b與c共線”能夠接近聯想到平面向量的共線定理，然后使用這一定理獲得相關等式，再通過對比系數就可以提出t的值.

具體解題方式如下：根據題意可以得到a－2b＝（3，3），因為a－2b與c共線，結合平面向量共線定理能夠得到t3＝33，即為3t＝3×3＝3，也就是說t＝1，故t的值是1，正確答案是選項（A）.

4 借助類似聯想方法，快速獲取題目結果

類似聯想就是常說的類比聯想法，當運用類似聯想的方法解答數學試題時，高中數學教師應做到實時點撥，指引學生結合題目的實際情況基于類似之處的圖形或者式子等視角切入，使其實現從數量關系到幾何圖形、平面到空間、抽象到具體等方面進行合理聯想，從而準確找到解題的切入點，并快速確定解題思路，幫助他們輕松求出題目的正確結果.

例4 已知a＞0，函數f（x）=axa+x，令a1=1，an+1=f（an），n∈N，那么數列an的通項公式是什么？

解析 本題涉及函數與數列兩大知識點，根據題目中提供的函數表達式及相關信息，以及題設所求的是數列的通項公式，而函數與數列有著一定的類似，數列就是一類比較特殊的函數，故可以運用類似聯想法.

具體解題方式如下：根據a1=1可以得到a1=f（a1）=f（1）=aa+1，

a3=f（a2）=f（2）=aa+2，

a4=f（a3）=f（3）=aa+3，

以此類推，猜想an＝a（n+1）+a（n∈N），

根據以上得出的條件容易得知，當n＝1時，上述猜想是正確的；

假如當n＝k＋1時猜想也正確，即為

ak＝a（k－1）+a，

則ak+1＝f（ak）＝a×a（k－1）+aa+ak

＝a［（k+1）－1］+a，

由此說明當n＝k＋1時猜想是正確的，綜上可知對于任何n∈N，均有數列an的通項公式是

an＝a（n+1）+a.

5 總結

綜合起來，聯想法是一種相當有效的解題方法，在高中數學解題訓練活動中，教師需教授給學生運用聯想法進行解題的方法與技巧，突破解題思維中的障礙，達到觸類旁通、舉一反三的效果，使其結合題目中提供的信息從多個視角進行思考與聯想，快速、精準尋找有利于解決試題的途徑，最終達到準確解答問題的目的，逐步提高他們解答數學試題的水平.

參考文獻：

［1］楊漢.聯想法在高中數學解題中的應用［J］.語數外學習（語文教育），2020（12）：46.

［2］涂翰卿.聯想法在高中數學解題思路中的應用分析［J］.明日，2021（09）：1.