高中數學教學中數學建模思想的應用

孫素貞

【摘要】在近幾年高考數學中，學生建模能力考查越來越受重視，因此，在高中數學教學中，應當重視學生建模能力以及模型應用能力培養，有效提高問題解決能力，實現學生綜合能力的提升.本文分析數學建模思想在高中數學解題教學中的應用.

【關鍵詞】高中數學；數學建模；應用策略

在新課程標準中明確指出，在數學學習中，注重數學建模思想的應用，為學生提供自主學習的空間，加深學生數學學習體驗，感受數學知識的作用與價值，加強數學學科與生活的聯系.作為高中數學教師，借助典型的數學例題，傳授學生模型構建技巧，利用模型解決問題，傳授學生解題方法，鍛煉學生數學解題能力，實現學生數學綜合素養的提升.

1 構建函數模型，解決數學問題

對于高中數學來說，函數模型是一種比較熟悉的數學模型，在初中數學學習中已經有所接觸.在高中數學中，函數模型更加深入，難度增加，教師需要加強函數模型講解，讓學生了解函數模型構建的關鍵點，在解題時，認真閱讀題目，理解題目意思，找出自變量的范圍，準確解題題目.同時，教師需要向學生講解常見的函數模型解題方法，如二次函數、指數函數以及三角函數等模型，讓學生了解應用相應的知識解題［1］，例題如下：

例1 某個樹林現有的木材儲量為7100cm3，為了使木材儲量在20年后達到28400cm3，（1）那么每年木材儲量的平均增長率為多少？（2）如果每年的平均增長率為8%，那么幾年后可以翻兩番？

分析 此題在解答時，可以利用函數模型中的指數函數模型.

解 （1）設增長率是x，根據題意得 ：

28400=7100（1+x）20

所以（1+x）20=4，20lg（1+x）=2lg2，即lg（1+x）≈0.03010，

所以1+x=1.072，

所以x≈0.072=7.2%.

（2）設y年可以翻兩番，所以28400=700（1+0.08）y，即1.08y=4，

所以y=2lg2lg1.08≈0.60200.0334≈18.02，所以在18年之后就可以翻兩番.

2 構建數列模型，解決數學問題

高中數學數列學習中，主要有等差數列和等比數列，并且兩種數列各有特點，如等差數列中相鄰兩項的差值是定值，而等比數列中，相鄰兩項的比值為定值.在數學解題中，根據數列知識構建數列模型，重點求解數列的首項和公差或者公比.然而，還有一些數學問題比較抽象，教師需要引導學生回顧數列知識內容，如數列前n項和、單調性等，對于等比數列則需要分類討論公比為1和不為1.例題如下：

例2 政府部門決定通過“對社會的有效貢獻率”來評價企業，用an表示企業在第n年投入的環保費用，bn表示企業第n年的產值.設a1=a萬元，之后每年的環保費用比上一年增加增加2a萬元，設b1=b萬元，企業每年產值的平均增長率是10%，用pn=anbn100ab表示企業第n年的“對社會的有效貢獻率”.那么，從第幾年開始，企業的“對社會的有效貢獻率”不低于20%？

分析 此題解題時，通過審題，分析題干可以得出，需要構建出等比數列和等差數列模型.環保費用符合等差數列特點，構建相應的等差數列模型解題.

解 因為an=a1+2a（n－1）=（2n－1）a（a∈N+），

bn=b1×（1+0.1）n－1=1.1n－1b（b∈N+）

所以Pn=（2n－1）a×1.1n－1b100ab

=（2n－1）·1.1n－1%

先證明Pn=f（n）=（2n－1）·1.1n－1%是增函數，

因為Pn＞0 Pn+1Pn=（2n+1）×1.1n%（2n－1）×1.1n－1%＞1

所以Pn+1＞Pn

所以Pn=f（n）=（2n－1）·1.1n－1%是關于n的增函數.

Pn+1－Pn=（2n+1）×1.1n%－（2n－1）×1.1n－1%.

因為P9=17×1.18%≈36.38%＞20%，

P4=7×1.13%≈9.31%＜20%

P7=13×1.16%≈23.01%＞20%，

P6=11×1.15%≈17.71%＜20%

因此，從第七年開始，企業的“對社會有效貢獻率”不低于20%.

3 構建空間模型，解決數學問題

為了讓學生能靈活利用空間模型解決立體幾何問題，教師可以利用多媒體技術，從不同的角度展示立體圖形，幫助學生深入理解空間的點、線、面要素，讓學生聯系生活進行想象，對立體幾何圖形形成清晰的印象.同時，教師可以結合具體問題解答，傳授學生立體幾何的常規解題方式以及向量法解題方法，強化學生空間模型構建能力［2］.例題如下：

例3 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1上的一點，CE=2EC1，則異面直線AE與A1B所成角的余弦值是.

分析 此題解題時，通過對題目進行分析，構建相應的空間模型，快速有效解題.

解 以D作為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，構建空間直角坐標系，設AB=3，所以A（3，0，0），E（0，3，2），A1（3，0，3），B（3，3，0），AE=（－3，3，2），A1B=（0，3，－3）

設異面直線AE與A1B所成角為θ，則異面直線AE與A1B所成角的余弦值是：

cosθ=|AE·A1B||AE|·|A1B|=322·18=1122.

