例談小學數學教學中“圖”的使用

周琳

摘 要：兒童以具體形象思維為主，因此，兒童的數學學習離不開“圖”（圖形、圖像等）的幫助。小學數學教學中，教師要注意利用貼近生活的情境圖、表示事物的示意圖、表征數量的幾何意義圖、表征空間形式的幾何圖、梳理內容關系的思維導圖等“圖”來引導學生學習。

關鍵詞：小學數學；情境圖；示意圖；幾何意義圖；幾何圖

兒童以具體形象思維為主，因此，兒童的數學學習離不開“圖”（圖形、圖像等）的幫助。小學數學教學中，教師要充分利用“圖”來引導學生學習。具體來說，要注意以下幾類“圖”的使用。

一、貼近生活的情境圖的使用

這里的情境，包括有“物（人）”有“事”的復雜情境與有“物（人）”無“事”的簡單情境。情境圖貼近生活，貼近數學的源頭，可以把抽象枯燥的數學內容變得生動有趣，幫助學生形成用數學的眼光觀察現實世界的意識。現行各版小學數學教材，都在新授例題和鞏固練習中加入了大量的情境圖。教學中，教師可以直接出示情境圖（包括但不限于教材中的圖），引導學生提取生活經驗或開展實踐活動，進而發現數學知識、解決數學問題。

例如，對于“滿10進1”“退1作10”的算理，可以通過小棒圖和計數器圖（如圖1所示）這樣的簡單情境圖來幫助學生理解，并從中抽象出數位，發展出相同數位對齊的豎式計算方法。

再如，在圖形概念的教學中，可以出示學生熟悉的實物的圖片，引導學生抽象出長方形、平行四邊形、三角形、圓等平面圖形，以及長方體、圓柱、球等立體圖形。

二、表示事物的示意圖的使用

示意圖是情境圖的簡化。現實情境中的事物可以用示意圖表征，如用一個點（或圓圈、方框、三角等）代表一個事物，用兩點之間的連線代表兩個事物之間的關系。由此，可以方便地發現事物的數量屬性及其關系。［1］教學中，教師可以引導學生根據非圖形語言表述的事物畫出示意圖，從而理解數學意義，解決數學問題。

比如，教學一年級的“比多少”內容時，教師引導學生根據語言描述畫出表征實物的示意圖（如圖2所示），從而方便地看出誰比誰多幾或誰比誰少幾。如果學生一下子看不出，還可以進一步引導學生連一連表征實物的示意圖（使其一一對應），標注同樣多的部分以及多的部分或少的部分（如圖3所示）。

當然，其逆向問題“已知誰比誰多幾或誰比誰少幾，以及一方有多少，求另一方有多少”，也可以畫出示意圖來解決（如圖4所示）。再發散一下，還可以解決“一方給另一方多少后兩方一樣多”的問題（如圖5所示）。

再如，對于常見的“8行8列的方陣最外圈有多少人”的問題，學生如果不畫圖，而憑直覺或想象，很有可能得出“8×4=32（人）”的答案。對此，教師可以讓學生畫示意圖，并思考“是不是一定要把8行8列的人全畫出來”。學生能想到可以用一個圓圈代表一個人，且只要畫出“方陣最外圈的人”（他們排列在一個正方形的四條邊上）。在畫示意圖（如圖6所示）的過程中，學生發現，只有第一條邊要畫8個點，與其相鄰的兩條邊只要再畫7個點（否則就不是正方形），而最后一條邊只要再畫6個點。由此，得出最外圈有28人。

這時，教師可以追問：為什么比最初的32人少了4人？引導學生在畫出的示意圖上圈出每邊的8人（如圖7所示），并發現原因：四個角上的人都被算了2次，要把多算的一次去掉，所以是32-4=28（人）。由此，學生發現了解決該問題的關鍵，對該問題中數量關系的理解更加深入。

此外，對于沒有現實情境的純數量關系（計算）問題，如“從1開始的連續奇數求和”問題，也可以引導學生通過畫示意圖來解決。

三、表征數量的幾何意義圖的使用

幾何意義圖是示意圖的進一步抽象（數學化）。現實情境中事物的數量屬性、抽象之后數學情境中的數，可以用幾何意義，如線段的長度、平面圖形的面積或立體圖形的體積等（即相應幾何量計量單位的個數），直線、平面或空間中的點（即基于某一“標準”的幾何位置，與“標準”構成一定的幾何量關系）來表征。由此，很容易發現數量關系以及運算結果。［2］

