逆向思維在初中數學解題中的應用

張晶晶

摘要：逆向思維是初中學生不可或缺的一項思維能力，是數學核心素養的重要體現.本文中分析了逆向思維在數學解題教學中的重要性，介紹了逆向思維能力在初中數學解題中的應用實例，并提出了學生逆向思維的培養策略.

關鍵詞：逆向思維；初中數學；實踐

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，數學課程要培養學生的核心素養，包括會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界[1].根據思維方向的順、逆之別，又可把數學思維分為正向思維和逆向思維[2].因此逆向思維是數學思維的重要組成部分，是數學核心素養的重要體現.培養學生的逆向思維，使其能夠靈活地分析和解決數學問題是培養學生核心素養的本質要求.

1 逆向思維的含義

逆向思維是相對于順向思維而言的.在思考數學問題時，按通常思維的方向進行思維稱為正向思維，而按照相反方向進行的思維稱為逆向思維.逆向思維是一種發散性思維.在解決問題時，采用逆向思維，往往能打破常規的思維模式，更容易找到解題思路.

2 培養學生逆向思維在初中數學教學中的重要性

根據皮亞杰的認知階段理論，初中學生正處于形式運算階段，是形成推理能力的關鍵時期，而推理能力是義務教育階段數學思維的主要表現之一.作為數學思維重要組成部分的逆向思維，在幫助學生深入理解學科內容、靈活選擇數學方法、開拓思維空間方面起著重要作用.

2.1 有助于學生深入理解學科內容

相比于小學階段對經驗感悟的重視，初中階段更側重于對抽象概念的理解.如果學生只按常規思維理解概念，往往不夠深刻，在解題時會出現思維誤區，而逆向思維能夠幫助學生從反面理解，不僅知道什么是對的，而且知道什么是錯的，從而掃除理解上的盲點，更加全面深入地理解概念的內涵和外延.除了概念理解，逆向思維對于學生學習公式、定理等數學內容都起著重要作用.

2.2 有助于學生靈活選擇數學方法

在解決數學問題的過程中，經常有多種不同的方法都能解決同一個問題，但不同的數學方法所對應的解題難度和效率是不同的.逆向思維是一種”反其道而行之”的思維，可以幫助學生從結果入手分析問題或從問題的反面尋求解題方法，往往能簡化解題過程，提升學生思維的敏捷性，提高解題效率[3].

2.3 有助于開拓學生的思維空間

培養逆向思維通常有兩種方式，一種是把過程反過來思考，另一種是把結果反過來思考.而無論哪種方式都有利于學生打破思維定勢，從不同的角度看待問題，從不同的方向思考問題，破除了思維的單一性，拓展了思維空間，是培養學生創新思維的重要途徑.

3 逆向思維在初中數學解題中的應用

3.1 利用逆向思維找到解題突破口

初中生的思維能力還處于發展時期，在實際教學中，教師如果難以幫助學生建立解題模型，那么學生也就很難形成相應的解題思路.因此，教師要找準問題的切入點，以更好地引導學生進行逆向思考.初中數學中存在許多幾何證明問題，而幾何證明是培養學生逆向思維能力的關鍵.在教學中，教師要抓住材料和載體的作用，引導學生探究，培養學生的創新思維能力.

例1 （北師大版九年級上冊數學教材“圖形的相似”一道課后題）如圖1，在△ABC中，D是邊AC上的一點，∠CBD的平分線交AC于點E，且AE=AB.求證AE2=AD＼5AC.

本題運用正向思維由條件出發分析問題難以找到證明思路，但從問題出發運用逆向思維卻很容易想到將結論看成線段的比例關系，而線段作為三角形的

3.2 利用逆向思維簡化解題過程

數學逆向思維具有靈活性的特點[4].在解決問題的過程中，有一些問題利用正向思維從條件入手也可以解決，但過程比較繁瑣，學生容易因為計算量大或步驟過多而出錯.這時從問題入手，利用逆向思維往往會極大地簡化解題過程，提高解題的正確率.

3.3 利用逆向思維巧解證明問題

在數學解題方法中，反證法是體現逆向思維的重要方法.反證法是先假設命題結論不成立，然后推導出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立.由于反證法需要嚴密的邏輯推理以及對已知條件、已知定理等的熟練掌握和靈活運用，因此學習運用反證法對初中學生的邏輯思維能力和解決問題的能力都有很大的幫助.

例3 （北師大版八年級上冊數學教材“平行線的性質”一節中利用反證法證明定理“兩直線平行，同位角相等”）

已知：如圖2，直線AB∥CD，∠1和∠2是直線AB和CD被直線EF截出的同位角.求證：∠1=∠2.

證明：假設∠1≠∠2，那么過點M作直線GH，使∠EMH=∠2，如圖3所示.根據“同位角相等，兩直線平行”，可知GH∥CD.又因為AB∥CD，這樣經過點M存在兩條直線AB和GH都與CD平行.這與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”相矛盾.這說明假設不成立，所以∠1=∠2.

由此證明了“兩直線平行，同位角相等”.

對于從正面很難說明的問題，比如，“∠2是無理數”“一個三角形中不能有兩個角是直角”等應用反證法往往能夠嚴謹地證明.解決這樣的問題，可以促進學生邏輯推理能力的發展.

逆向思維可以在一定程度上幫助學生避免解決問題時陷入思維誤區而不自知.逆向思維能讓學生從單純的解決問題，轉移到對數學思維能力的培養上，從而激發出對數學問題的探究熱情，并在解決問題時體會到學習數學的快樂.

4 學生逆向思維的培養策略

（1）夯實基礎知識

學生逆向思維的培養要以扎實的基礎知識為前提.學生首先要明確什么是正向才能理解什么是反向，如果盲目強調逆向思維會讓學生不知所措.而逆向思維對基礎概念、公式、定理的理解又起到了促進作用.

（2）樹立逆向思維意識

要培養學生的逆向思維，教師應在授課過程中培養學生逆向思考的意識，引導學生在解決問題時從不同

的角度積極思考，不要局限于單一解法.

（3）強化逆向思維專項訓練

逆向思維的培養不是一朝一夕就能完成的，它是長期的過程.專項練習可以強化學生的逆向思維，讓逆向思維深入學生的腦海，遇到問題可以靈活應用.

逆向思維可以幫助學生明確問題的解決途徑，拓展解題思

路，創新解題方法.在初中數學解題教學中注重培養學生的逆向

思維，可以豐富學生的視角，使思維更靈活，提升數學核心素養.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]程曉亮，劉影.數學教學論[M].3版.北京：北京大學出版社，2011.

[3]項赟蔣.逆向思維在初中數學解題教學中的應用分析[J].數理化解題研究，2021（14）：4-5.

[4]傅海倫，張佩雯，徐小惠.對數學逆向思維的再認識[J].教學與管理，2017（19）：45-47.