問題變式在高中數學教學中的應用探究

唐鵬

［摘 要］在高中數學教學過程中，教師如何創設情境，引入問題并通過問題變式來激發學生思維，最終引導學生自主構建知識框架是一個值得探討的問題。文章以“函數的零點與方程的解”的教學為例，闡述如何通過問題變式引導學生自主整理歸納函數零點存在定理。

［關鍵詞］問題變式；函數零點存在定理；高中數學

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）23-0013-03

一般的數學課堂教學歸納起來大致分兩大類：一是教師直接講授，幫助學生理解，通常的模式是“知識—講解—理解—應用”；二是教師創設問題情境，導入問題，并通過問題變式，提升學生的思辨能力，引導學生自主探究與建構知識，其模式是“情境—探究—總結—應用”。前者屬于接受式學習，不利于學生的思維發展；后者以學生為主體，由教師引導學生發散思維，自主建構知識。但如果教師的引導和問題變式不夠恰當，過于勉強，便會使整個課堂教學流于形式，學生被動接受知識。因此，如何創設情境才能自然地引發問題及其變式，同時給學生更大的空間去聯想、思考、表達和總結，是值得每一個高中數學教師深入探索的問題。下面，筆者以新人教A版數學教材必修第一冊“函數的零點與方程的解”這一節的教學為例進行說明。

一、問題變式在高中數學教學中的應用思路

在“二次函數與一元二次方程、不等式”一節中就有提及函數零點的概念，在教學這節內容時，筆者引導學生在函數與方程之間構建聯系，并從特殊到一般，引導學生歸納出零點的概念及其幾何意義，培養學生的數學抽象素養和直觀想象素養。而在“函數的零點與方程的解”教學中涉及的函數零點存在定理比較抽象，學生雖然掌握了一些基本的初等函數知識，但是想要把握該定理的本質仍然較為吃力。鑒于數形結合思想不僅能幫助學生理解知識與解決問題，還能提升學生的創新思維能力及知識遷移能力，筆者嘗試用數形結合的方法從函數零點存在定理的數學內涵出發，化數為形，設計一個真實、開放的數學情境，即給出一個不完整的函數圖象，讓學生自由、充分、靈活地展開探究，并設置問題變式（何時會有零點？有幾個零點？什么時候只有一個零點？等）引導學生思考，從而發現該函數的各種可能（如沒有零點、有一個零點、有兩個零點……），讓學生在問題變式中不斷豐富認知，建構知識。待學生通過探究歸納總結出函數零點存在定理后，筆者引導學生進行實際操練，應用函數零點存在定理解決實際問題，做到學以致用、鞏固新知，同時為學習“用二分法求方程的近似解”做好鋪墊。

二、問題變式在引導高中數學教學中的應用案例

（一）回顧引入，構建聯系

師：同學們，請觀察本節課的標題“函數的零點與方程的解”，其中包含兩個概念，而這兩個概念我們在第二章已經學習過了。大家還記得什么是函數的零點嗎？

生1：函數的零點是使[f（x）=0]的實數[x]的值。

師：所以函數的零點是一個數并不是一個點。

師：對于二次函數[y=ax2+bx+c]與一元二次方程[ax2+bx+c=0]，其判別式為[Δ=b2-4ac]。這三者間的關系如下表所示。

師：觀察表格，你們有什么發現？

生2：二次函數的圖象與[x]軸的交點和一元二次方程的解相對應。

師：那函數的零點是不是也一樣呢？

生3：函數的零點、方程的解和圖象的交點也相對應。

（二）在問題變式中探究函數零點存在定理

1.在問題變式中引入定理（一定會有零點嗎？）

師：我們知道圖象與[x]軸交點的橫坐標就是函數的零點，而零點兩側的函數值是異號（見圖1），那么只要函數值異號，就代表這個區間里一定存在零點嗎？

師：現在同學們有不同的意見，那請大家在學案上試著畫一畫，再小組討論畫出來的函數圖象與[x]軸有沒有交點，如有交點，是多少個。

生4：（展示圖2）一定存在。

生5：（展示圖3）我不贊同生4的觀點。函數圖象不連續的時候，就沒有零點了。

（學生自由討論達成共識：當兩側函數值異號且圖象連續時，一定有零點。）

師：如果其他函數圖象連續不斷時，是否一定有零點呢？

生6：不一定。當所有圖象都在[x]軸的同一側時，就有可能設有零點。

師：因此想要有零點，這個函數需要滿足什么條件？

生7：函數圖象在[x]軸兩側且圖象連續。

師：函數有零點就一定說明函數值異號且函數圖象連續嗎？（錯誤，這并不是一個充要條件）

2.在問題變式中深入探究（若零點存在，那零點的個數確定嗎？）

師：滿足了函數值異號和圖象連續就會有交點，那有多少個呢？（展示學生的答案，如圖4、圖5、圖6所示，學生回答有多個且數量不定）

師：函數零點存在定理——如果函數[y=f（x）]在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有[f（a）f（b）<0]，那么，函數[y=f（x）]在區間[（a，b）]內至少有一個零點，即存在[c∈（a，b）]，使得[f（c）=0]，這個[c]也就是方程[f（x）=0]的解。

