高中數學中導數解題教學策略研究

周超 王景

摘? 要：我國社會的不斷發展、科技的不斷進步直接推動了我國教育事業的蓬勃發展。與此同時，也對我國的教育提出了新的要求。對高中階段的導數部分而言，導數重要的地方在于它是很重要的數學工具，它不僅對于數學學科本身具有重要的意義，還緊密地聯系著其他學科，所以數學教師一定要重視導數部分內容的解題教學，以解題的教學思路引導學生進行思考。對此，文章通過分析高中數學中導數的應用題型，總結了高中數學中導數解題的教學策略，希望能夠為高中數學導數教學提供指導。

關鍵詞：高中數學;導數;教學策略

新課程標準提到了導數是高中數學教學的重點，是學生后期學好積分知識的關鍵基礎，同時也是高考的重點，一般而言，導數在高考數學中的占比大約在10%～20%之間。高中數學教師應該充分結合高考中常出現的重點和難點問題，引導學生通過多種方式進行有效的練習，不斷地強化基礎，提升能力，應對更多的挑戰，從而為學生的學習和成長打下良好的基礎，這有助于提升學生的高考數學成績。

一、高中數學課堂中導數教學現狀

（一）課堂主體不明確

教育方式的改革提出教學應當以學生為主體，而不是以課堂為主體。高中導數的教學不應只是維持傳統意義上的教學方式，更重要的是需要根據學生和教師群體的不同，因材施教地來制訂教學方法。而現階段的導數教學工作中，存在課堂主體不明確的問題。第一，部分教師在教學形式調整時，沒有將學生作為課堂主體，即教師講學生聽的灌輸型教學方式，學生雖然能夠在教師的引導下對課程內容有一定的了解，但學生缺乏自主分析意識，沒有在課堂中、課余時間積極分析課程知識點，不夠了解導數這一知識點的具體含義、具體應用方法，對后續的課堂教學質量有直接的影響。第二，部分教師在設計課堂主體時，沒有積極調整教學形式，導致實際開展教學工作時出現效率不高、整體性不強的問題，無法進一步提高導數這一教學工作的完整性。

（二）傳統教學方法存在弊端

數學與其他學科不一樣的點在于，它不是簡單地依靠看書以及背書就可以提高成績，它需要學生進行邏輯思考才能提高，尤其針對導數這種抽象題型的學習而言，更需要培養學生的發散思維。只注重理論培養而忽略實踐要求，培養出來的學生也只是知識的掌握者而非知識的運用者，當前社會要求全面發展的人才，而這樣的教學方式嚴重阻礙了學生的思維拓展，不利于學生的能力培養。

（三）教學設計不夠完整

教師開展導數教學工作時，存在教學設計不夠完整的問題，具體表現為以下兩個方面。第一，部分教師在針對導數課程進行教學設計時，沒有從多角度出發分析，無法在課堂中幫助學生提高綜合應用能力。而且教師在調整教學形式時，沒有參考新課標中的導數教學標準設計課程，對課程教學質量產生了直接的影響。第二，現階段教師在設計教學模式時，沒有從多角度出發分析教學現狀，部分教師對教學工作中存在的問題了解不夠，在實際開展教學工作時，具有整體性不高的現象，無法推進導數教學工作進一步發展。

二、高中數學中導數的應用

（一）在幾何問題中的運用

導數本身與幾何問題有著莫大的關聯，而幾何的有關知識點，也是高中數學需要學習的重點。考試中出現的幾何題靈活多變，如果只會用一般的解題思路進行解答，學生花費了時間和精力，最后還不一定能夠求出正確的結果，但如果用導數的方法進行解答，常常會起到意想不到的效果，會使得原本十分復雜的幾何問題變得條理清晰，容易解答。

（二）在情境導入式題型中的運用

在教育教學改革的大環境下，情境式教學方式的推廣，使得各門學科在日常的教育教學活動中，都更加注重培養學生的綜合素質，也更注重學生在學習新知識時的學習體驗。具體到考試中，則是試卷中增加了大量的情境導入式題型，而這些題型的設計靈感，往往來源于日常生活。日常生活中的數學問題，很多都可以用導數知識來解決。這種題型設計的方式，以及以這種方式來考查學生對導數知識的掌握程度，符合陶行知老先生“生活即教育”的教學理念，促使學生學會用所學的數學知識來解決實際問題。