這類圖形中最常見的是通過線段的長度表征數量的線段圖。通常來說，比較小的整數（離散）數量，既可用示意圖表征，又可用線段圖表征。比如，上述“一方給另一方多少后兩方一樣多”的問題，也可用線段圖來表示（如圖8所示）。再如，上述“8行8列的方陣最外圈有多少人”的問題，也可用線段圖來表示（如圖9所示）。

對于比較大的或非整數（連續）數量，常常只能用線段圖表征。特別是對于一些數量關系復雜的問題（如相遇問題、追及問題），還要用線段圖清晰地表示出數量變化（數量關系形成）的過程。比如“兩次相遇問題”：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發相向而行，他們分別到達B、A兩地后都立即返回，已知第一次相遇處離A地680米，第二次相遇處離B地340米，則A、B兩地相距多少米？這類問題沒有給出速度和時間，常讓學生不知所措，完全沒有思路。對此，可以引導學生耐心地閱讀題題目條件，仔細地利用線段圖畫出甲、乙兩人的行走路徑，得到圖10（為了表意清晰，用虛線、實線來區別甲、乙兩人的行走路徑；由于一開始不能確定誰走得快、誰走得慢，可以先作假設，再根據畫出的圖來調整）。從圖中不難看出：第一次相遇時，甲、乙合走了一個全程，甲走了680米；第二次相遇時，甲、乙合走了三個全程（這是“兩次相遇問題”的普遍規律），甲走了一個全程加340米。進一步分析數量關系可知，因為速度恒定，所以甲、乙合走三個全程的時間是合走一個全程的時間的3倍，所以第二次相遇時甲走的路程是第一次相遇時甲走的路程的3倍，即680×3=2040（米）——這里抓住了時間這個聯系甲、乙的共同量。由此，便豁然開朗：AB的距離就是甲走的路程減去340米，即2040-340=1800（米）。

此外，通過圖形的面積表征數量的方形圖、圓形圖等，也比較常見，尤其是在表征分數時（如圖11所示）。

四、表征空間形式的幾何圖的使用

現實情境中事物的空間形式可以直接抽象為幾何圖。由此，更容易研究其中的數量關系。［3］這里的幾何圖是一種特殊的情境圖，即由情境圖抽象得到的圖；也是一種特殊的幾何意義圖，即不是數量中有幾何意義，而是幾何中有數量意義。對幾何圖，主要是研究其中的數量關系。教學中，教師特別要引導學生注意這類圖的割補變化。這是教學的難點所在。

比如求不規則圖形面積的問題：求圖12所示圖形的面積。對此，可以引導學生通過分割轉化為規則圖形來求面積（如圖13、圖14所示），或者通過拼補轉化為規則圖形來求面積（如圖15所示）。

再如平面圖形變化的問題：把邊長為5米的正方形的每條邊都延長2米，求增加部分的面積。對此，學生容易畫出如圖16所示的錯誤圖形。教師可以引導學生回看題目條件，檢查所畫圖形，發現這樣畫把邊長為5米的正方形每條邊都向兩個方向各延長了2米，一共延長了4米。由此，學生不難發現正確的畫法：向一個方向各延長2米（如圖17所示）或向兩個方向各延長1米（如圖18所示）。

五、梳理內容關系的思維導圖的使用

思維導圖（樹型圖），是圍繞一個中心內容向外發散，運用圖文并重的方式，把零碎、散亂的內容有層次、有條理地聯結在一起形成的富有個性的網絡圖，是一種基于事物之間聯系進行的“再創造”。小學生對事物（尤其是知識）聯系的認識還不夠，繪制思維導圖時需要教師的示范和引導。

在小學低年段，思維導圖更多地應用于抽象數學知識的生動理解，可以引導學生結合生活經驗展開聯想和想象。在小學中高年段，思維導圖較多地應用于單元數學知識的系統整理（如圖19所示），可以引導學生抓住知識關系展開聯想和分析。

需要說明的是，本文重點梳理了小學數學教學中常用的幾類圖，從現實與抽象、數量與空間、知識點與知識體系等多個角度考慮，并不是同一維度的圖形分類。

參考文獻：

［1］［2］［3］ 程茂山.也談幾何直觀的培養［J］.教育研究與評論（小學教育教學），2022（9）：70，70，71.