師：對于這個定理，你們覺得我們需要重點把握什么？

生8：函數在區間[a，b]上的圖象連續不斷，而且在區間端點的函數值異號，則一定有零點；零點的個數并不一定；有零點推不出函數值異號且圖象連續。

3.在問題變式中激發學生思辨（什么情況下才能保證有且只有一個零點呢？）

師：我們發現滿足函數值異號且圖象連續是一定有零點的，但是個數是不確定的，那么什么情況下才能保證有且只有一個零點呢？

（學生觀察圖象，小組討論）

生9：再添加函數在[a，b]上單調的條件。

師：圖象連續且函數值異號可以保證有零點，再加上其單調性就可以說這個函數在[a，b]上有且只有一個零點。

［例1］判斷函數[f（x）=lnx+2x-6]的零點個數。

解：因為[f（x）=lnx+2x-6]在（0，+∞）上單調遞增，所以函數[f（x）]在定義域上至多有一個零點，又因為[f（1）=-4<0]， [f（3）=ln3>0]，所以[f（x）]在區間[（1，3）]上有唯一零點。

另外，還可通過圖象進行觀察，函數[f（x）=lnx+2x-6]的零點個數即為函數[f（x）=lnx]與函數[g（x）=6-2x]圖象的交點個數，如圖7所示.

師（追問）：觀察函數圖象，借助計算器，你能進一步縮小函數零點所在的范圍嗎？

（學生討論交流，為后續學習“用二分法求方程的近似解”做好鋪墊。）

［例2］若函數[f（x）=lnx+x2+a-1]在區間[（1，e）]內有唯一的零點，則實數[a]的取值范圍是多少？

解：因為函數[f（x）=lnx+x2+a-1]在區間[（1，e）]內有唯一的零點，且當[x>0]時，函數[f（x）=lnx+x2+a-1]單調遞增，所以[f（1）<0]， [f（e）>0]，由此可得[a<0]，[1+e2+a-1>0]，解得[a∈（-e2，0）]。

三、教學反思

數學家康托爾說過：“數學的本質在于它的自由。”本節課的教學，在學生沒有“函數零點存在定理”意識的基礎上，利用一個真實、開放的數學情境激發學生的學習興趣，讓學生對熟悉的數學情境進行觀察和思考，激活學生的思維，自然產生“零點是什么？”“零點是否存在？”“零點存在需要什么條件？”“如果存在零點，有多少種可能性？”等變式問題，激發學生聯想，并產生內驅力去自主探索學習。教師鼓勵學生小組合作對零點存在的條件進行總結，幫助學生將得到函數零點存在定理的有關要素從自然語言向嚴謹的數學語言過渡，幫助他們構建知識框架。在此基礎上，教師繼續進行變式提問，從而提升學生的思維能力。

在理論教學過程中鑒于函數零點知識內容的抽象性和復雜性，教師引導學生通過數形結合將其以更簡單的圖形方式呈現出來，從而理解并解決問題，利用數與形之間的轉變，鍛煉學生思維邏輯的嚴謹性，幫助學生條理清晰地掌握函數知識以及更準確地把握數學內容的本質，提升學生的知識應用能力。在最后具體的應用過程中教師還應全面了解學生，進行合理分層；結合具體內容，分層設計目標；緊扣教學實際，全面助力教學質量的提升和學生的個性化發展。

通過本節課的嘗試，不難看出學生有強大的想象能力和論證能力。在變式問題的探索過程中，學生會產生很多奇思妙想，因此如何在高中數學教學中創設情境，幫助學生在變式問題的探究中自主構建知識框架是值得每一個教師去探索的。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 陳群峰.用“現象”助“建構”：《函數零點存在性定理》教學嘗試［J］.教育研究與評論（課堂觀察），2020（3）：54-57.

［2］? 王冬晴，張榮延.核心素養理念下的數學教學設計［J］.贏未來，2018（22）：179.

［3］? 楊高峰.數形結合思想方法在高中數學教學與解題中的應用［J］.數學學習與研究，2020（10）：122-123.

［4］? 馮夕凱.分層教學法在高中數學教學中的應用探索［J］.中學生作文指導，2019（32）：119-120.

（責任編輯 黃春香）