三、高中數學中導數解題的教學策略

（一）借助多類導數討論，強化導數中的最值問題

在導數問題中，最值問題是一個很重要的問題，它需要考慮到函數的極值點、函數的端點值，以及區間問題。為了讓學生更好地解決這個問題，教師應該著重講解此節內容。同時教師需要注意，在此過程中要避免學生對知識點的混淆，所以要牢牢把握住重要環節，使得學生在學習時能夠清晰地學習導數的知識點。

例如，在函數增減性的教學過程中，對于函數的單調性要結合導數的圖像來求，f ′（x）>0，即f（x）為增函數，f ′（x）<0，即f（x）為減函數。對于極大值點x0，那么在x0附近的點恒有f（x）

比如f（x）的定義域為（-1，1），在-和2上取得極大值和極小值，求f（x）的最值。首先，我們可以看出，2并不在f（x）的定義域中，因此不存在極小值點。即f

-

就是最大值，對于最小值點，就只能去看端點值，即比較f（-1）和f（1）的大小，誰小誰就是最小值點。只有從導數中了解函數的基本特性，才能使學生意識到導數的重要性。對學習比較吃力的學生而言，教師應該在實際的教學過程中給予更多的輔助，引導學生循序漸進地學習導數相關知識。

（二）畫出導數圖像，加強學生對導數問題的感知

在實際導數教學的過程中，導數的知識點相對較多，且對學生而言較難理解。為了避免學生產生畏懼心理，教師需要幫助學生清楚地認知導數，增強學生的學習自信心。而圖形是一種很好的輔助手段，通過繪制導數圖形，學生可以更好地了解函數的極限和變化。在導數的教學中，學生是不會畫三次函數的，所以教師可以用導數和繪圖的方法，讓學生知道如何繪制出一個不熟悉的圖形。這樣學生能夠清晰地觀察到導數的變化，便于理解。

例如，對于函數f（x）=x3+x2+x+1，先對f（x）求導，即f ′（x）=x2+2x+1，學生對導數的解析式非常熟悉，就是完全平方式（x+1）2，它的圖像在x軸的上方，導數是用來表示原函數的斜率大小。因此，教師可以利用導數的圖像來給學生講解：斜率是先變小等于0之后再增大的，所以原函數是一個單調遞增函數，雖然f ′（x）在x=-1時為0，但是根據極值點的定義知道這個點并不符合，所以沒有極值點。對于兩個函數結合的題目，比如f（x）=3x2+2x+4與g（x）=ax2+6x+1（a≠0），兩個函數在x=1處斜率相等，求a的值，這就需要分別對f（x）、g（x）求導，即6x+2=2ax+6，a=2。教師在黑板上繪制圖形，讓學生了解在導數中如何正確地理解斜率相等的含義，可以為以后的教學做好準備。通過繪圖，學生更清晰地了解了曲線的分布。對在學習初期的學生而言，先在繪圖上花費一些時間，然后再做練習，可以快速地繪制出導數的圖像和函數的基本屬性。

（三）利用數學史解決導數問題，實現導數知識融會貫通

通過對導數與數學史之間的融合探索分析，加之通過調查分析和訪談研究，很多學生已經逐漸熱衷于將數學史與課堂教學相融合，在此基礎上，學生對于導數的認識也有了更加深層次的理解，對于其核心本質也有了更深刻的觀察。

例如，教師在進行導數與數學史融合教學的過程中，提問學生關于平均變化率的認識：“國家跳水隊被稱為‘夢之隊，實力非常雄厚。現在我們就來研究運動員相對于水面的高度和起跳后的時間之間有怎樣的規律？”教師可以告訴學生：“在高一階段我們已經對物體的運動平均速度和瞬時速度進行了學習，通過對數學史的探究分析，對相關的基礎理論知識研究，我們就可以在不斷地探索中，逐漸地明確現在運動員相對于水面的高度和起跳后的時間之間的規律。最終可以從得到的數據中發現，當時間間隔很小時，速度變化不大，可以在局部用均速代替，也就是用平均速度代替瞬時速度。”這種方式不僅實現了導數知識與數學史的融會貫通，也提升了學生學習積極性。

