構(gòu)造三角形　解梯形問題

李江

摘 要：對第7屆世界團體錦標賽少年組團體賽第17題的解法進行了深入研究，通過構(gòu)造三角形將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.利用三角形的性質(zhì)得到了多種解法.一是借助15°角構(gòu)造其中一角為30°角的直角三角形，再運用勾股定理求解；二是借助15°角和45°角，或120°角構(gòu)造等邊三角形，然后利用三角形的性質(zhì)求解；三是構(gòu)造相似三角形，運用勾股定理和相似三角形性質(zhì)求解.通過“一題多解”，有利于培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，有利用于提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：梯形；構(gòu)造；轉(zhuǎn)化；三角形

1 試題呈現(xiàn)

題目：梯形是初中數(shù)學中常見的幾何圖形，與梯形有關(guān)的幾何計算問題是中考或競賽試題中常見的題型.如圖1，在梯形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，∠ABD=15°，∠C=45°，CD=1，求梯形中位線的長.

2 試題分析

本題是一道以梯形ABCD為基本圖形的幾何計算問題，求解本題的關(guān)鍵求得線段AB的長.易知AB∥CD，所以∠BDC=∠ABD=15°.△ABD是含有15°角的直角三角形，△BCD的三個內(nèi)角分別是15°，45°，120°.根據(jù)圖形特征易發(fā)現(xiàn)，借助15°角或120°角可構(gòu)造含30°角的直角三角形；借助15°角和45°角，或120°角可構(gòu)造等邊三角形；相似三角形的性質(zhì)也是求解線段長度問題的基本工具，可考慮構(gòu)造相似三角形.由此可以看出求解本題的基本思路：構(gòu)造三角形，將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，然后借助直角三角形、等邊三角形、相似三角形的性質(zhì)求解.

3 解法探究

思路1：借助15°角或120°角構(gòu)造其中一角為30°角的直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)求解.

解法1：如圖2，過點B作BE⊥CD，垂足為E.在線段DE上取一點F，使BF=DF.

點評：解決與線段長度有關(guān)幾何計算問題的基本工具之一是相似三角形的性質(zhì)，故易想到通過構(gòu)造相似三角形解決問題.這兩種解法運用勾股定理和相似三角形的有關(guān)判定與性質(zhì)等知識求解，方法自然，思路順暢，但求解過程較為繁瑣，計算量較大，容易出現(xiàn)計算失誤.由以上兩種解法可以看出，本題構(gòu)造相似三角形的方法不唯一.

4 結(jié)束語

梯形是初中數(shù)學中常見的幾何圖形，與梯形有關(guān)的幾何計算問題是中考或競賽試題中常見的題型.由以上解法可以看出，通過構(gòu)造直角三角形、等邊三角形、相似三角形等基本圖形，可將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，然后利用基本圖形的性質(zhì)求解.轉(zhuǎn)化的基本策略是：根據(jù)圖形特征，添加輔助線，構(gòu)造基本圖形，使所求結(jié)論與已知條件之間的邏輯關(guān)系外顯化，為問題解決創(chuàng)造條件.通過“一題多解”，有利于提升學生綜合分析問題和解決問題的能力，有利于提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

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