從數感到符號感，發展學生抽象能力

高峰官 王國強

［摘? 要］ 數感與符號感既有區別，又有密切聯系. 初中“數與代數”的學習正是學生由數感形成符號感，發展抽象思維的關鍵時期. 教師要善于引導學生用字母表示數，把握數與代數運算法則之間的內在統一性，滲透從特殊到一般的數學思想方法，優化數感、強化符號感，提升學生的抽象思維能力與運算推理能力，從而促進學生核心素養的提升.

［關鍵詞］ 數感；符號感；抽象思維；運算能力；核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》引領著我國義務教育階段數學課堂教學實踐與改革的深入. 初中數學課程要培養的核心素養，主要包括三個方面：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界. 在義務教育階段，數學眼光主要表現為：抽象能力、幾何直觀、空間觀念與創新意識. 在數與代數模塊的學習中，主要就是培養學生觀察、歸納、概括的能力和學生的運算能力. 抽象思維能力是數學思考與數學表達的基礎與前提，抽象思維能力主要包括學生的數感、量感與符號意識.

正確理解數感與符號感的內涵

數感的培養始于小學，在初中階段需要進一步優化與深化. 數感是學生學習和運用數學知識分析、解決問題的基礎能力與素養. 數感主要是指對數與數量、數量關系及運算結果的直觀感悟，學生能夠在真實情景中理解數的意義，能用數表示物體的個數與事物的順序，能在簡單的真實情境中進行合理的估算并做出合理的判斷，能初步體會和表達事物所蘊含的簡單數量規律. 數感是形成抽象思維能力的經驗基礎，也是學生建立符號意識的基礎.

符號感，即符號意識，也是始于小學階段，在初中階段同樣需要進一步發展. 符號感主要是能夠感悟符號的數學功能，即知道符號表達的現實意義，能夠初步運用符號表示數量、關系，并進行運算和表達一般規律；知道用符號表達的規律具有一般性. 初步體會符號的使用是數學表達與數學思考的重要形式，符號意識是形成抽象能力與推理能力的經驗基礎.

抽象能力主要是指數感、量感與符號感. 抽象能力是指對現實世界數量關系與空間形式的抽象能力，在數與代數的學習中，主要是對數量關系進行抽象，得到數學的研究對象，形成數學概念、性質、法則和方法的能力. 要求學生能夠從實際情境或跨學科的問題中抽象出核心變量，探尋變量的規律及變量間的關系；能夠從具體問題中概括出一般性結論，形成數學的方法與策略，并在此過程中感悟到數學抽象對數學產生與發展的作用，形成數學想象力.

可見，從數感到符號感，既是對數感的強化，又是學生抽象思維能力的進一步提升.

理性分析初中生數感與符號感培養的困惑

學生在初一數學起始階段，主要是數與式的學習. 這一部分的學習是建立在小學形象思維的基礎上的，是對小學整數、小數、分數四則混合運算學習的進一步深入. 在初中數與代數的教學中，教師需要進一步發展學生的數感，通過引入字母表示數，建立和優化學生的符號意識，從而進一步發展學生的抽象思維能力.

部分學生從小學升入初中，顯示出了很多不習慣和不適應，主要體現在：（1）不能很好地掌握有理數混合運算，運算過程不清晰，正確率不高；（2）不能靈活運用運算律進行簡便運算；（3）對運算過程和結果缺少元認知判斷能力，不能做出直覺的評判；（4）不能熟練地從特殊到一般用字母表示數學規律；（5）學生感到學習節奏太快，每天都在學習新的內容，知識消化不及時，力不從心，分化現象比較明顯. 這些現象所反映的核心問題是學生抽象思維能力不夠，主要體現在：（1）學生的數感比較薄弱；（2）學生的數學符號感不強；（3）教學中教師沒有滲透好從特殊到一般的數學思想方法，沒有引導學生把數感與符號感自然融合，學生沒有把握好其中的內在聯系.

其實，在七年級，學生從有理數到代數式的學習，主要是優化學生的數感，幫助學生建立符號意識，促進學生抽象思維能力的發展，這是發展學生抽象思維能力和運算能力的必由階段和關鍵時期. 教師在教學中要充分認識到這一內容的啟領性、重要性和復雜性，重視數與代數之間的銜接，在數感的升華中發展學生的符號感，發展學生的抽象思維能力，為提升學生的運算能力與邏輯推理能力打下堅實的基礎.

優化數感、強化符號感，發展學生的抽象思維能力

1. 關注生活中數與符號的運用

數感與數字有關，數感的形成自然離不開數字. 生活中我們離不開數字與圖形，數學已成為人們表達與交流的工具. 生活中會用到許多符號，有時數字與符號結合在一起使用，所以我們既要讀懂數字，又要讀懂符號信息，并分析其中的含義，這是一種生活技能與常識，也是體現思考能力的一個重要方面.