（四）巧用數形結合，突破導數單調性和極值問題

縱觀目前高考數學現狀，可以發現，“極值”是導數考察的重點知識，在解決該問題的過程中，如果只是單純從文字和概念等角度來學習，會讓學生覺得學習難度較大，而且很難讓學生準確理解知識，以及很難培養學生形成系統性的數形思維。為此，教師應該讓學生充分認知數形結合的思想，在高中數學教學過程中，學習方法、學習思路更為重要，尤其是導數知識的學習，要想保證教學的有效性，就需要保證學生學習方法和學習思路的準確性。教師可以利用數形思維將函數與圖形結合，對導數函數的單調性和極值方面的價值和應用進行教學和研究，這有助于幫助學生基本了解抽象知識。一方面數形結合的方式能夠降低學生的學習難度，直觀性的畫面有助于學生吸收相關知識。另一方面在進行數形結合過程中，教師也可以借此導入一些數學概念和相關內容的介紹。

例如，讓學生認識到什么是直線的傾斜角、什么是斜率、什么是導數的概念以及三者之間存在的聯系。通過這樣不斷地去將導數的實際應用場景進行系統性的串聯，有助于幫助學生了解知識。數形結合的方式能讓學生掌握有系統性的解答二次函數的方法。

（五）加強導數練習，培養學生的解題技巧

眾所周知，導數這部分內容在實際的應用中是比較難的，對高中階段的學生而言，導數的應用最難的部分在于函數中的運用。為了提高學生的導數應用能力，教師要指導學生訓練導數的應用技巧。這些技巧性的內容訓練，可以有效地提高學生導數的應用水平。

例如，教師可以在教學中利用導數的知識來畫二階和三階的函數圖像，學生想要解答這類題目需要應用一定的技巧，尤其到了后期，隨著學生的練習題目越來越具有綜合性，對知識點的綜合性應用和解題技巧的要求也會越來越高，教師到這時再去訓練學生的解題技巧，時機較晚。所以在最開始學習導數這一部分內容時，教師在教學的過程中，要重視對學生解題技巧的培養，同時在初學階段，不僅要讓學生在實際生活案例的題目里面理解導數，還要練習相關的解題技巧。這樣的教學模式可以為學生以后的導數應用打下堅實的基礎。很多教師在教學的過程中非常容易忽視對解題技巧的教學，而更加愿意在帶領學生解答具體的題目時，不斷地滲透一些解題技巧。但是對部分高中階段的學生而言，如果教師不能明確地指出解題技巧，并明確強調解題技巧的應用方法，學生就沒有辦法有效地掌握這些解題技巧，因為這些學生的思維能力有限，做不到自己理解和歸納，所以只能接受教師歸納好的內容。

高中導數解題技巧的練習對學生而言還有其他好處，一方面解題技巧可以幫助學生即使在不太理解題目的基礎上，也可以正確地解答題目;另一方面學生可以利用技巧來幫助自己理解題目，或者尋找解題思路。對數學能力比較弱、理解能力較差的學生而言，通過反復練習掌握解題技巧十分重要，有助于解決一些基本的導數應用的題目，有效提高導數應用的相關解題能力，這促使學生利用技巧彌補天賦，有效地達到了教育目標。

總而言之，學生通過學習導數，可以理解數學知識是緊密相關的。如果學生沒有強大的導數基礎，那么學習函數和不等式或其他與導數相關的數學知識將變得較為困難，進一步導致學生學習知識的能力逐步下降。同時，高中數學教學的新課程改革，將導數內容納入教育考試大綱具有十分深遠的意義，它不僅能夠起到串聯數學學科各模塊知識的作用，還能夠起到串聯數學與其他學科知識的作用。學生學習導數知識，可以提升思維能力，而導數知識與大學數學課程的銜接，也能夠使學生在進行學級跨越時，更快地融入大學數學課程的學習中。

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（責任編輯：汪旦旦）