GeoGebra輔助三角函數教學研究

陳露 姜合峰

【摘要】信息技術與學科教育相結合，積極構建新型課堂教學模式，以高中人教版必修一“三角函數”為例，將GeoGebra有效融入課堂教學中，讓學生自主探究，經歷數學知識發生發展過程，體會從特殊到一般、從具體到抽象的思維方法，發展學生數學抽象、數學運算、邏輯推理等數學素養.

【關鍵詞】GeoGebra；三角函數；教學設計

1 問題的提出

《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂）在教學建議中明確指出教師要重視信息技術的運用，實現信息技術與數學課程的深度融合.2018年教育部發布《教育信息化2.0行動計劃》指出，發揮技術優勢，變革傳統模式，推進新技術與教育教學的深度融合［1］.《教育信息化“十三五”規劃》要求增強教師在信息化環境下創新教育教學的能力，使信息化教學真正成為教師教學活動的常態［2］.在北京師范大學數學科學學院曹一鳴教授牽頭下，于2011年5月成立了北京師范大學GeoGebra學院（中國總部），致力于推廣GeoGebra數學教學軟件［3］.可見國家高度重視信息技術與數學教育教學的融合.

函數是貫穿高中數學課程的一條主線，函數知識是培養學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算等數學核心素養的一個重要載體［4］.由于其具有高度抽象性和復雜性，在實際教學中學生常因理解困難、畫圖能力欠缺難以把握函數知識的本質.將GeoGebra融入數學課堂，可改善函數教學較為枯燥的現狀，更易將數形結合思想滲透到數學課堂中，并且由GeoGebra生成的動態圖象和軌跡追蹤等功能會激發學生的興趣，提高學生數學學習的積極性.

2 GeoGebra與高中數學教學融合原則

2.1 科學性原則

首先教學要確保科學性，作圖精準；其次教學要有層次性，由淺入深；最后要保持師生思維同步，不能僅被GeoGebra所吸引而忽略數學知識的學習，要做到有的放矢［5］.

2.2 主體性原則

借助GeoGebra輔助教學時，始終圍繞學生這一主體，以教學目標、教學內容為參考依據，以學生已有的認知結構為基礎，遵循學生認知和思維發展規律，讓學生在學習過程中不僅掌握數學知識，還要發展其數學思維.

2.3 探究性原則

GeoGebra為學生提供了一個可操作的探究平臺，將數學知識、數學思維可視化.在探究過程中，應重視學生生成，注重啟發引導，讓學生成為知識的“發現者”和“研究者”，在知識發生、發展過程中發散思維，積累數學活動經驗，培養探索精神.

2.4 動態性原則

高中數學具有高度的抽象性，使用GeoGebra使數學知識動態化，從而分解教學中的重難點，加強學生對知識的理解與掌握，提高教學實效性，促進學生直觀思維的發展.

3 基于GeoGebra的《正弦函數、余弦函數的圖象》教學設計

3.1 實際背景，引入新課

通過GeoGebra演示交流發電機原理、質點振動和波的傳播、簡諧運動等真實情境向學生展示生活中的正弦曲線和余弦曲線，如圖1.

設計意圖：運用動態性原則，通過生活實際感知正弦函數、余弦函數在生活中的應用，使學生感受數學源于生活，引發學生思考，激發學生興趣.

3.2 新知探究，難點突破

探究1 正弦函數圖象

問題1 如何畫出y=sinx，x∈0，2π的圖象？

方法1 在0，2π內任取一些橫坐標的值

如x取0，π6，π4，π3，π2…，再計算出對應的sinx為0，12，22，32，1.對于22和32這樣的無理數如何描點？

可借助計算器算出近似值；也可以根據正弦函數的定義精準描點，借助GeoGebra在直角坐標系中畫出以原點O為圓心的單位圓，⊙O與x軸正半軸交點為A1，0，將點A繞著點O逆時針旋轉x0弧度至點B（利用滑動條控制x0的大小），根據正弦函數的定義知點B的縱坐標y0=sinx0，故以x0為橫坐標，y0為縱坐標，得到函數圖象上的點Tx0，sinx0，如圖2.

根據正弦函數的定義，一個點的橫坐標x0表示哪幾個量？sinx0的幾何意義是什么？

根據α=lr，x0=lr=l1=l，則一個點的橫坐標x0既表示任意角，又表示這個角所對應的弧長，sinx0的幾何意義是在單位圓中角x0的終邊與單位圓交點的縱坐標.

