“探究對勾函數的圖象和性質”教學設計

吳功堯

【關鍵詞】數學探究；對勾函數；核心素養

引 言

二、教法與學法分析

為了讓學生有較完整的探究體驗，教師可以設計問題鏈（包括探究方案、研究思路、發現并證明結論、成果交流與評價），并組織學生以自主探究、小組合作、交流展示等方式開展探究活動.在這個過程中，教師應成為學生開展數學探究的組織者、指導者和合作者，學生應成為數學探究的參與者、分享者和評價者.

三、教學目標及重難點分析

知識層面上，能從數和形兩個視角研究函數的圖象與性質，這是本課的重點.一方面是從形上感知，學生會用描點法畫出函數的圖象，能從圖象中看出函數的變化趨勢.另一方面是從數上確認，學生能用嚴謹的數學語言證明所得結論；能力層面上，學生能聯系所學知識，運用類比方法，明確研究思路，擬定合理的探究方案，這也是本課的難點.組內交流、組間交流、師生交流等方式，有助于培養學生清晰有條理表達的能力.在探索建立研究函數的一般模式時，學生能發展抽象概括的能力，這是本課的另一個重點；素養層面上，學生通過類比、觀察、證明、歸納，培養直觀想象、邏輯推理和數學抽象核心素養.

四、教學過程

（一）創設情境，提出問題

課前，教師引導學生試用數顯半徑規，并思考其工作原理.工程中，數顯半徑規可用于測量圓弧形面的半徑，如圖1，將測頭A，B和中間測桿D靠在圓弧面上（其中測桿D可自由伸縮），可直接讀出半徑的大小.半徑讀數隨著高度差MD的變化而變化，二者存在一定的函數關系.

設計意圖 新課標強調教學中要重視情境創設和問題設計.在綜合化的情境中，學生與情境開展有效互動，能很好地落實數學學科核心素養.數顯半徑規的設計原理可追溯到《九章算術》中的“圓材埋壁”問題.該情境兼具針對性、可接受性、科學性、啟發性和趣味性，有助于喚起學生的求知欲，引發認知沖突，調動探究的主動性和積極性.

（二）明晰思路，擬定路徑

問題1 當遇到一個新函數時，你認為可以從哪些方面進行研究？（參考答案：可以從數和形兩個方面進行思考，分別研究函數的圖象、定義域、值域、奇偶性、單調性、漸近線、對稱軸等.）

問題2 你認為可以按照怎樣的路徑研究這個函數？（參考答案：先從解析式中直接求出函數的定義域，然后利用定義證明函數的奇偶性，有了奇偶性，只要研究x>0的情況即可起到事半功倍的效果.接著運用基本不等式求出函數的最值，得到函數的值域，有了這些性質，再用描點法作圖，觀察圖象后研究函數的單調性、漸近線和對稱軸.）

（三）數形聯通，探究新知

設計意圖 在探究過程中，教師要發揮組織、指導和評價的作用，要組織學生通過自主探究、合作探究、小組展示獲得結論.學生是探究的主體，針對問題3，4，5，教師要充分發揮學生的主動性和積極性，鼓勵學生敢想、敢鉆、敢說、敢辨.問題3設置了3個追問，問題4的追問少了，到了問題5完全由學生自己發現問題，解決問題，鼓勵學生主動成為問題的提出者和問題解決者.問題3，4，5的設計，由剛開始的領著走，到后來完全放手讓學生自己研究，循序漸進，層次分明.數學探究離不開探究工具的使用，為了利于學生探究，教學中不僅用到了實物，還多次用到GGB軟件進行動態演示.

（四）類比遷移，引申拓展

整體上看，這些函數圖象的變化趨勢較為相似，通常將這類函數形象地稱為“對勾函數”.

設計意圖 類比是個偉大的“引路人”，遇到新函數時，學生可以循著相同的路徑進行探究.采用由特殊到一般的方式進行研究，符合學生的認知規律，有助于學生抽象概括、去粗取精，提煉函數的本質特征.當函數含參時，列表、描點、連線的方法不再適用，學生可以通過分析“數”來研究“形”，發現的性質越多，畫圖越準確.

（五）歸納整理，總結升華

問題7 通過本堂課的學習，你有哪些收獲？

五、教學反思

（一）促進學生學習方式的改變

數學探究有助于發展學生的創新意識和實踐能力.學生要有敏銳的觀察力，善于聯系已學知識，各自開展獨立探究，并撰寫研究報告.學生要有合作意識，積極參與討論，和小組成員一起討論探究方案，完善研究成果，形成小組研究報告.學生不僅要認真聽講，積極思考，還要敢于質疑、善于交流、勤于動手、樂于探究.

通過數學探究，學生不僅收獲了探究所得的知識，而且提升了探究的一般技能，強化了探究的成功喜悅，培育了探究真理的精神.數學學科的生命力不在于“三段式”的結論，而是“三會”，數學探究正是提升“三會”的最佳選擇.

（二）促進教師教學方式的改變

探究課強調學生的主體性，要求把時間留給學生，讓學生想、讓學生做、讓學生說、讓學生展示，教師成了學生的傾聽者、觀察者.看似教師的任務少了，實則對教師的教提出了更高的要求.

教師需要創設兼具趣味性、綜合性的情境，激發學生探究的欲望.教師需要在40分鐘內，指導學生完成擬定探究方案、確定研究思路、探求數學結論或規律、解釋或證明結論等任務.教師需要充分了解學生的“最近發展區”，鋪設探究的生長點.教師需要預判可能出現的情況，適時組織學生自主探究、小組討論、交流展示.教師需要面向全體學生，讓學習能力強的學生有事干，讓學習能力弱的學生有收獲.教師需要熟練運用信息技術，幫助學生形成良好的感性認知，從而降低探究的難度.

【參考文獻】

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