構造三角形　解梯形問題

李江

摘 要：對第7屆世界團體錦標賽少年組團體賽第17題的解法進行了深入研究，通過構造三角形將梯形問題轉化為三角形問題.利用三角形的性質得到了多種解法.一是借助15°角構造其中一角為30°角的直角三角形，再運用勾股定理求解；二是借助15°角和45°角，或120°角構造等邊三角形，然后利用三角形的性質求解；三是構造相似三角形，運用勾股定理和相似三角形性質求解.通過“一題多解”，有利于培養學生分析問題和解決問題的能力，有利用于提升學生的數學核心素養.

關鍵詞：梯形；構造；轉化；三角形

1 試題呈現

題目：梯形是初中數學中常見的幾何圖形，與梯形有關的幾何計算問題是中考或競賽試題中常見的題型.如圖1，在梯形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，∠ABD=15°，∠C=45°，CD=1，求梯形中位線的長.

2 試題分析

本題是一道以梯形ABCD為基本圖形的幾何計算問題，求解本題的關鍵求得線段AB的長.易知AB∥CD，所以∠BDC=∠ABD=15°.△ABD是含有15°角的直角三角形，△BCD的三個內角分別是15°，45°，120°.根據圖形特征易發現，借助15°角或120°角可構造含30°角的直角三角形；借助15°角和45°角，或120°角可構造等邊三角形；相似三角形的性質也是求解線段長度問題的基本工具，可考慮構造相似三角形.由此可以看出求解本題的基本思路：構造三角形，將梯形問題轉化為三角形問題，然后借助直角三角形、等邊三角形、相似三角形的性質求解.

3 解法探究

思路1：借助15°角或120°角構造其中一角為30°角的直角三角形，利用直角三角形的性質求解.

解法1：如圖2，過點B作BE⊥CD，垂足為E.在線段DE上取一點F，使BF=DF.

點評：解決與線段長度有關幾何計算問題的基本工具之一是相似三角形的性質，故易想到通過構造相似三角形解決問題.這兩種解法運用勾股定理和相似三角形的有關判定與性質等知識求解，方法自然，思路順暢，但求解過程較為繁瑣，計算量較大，容易出現計算失誤.由以上兩種解法可以看出，本題構造相似三角形的方法不唯一.

4 結束語

梯形是初中數學中常見的幾何圖形，與梯形有關的幾何計算問題是中考或競賽試題中常見的題型.由以上解法可以看出，通過構造直角三角形、等邊三角形、相似三角形等基本圖形，可將梯形問題轉化為三角形問題，然后利用基本圖形的性質求解.轉化的基本策略是：根據圖形特征，添加輔助線，構造基本圖形，使所求結論與已知條件之間的邏輯關系外顯化，為問題解決創造條件.通過“一題多解”，有利于提升學生綜合分析問題和解決問題的能力，有利于提升學生的數學核心素養.

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