4 構建不等式模型，解答數學問題

對于高中學生來說，不等式是比較熟悉的內容，為了提高學生知識應用能力，教師應當注重基本不等式模型的構建，以及利用基礎不等式模型解決問題.在解題中，根據題目中的參數關系，合理配湊參數，是基本不等式應用的基礎.同時，還需要考慮不等式的定義域，保證結果的準確性［3］.例題如下：

例4 在對某個房屋房頂和外墻噴涂隔熱材料時，隔熱材料的使用年限是20年，一層隔熱材料是每毫米6萬元.每年的能源消耗費用H（萬元）與隔熱層厚度x（毫米）的關系是H=403x+5（0≤x≤10）.設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用的和.（1）解釋H（0）的含義，求解f（x）的表達式；（2）當隔熱層多厚時，業主付的費用最低，比沒有隔熱層節約多少錢？

分析 根據建造費用和能源消耗費用，得出f（x）的解析式.利用基本不等式計算出f（x）的最小值，以及對應x的值，和不適用隔熱材料的費用進行對比.

解 （1）H（0）=405=8，H（0）的實際意義是不適用隔熱材料，每年的能源消耗費用是8萬元，f（x）=8003x+5+6x（0≤x≤10）

（2）f（x）=8003x+5+6x

=8003x+5+2（3x+5）－10≥21600－10=70，當且僅當x=5時取等號

所以厚度為5毫米時，總費用最低是70萬元，如果不適用隔熱材料，20年的能源消耗費用是160萬元，業主可以節約90萬元.

5 構建三角模型，解決數學問題

在高中數學解題中，對于一些復雜的數學問題，教師需要引導學生對題目進行轉化，結合三角形關系，構建三角模型，完成解題.在高中數學中，三角模型是幾何模型中的重要模型，不僅包含三角模型的使用，還需要利用正余弦定理以及勾股定理等解題.例題如下：

例5 A觀察哨在上午11點接到通知，正西方出現風暴，向正東方移動，預計兩個小時達到A觀察哨，并且繼續向前移動，同時，在觀察哨發現一艘輪船，在A北偏西60°的B點，經過一段時間之后，輪船到達A點北偏東60°的C點，輪船保持 93km/h的速度勻速前行，最后達到A點正東方5千米處的小島E點，如果輪船在BC段的時間是CE段的四倍，那么輪船是否可以在風暴到達A點之前回到E點？

分析 通過題目分析可以得出B、C、E三點共線，畫出相應的示意圖，如圖1所示，根據示意圖構建三角模型，計算BE的長度.

解 由題意得出BC=4CE，

設CE=x，所以BE=5x，BC=4x，

在三角形ABE中，因為∠EAB=150°，

所以利用正弦定理，sinBAE=sin∠EABBE，

所以sinB=12x.

因為在三角形ABC，∠CAB=120°，

所以根據正弦定理，sinBAC=sin∠CABBC，所以AC=433.

在三角形ACE中，因為∠CAE=30°，AE=5，AC=433，

所以根據余弦定理，CE2=AE2+AC2－2AE·ACcos30°，

所以CE=933，BE=5933，所以，航行時間t=53h，即輪船經過t=53h后到達小島E，因為53＜2，得出輪船在風暴達到A點之前可以回到E點.

6 構建概率模型，解決數學問題

在日常生活生產中，概率模型被廣泛使用，利用概率模型，分析解決生活中的很多問題.因此，在高中數學教學中，注重培養學生概率模型應用能力，加強基礎知識講解，傳授學生計算方式，深入理解和掌握事件聯系.針對與統計有關的知識，要求學生掌握相關概念的同時，還需要學生掌握相關計算公式，了解各個參數的意思，避免出現運用錯誤［4］.例題如下：

例6 在某種飲料的促銷中，通過瓶蓋內印“再來一瓶”和“謝謝惠顧”字樣，開展促銷活動，“再來一瓶”則可以免費兌換飲料一瓶，視作中獎，其概率是16.如果甲、乙、丙三人各買一瓶飲料，（1）甲、乙中獎，丙未中獎的概率是多少？（2）求解中獎人數X的分布以及期望E（X）.

解 （1）由題意可知，中獎和未中獎屬于互斥事件，

所以未中獎的概率是1－16=56，

設甲中獎，乙、丙沒有中獎為事件A

因為三人中獎與否是相互獨立的，

所以由獨立事件概率模型，

P（A）=16×56×56=25216.

（2）根據題意，X=（0，1，2，3），

所以P（X=0）=C03×（16）0×（56）3=125216；

P（X=1）=C13×（16）1×（56）2=75216：

P（X=2）=C23×（16）2×（56）1=15216；

P（X=3）=C33×（16）3×（56）0=1216.

所以X的分布列如下表1所示

所以E（X）=0×125216+1×75216+2×15216

+3×1216=12.

【本文系安徽省淮北市教育科學研究項目課題“數學建模思想在高中數學教學中的應用研究”<立項編號：HBJK2102015>研究成果】

參考文獻：

［1］武琪.例談數學建模思想在解答實際問題中的應用［J］.語數外學習：語文教育， 2020， （11）：47-47.

［2］劉道貴.利用高中數學建模思想解題探究［J］.數理化學習：高中版， 2019（5）：3.

［3］施紅娟.論高中數學教學中引入數學建模思想的方法［J］.數理化解題研究， 2019（21）：2.

［4］孟祥林.高中數學教學中數學建模的引入途徑探微［J］.中學生數理化（教與學）， 2019， （7）：42-42.