例如，圖1是一張南京到上海的車票，其中包含了哪些信息？教師可引導學生用數學眼光觀察，從車票中發現車次、座號、票價、開車時間、條形碼等信息，讓學生感受數據所提供的信息以及給生活帶來的便利. 這體現了數字應用的廣泛性.

顯然，讀懂一個由數與符號相結合的圖形，需要學生具有較強的觀察能力與抽象能力. 教師要引導學生做生活中的有心人，如提問：你還能從某件產品的條形碼中，獲取相關信息嗎？這樣的交流活動，能引導學生用數學眼光觀察現實世界，體驗數字、字母、符號與生活的密切聯系，而不是將數與符號孤立起來分析，這樣便可在學習與生活中培養學生的數感與符號感，并提升他們的觀察力、抽象力和理解力.

2. 重視數字與數學規律的探究

在七年級數與代數的學習中，經常會遇到探尋數字規律的問題，如月歷中數字之間的內在關系問題. 為了弄明白數字之間的關系，我們常采用以下方法：先看幾組具體數字，發現它們之間的關系，然后歸納猜想，用字母表示數，從而在一般情形下厘清數字之間的內在聯系. 這就是從數感到符號感的拓展，是一種思維上質的飛躍，體現了數學抽象思維能力的提升.

例如，大于1的正整數m的三次冪可“分裂”成若干個連續奇數的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，若m3“分裂”后，其中有一個奇數是2023，則m的值是45.

這是一道數字規律探究題，訓練的是學生的觀察能力. 從數到用字母表示，從特殊到一般，再由一般到特殊的過程中，培養了學生的數感，強化了學生的符號感，發展了學生的抽象思維能力.

3. 重視數學語言之間的相互轉換

學生抽象能力的提升體現在其善用數學的語言表達現實世界. 數學語言通常有三種形式：文字語言、符號語言和圖形語言. 要學好數學，就要學會這三種語言之間的相互轉換，這也是七年級數學學習的重要內容之一. 在數與代數的學習中，圖形相對較少，但也有三種語言的互換. 如完全平方公式和平方差公式的推導與呈現，就是文字語言、圖形語言與符號語言之間的相互轉化，轉化中涉及數、數量關系與數學符號. 數學符號有性質符號、關系符號、運算符號，還有其他數學符號等，轉化過程能發展學生的數感，強化學生的符號意識，發展學生的抽象能力、推理能力和表達能力，能讓學生的數學表達更簡潔，數學思維更快捷.

在列代數式（用文字語言描述的數量關系）的過程中，學生的數感和符號感及抽象能力得到了發展. 如這樣一道數學題：對于5a+6b，你能給出其實際意義嗎？這是由符號語言轉化為文字語言的開放性問題. 有學生說：一支鋼筆a元，一本練習冊b元，買5支鋼筆和6本練習冊的總價為（5a+6b）元；有學生說：小明和小亮分別從小橋的兩頭相向而行，小明每步走a米，小亮每步走b米，小明走了5步、小亮走了6步后，兩人相遇，則小橋的長度為（5a+6b）米；還有學生說：1個邊長為a cm的正五邊形與1個邊長為b cm的正六邊形的周長之和為（5a+6b）厘米. 數學語言的轉換，能激發學生的學習興趣，能加深學生對數量關系和對數學符號的認識. 學生在給代數式“5a+6b”賦予實際意義時，能進一步領悟到“5a+6b”可以理解為一種數學模型，從而發展數學模型思想.

4.正確理解數學符號規定的合理性

在數學學科的發展過程中，很多數學理論的創建和形成都由數學家們對新運算符號的大膽創新和巧妙引入帶來的. 如零指數冪與負整數指數冪的規定，促進了數的運算的內在統一和諧美. 對新運算符號的理解與運用，可以加深學生的數感與符號意識. 為了進一步促進學生深入理解和形成符號化的學習策略，在代數運算教學中，教師除了讓學生熟知常規運算符號外，還可以引導學生大膽定義新的運算符號.

后一個例子涉及高中課程中的行列式定義，對初中生來說其代表一種新的運算符號. 對于這樣的運算符號，七年級的學生能夠接受，這能在不知不覺中為后續高中數學的學習做鋪墊. 教學時教師要引導學生正確理解運算符號的內涵. 當學生真正理解了，教師便可進一步啟發學生：“你可以規定一種新的運算符號，并編出相應的試題嗎？”一石激起千層浪，學生的思維很快被激活，他們會規定出很多有趣的、富有創意的運算符號，并在此基礎上編出新的運算式. 這樣不僅可以激發學生的學習興趣，強化學生的數感與符號意識，還能培養學生的抽象思維能力與創新思維能力.

可見，在“數與代數”模塊的學習中，學生既需要進行有理數的混合運算，又需要進行代數式的加減運算. 通過用字母表示數，由特殊到一般，可將兩者統一起來，并都歸結為有理數的運算. 在數與代數式的深入學習與思考中，學生的數感得到了進一步優化，符號意識得到了進一步增強. 在運算訓練中，學生的抽象思維能力、運算能力及推理能力得到了培養，提升了數學學習信心，發展了數學核心素養.