方法2 在0，2π內取等分點

在GeoGebra中利用序列指令將圓周分成12等份，使x0的值分別為0，π6，π3，π2，…，2π，再按上述畫點Tx0，sinx0的方法畫出x0取這些值時對應的函數圖象上的點，如圖3，最后用連續光滑的曲線將這些點連接起來就得到y=sinx，x∈0，2π的圖象.

通過GeoGebra使x0在0，2π上取足夠多的值，從而畫出足夠多的點，再將這些點用光滑的曲線連接起來就得到比較精確的函數y=sinx，x∈0，2π的圖象，如圖4.

設計意圖 運用科學性原則，代數描點法作圖不精確，故利用正弦函數定義的幾何意義作圖，GeoGebra的融入既呈現知識的生成過程，讓學生直觀感知正弦函數圖象的形成過程，又培養了學生學習數學抽象、直觀想象等的數學素養.

問題2 如何畫出函數y=sinx，x∈R的圖象？

由sinx+2kπ=sinx，k∈Z知，終邊相同角的正弦函數值相等.通過GeoGebra演示自變量每增加（或減少）2π時，正弦函數值重復出現的過程（如圖5），從而得出結論：函數y=sinx，x∈2kπ，2k+1π，k∈Z且k≠0的圖象與y=sinx，x∈0，2π圖象完全一致.

通過GeoGebra將函數y=sinx，x∈0，2π的圖象不斷向左、向右移動，每次平移2π個單位長度，得到正弦函數y=sinx，x∈R的圖象，如圖6.正弦函數的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續光滑曲線.

設計意圖 運用探究性原則，分別從幾何與代數兩個角度理解函數y=sinx，x∈R的圖象，空間想象力弱的學生能通過觀察GeoGebra的動態展示達到學習目標.既培養了學生的“四基四能”，又讓他們感受到信息技術給數學研究帶來的簡便和正弦函數圖象的循環美.

探究2 余弦函數圖象

問題3 正弦函數與余弦函數是一對密切關聯的函數，能否通過對正弦函數圖象進行變換得到余弦函數的圖象？

從數的角度，根據誘導公式cosx=sinx+π2，而函數y=sinx+π2，x∈R的圖象又可通過函數y=sinx，x∈R的圖象向左平移π2個單位長度得到，故將正弦函數圖象向左平移π2個單位長度就得到余弦函數圖象；從形的角度，通過GeoGebra（如圖7），控制滑動條將y=sinx，x∈R的圖象向左平移π2個單位長度就可得到y=cosx，x∈R的圖象.

余弦函數y=cosx，x∈R的圖象叫做余弦曲線.它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪起伏”的連續光滑曲線.

追問 你能在兩個函數圖象上選擇一對具體的點，解釋這種平移變換嗎？

學生交流討論，匯報結論，若x0，y0是函數y=cosx圖象上任意一點，根據誘導公式得y0=cosx0=sinx0+π2，令x0+π2=t0，則有y0=sint0，即在函數y=sinx圖象上有對應點t0，y0，因為x0+π2=t0，即x0=t0－π2，所以點x0，y0可以通過點t0，y0向左平移π2個單位長度得到，則將正弦函數圖象上的點向左平移π2個單位長度就得到余弦函數的圖象.

類似于“五點法”畫正弦函數圖象，讓學生嘗試畫出y=cosx，x∈－π，π的簡圖.

設計意圖 運用主體性原則，充分利用已有經驗，將誘導公式學以致用，自主探究并直觀感知正弦函數與余弦函數的關系，將代數變化與幾何直觀變化相結合，滲透數形結合思想和轉化與化歸思想，培養直觀想象和邏輯推理素養，提升數學思維品質.

4 結語

新教材中正弦函數和余弦函數圖象的內容不同以往，沒有采用三角函數線，而是緊扣函數研究路徑和單位圓，利用正弦函數的定義認識正弦函數的圖象，而GeoGebra與課堂教學的融合，生動形象、高容、高效，可以帶動教學方式的轉變，讓學生體會知識的形成過程，同時也提升了數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等素養.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.教育信息化2.0行動計劃［Z］.2018-4-13．

［2］教技［2016］2號文件，教育部關于印發《教育信息化“十三五”規劃》的通知［Z］.

［3］劉怡軒.GeoGebra在中學數學教學中的應用與展望——訪談曹一鳴教授［J］.中學數學教學參考，2021（13）：42-44+54.

［4］教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2017.

［5］章建躍，李柏青，金克勤，董凱.體現函數建模思想加強信息技術應用——“函數y=Asin（ωx+φ）”的修訂研究報告［J］.數學通報，2015，54（08）：1-8.