基于專題研究課發(fā)展代數(shù)推理能力

陳卓

課題信息：本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十三期課題“發(fā)展初中生代數(shù)推理能力的實(shí)踐研究”（課題編號：2019JK13-L017），南京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度課題“培養(yǎng)初中生代數(shù)推理能力的教學(xué)研究”（課題編號：L/2020/264）的研究成果.

摘要：推理能力是初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，在日常教學(xué)中，部分教師重視學(xué)生幾何推理能力的培養(yǎng)而忽視代數(shù)推理能力的培養(yǎng).為改變這種現(xiàn)狀，教師需要研究教材，在教學(xué)中適度滲透代數(shù)推理思想，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力.

關(guān)鍵詞：代數(shù)推理；教學(xué)設(shè)計(jì)；二次函數(shù)與一元二次方程

從推理類型來看，初中階段的推理有幾何推理和代數(shù)推理．代數(shù)推理側(cè)重?cái)?shù)和式或數(shù)量關(guān)系的變形及轉(zhuǎn)換，相對比較抽象，代數(shù)推理是學(xué)生數(shù)學(xué)思維向更高層次發(fā)展的必備能力，教材也提供了豐富的代數(shù)推理素材，因此很有必要在初中階段點(diǎn)面結(jié)合、系統(tǒng)推進(jìn)，逐步滲透代數(shù)推理.通過課題組研究發(fā)現(xiàn)，在函數(shù)教學(xué)中滲透代數(shù)思維培養(yǎng)學(xué)生推理能力非常有意義.筆者執(zhí)教了義務(wù)教育蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級下冊第五章第4節(jié)“二次函數(shù)與一元二次方程”的專題研究課，借此談一談學(xué)生代數(shù)推理能力的培養(yǎng)問題.

1 代數(shù)推理視角下的內(nèi)容分析

1.1 挖掘內(nèi)容中的推理資源

教材從“函數(shù)值何時為0”著手，探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，通過函數(shù)圖象揭示一元二次方程解的幾何意義.以“特殊—一般”“具體—抽象”的路徑逐步推進(jìn)，通過“數(shù)”和“形”的對比感受函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，這樣的設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，也符合問題探究的一般規(guī)律.結(jié)合教材，在問題情境導(dǎo)入上，以學(xué)生熟悉的命題為切入口：（1）解一元一次方程x＋1＝0；（2）畫一次函數(shù)y＝x＋1的圖象；（3）說x＋1＝0與y＝x＋1的聯(lián)系.仿照以往幾何推理的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行說理，這樣就使解方程中演繹推理格式的得出更加自然，模仿“∵……，∴……”，依據(jù)寫在結(jié)論后面括號里的方式去表達(dá)x＋1＝0與y＝x＋1之間的聯(lián)系.這樣可以有效促進(jìn)學(xué)生理解函數(shù)和方程內(nèi)容中演繹推理的表征，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力.

1.2 關(guān)于教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)

探索并獲得二次函數(shù)的圖象與x軸的三種位置關(guān)系和一元二次方程根的三種情況的對應(yīng)關(guān)系是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，在教學(xué)過程中，學(xué)生通過“思考—探索—嘗試—?dú)w納”，自主參與知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，深刻理解轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的推理能力.同時，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，從“被動學(xué)會”變成“主動會學(xué)”.

2 教學(xué)實(shí)踐

2.1 溫故知新

（1）解一元一次方程x＋1＝0.

（2）畫一次函數(shù)y＝x＋1的圖象，并指出函數(shù)y＝x＋1的圖象與x軸有幾個交點(diǎn).

（3）一元一次方程x＋1＝0與一次函數(shù)y＝x＋1有什么聯(lián)系？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過對新知識的思考，梳理舊知識，起到承上啟下之效，同時，培養(yǎng)學(xué)生“一以貫之”的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).從“數(shù)”的角度，方程的根是使函數(shù)值為0的自變量的值；從“形”的角度，方程的根是函數(shù)圖象與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).仿照以往幾何推理的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行說理，促使學(xué)生理解函數(shù)和方程內(nèi)容中演繹推理的表征．

2.2 探索活動

活動1：畫出二次函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象，解決下列問題.

（1）y＝x2－2x－3的圖象與x軸有公共點(diǎn)嗎？如果有，求出公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（2）當(dāng)x取問題（1）中公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時，相應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？

（3）從關(guān)系式來看，二次函數(shù)y＝x2－2x－3成為一元二次方程x2－2x－3＝0的條件是什么？

（4）結(jié)合二次函數(shù)的圖象，直接說出x2－2x－3＝0的根.

設(shè)計(jì)意圖：從一個特例展開二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的研究，讓學(xué)生感受研究的過程與前面所學(xué)知識的一致，并通過圖象進(jìn)一步揭示函數(shù)與方程之間的關(guān)系.用幾何推理的經(jīng)驗(yàn)、思維過程的說理，培養(yǎng)代數(shù)推理能力.

活動2：任意寫出一個二次函數(shù)，仿照剛才的研究自主探索該二次函數(shù)與其對應(yīng)的一元二次方程的關(guān)系.

（1）結(jié)合多次分析，你能歸納出任意二次函數(shù)與其對應(yīng)的一元二次方程的關(guān)系嗎？

（2）結(jié)合多次分析，你能歸納出二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系中起關(guān)鍵作用的要素嗎？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過類比，進(jìn)一步認(rèn)識二次函數(shù)與對應(yīng)的一元二次方程的關(guān)系，在“二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系”和“一元二次方程的根的情況”之間形成演繹推理關(guān)系，并在多個例子的基礎(chǔ)上，歸納（這是合情推理）得到一般性的結(jié)論.

注意引導(dǎo)學(xué)生感受代數(shù)推理的必要性和深刻性，并總結(jié)“活動2”，形成如圖1所示的板書.

2.3 例題教學(xué)

例題? 不畫圖象，判斷二次函數(shù)y＝－x2＋5x－8的圖象與x軸是否有公共點(diǎn).

解：因?yàn)橐辉畏匠蹋瓁2＋5x－8＝0根的判別式

b2－4ac＝52－4×（－1）×（－8）＝－7＜0，

所以方程－x2＋5x－8＝0沒有實(shí)數(shù)根.

故二次函數(shù)y＝－x2＋5x－8的圖象與x軸沒有公共點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步理解函數(shù)與方程互相轉(zhuǎn)化的思想，同時通過板書的展示感受推理的過程.

2.4 鞏固練習(xí)

（1）方程x2＋4x－5＝0的根是，則函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)有個，其坐標(biāo)是.

（2）下列函數(shù)的圖象中，與x軸沒有公共點(diǎn)的是（? ）.

A.y＝x2－x

B.y＝x2－2

C.y＝－x2＋6x－9

D.y＝x2－x＋2

（3）已知二次函數(shù)y＝x2－4x＋k＋2的圖象與x軸有公共點(diǎn)，求k的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：通過鞏固練習(xí)加深學(xué)生對知識的理解，并根據(jù)反饋幫助學(xué)生理清思路，尋找解決問題的途徑，從而提高演繹推理能力．

2.5 課堂小結(jié)（略）

3 教學(xué)思考

3.1 建立“教學(xué)活動”與“代數(shù)推理”的關(guān)聯(lián)

通過數(shù)學(xué)活動，認(rèn)識到二次函數(shù)和一元二次方程之間存在的關(guān)系.關(guān)注三個層面：一是從學(xué)生已有知識去構(gòu)建二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，在構(gòu)建聯(lián)系的過程中培養(yǎng)代數(shù)推理能力；二是從學(xué)生既有經(jīng)驗(yàn)畫圖推理二次函數(shù)與一元二次方程的知識點(diǎn)；三是從課堂操作實(shí)踐推理歸納總結(jié)難點(diǎn).在學(xué)習(xí)二次函數(shù)與方程時，強(qiáng)化點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的根的對應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生更好地直觀感受數(shù)形結(jié)合.

3.2 整體設(shè)計(jì)“例題示范”與“作業(yè)強(qiáng)化”

通過選擇合適的例題進(jìn)行板書示范和設(shè)計(jì)有代表性的作業(yè)培養(yǎng)代數(shù)推理能力.例題教學(xué)中，筆者選擇多名學(xué)生演板，然后讓學(xué)生交流做法，優(yōu)化過程，糾正錯誤.學(xué)生在解決問題的過程中培養(yǎng)了代數(shù)推理能力，并且實(shí)實(shí)在在地感受到了用“數(shù)”的方法解決函數(shù)問題的優(yōu)越性.

3.3 “代數(shù)推理”與“幾何推理”相互轉(zhuǎn)換

本節(jié)課是搭建抽象概念與具象知識間的橋梁，學(xué)生在深入研究y＝ax2＋bx＋c的圖象與方程ax2＋bx＋c＝0的解后，借助表達(dá)式間的關(guān)系，構(gòu)建了二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系，通過對函數(shù)和對應(yīng)的方程的具體研究形成了對二次函數(shù)和一元二次方程的認(rèn)識．

3.4 “合情推理”與“演繹推理”有機(jī)結(jié)合

本節(jié)課，二次函數(shù)與對應(yīng)一元二次方程之間關(guān)系的建立是根據(jù)師生合作，畫出指定函數(shù)圖象，通過觀察、驗(yàn)證對應(yīng)一元次二方程推斷得出來的，而且把這個經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到所有的二次函數(shù)中，整個過程符合“合情推理”的特征.而利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系去解決具體問題是一般到特殊的過程，符合“演繹推理”的特征.本節(jié)課“合情推理”與“演繹推理”相互影響.在日常教學(xué)中，要多設(shè)計(jì)豐富的數(shù)學(xué)活動，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力.在例題教學(xué)中，要強(qiáng)化規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力.在學(xué)習(xí)新知時，力求發(fā)展這兩種推理能力，這不僅是因?yàn)閮煞N推理方式是相輔相成的，而且有利于學(xué)生完整而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣J(rèn)識新知.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]錢德春.關(guān)于初中代數(shù)推理的理解與教學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（11）：2-4.