不同版本小學數學教材“認識分數”習題難度比較研究

作者簡介：岑筱淇，1999年生，廣西梧州人，碩士研究生在讀，研究方向為小學數學教育；梁曉紅，1978年生，廣西崇左人，正高級教師，碩士研究生導師，研究方向為小學數學教育；梁宇，1978年生，廣西賀州人，教授，碩士研究生導師，研究方向為小學數學教育及教師發展。

摘 要：探究不同版本小學數學教材中習題的難度差異，有助于教師更好地認識和了解教材，改進教學，提高教學質量。運用鮑建生分析數學題目的綜合難度模型，對國內應用較為廣泛的人教版和北師大版小學數學教材中“認識分數”的習題進行綜合難度分析，可以發現兩個版本教材的“認識分數”習題在背景、數學認知、運算、推理、知識綜合五個難度因素上的表現并不均衡。為提高教學質量，教師在使用任何一個版本教材實施教學時，都應在研究習題背景多樣化和提高習題知識綜合水平上下更大功夫。

關鍵詞：習題難度；認識分數；教材比較；小學數學；人教版；北師大版

中圖分類號：G62 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）16-0057-05

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數學課標》）明確指出：數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源［1］92。目前，我國小學數學教材“一標多本”，各版本數學教材各具特色。習題作為數學教材的重要組成部分，在幫助學生鞏固新知、查漏補缺、提升能力等方面發揮著重要的作用?？梢哉f，習題的難度直接影響教師的教學質量和學生的學習成效。對不同版本數學教材中的習題難度進行比較研究，有利于教師深入了解各版本教材的特點，實現對教學內容更精細的打磨與完善。人教版教材和北師大版教材是我國小學數學教材中應用較為廣泛的兩個教材版本，本文選取這兩個教材版本中的“認識分數”習題進行綜合難度比較研究，旨在為有關研究者結合《2022年版數學課標》進行教材習題編寫、教師合理運用教材習題開展課堂教學提供參考，切實提升小學數學教師的課堂教學質量。

一、理論基礎

2002年，鮑建生基于那哈拉（Nohara）提出的衡量數學題總體難度（Overall difficulty）四因素，提出了一個分析數學題目的綜合難度模型［2］，并在2014年與王建磐一起對該綜合難度模型進行了完善［3］。該綜合難度模型將數學題的難度區分為背景、數學認知、運算、推理和知識綜合五個難度因素，各難度因素又進一步細分為3—4個具體的水平層次，如將背景難度因素細分為“無背景”“個人生活”“公共常識”和“科學情境”四個水平層次，將數學認知難度因素細分為“操作”“概念”“領會—說明”和“分析—探究”四個水平層次，將運算難度因素細分為“無運算”“數值運算”“簡單符號運算”和“復雜符號運算”四個水平層次，將推理難度因素細分為“無推理”“簡單推理（一至兩步推理）”和“復雜推理（三步及以上推理）”三個水平層次，將知識綜合難度因素細分為“1個知識點”“2個知識點”“3個知識點”三個水平層次。每個水平層次按其所在的水平層次依次賦值1、2、3、4分。這一模型通過構造公式[di=jnijdijn]（[jnij=n]；i=1，2，3，4，5；j=1，2，3，4…），分難度因素統計不同版本教材中“認識分數”習題樣本的加權平均值。在公式中，[di]指的是教材習題中第[i]個難度因素的加權平均值，可依次代表背景、數學認知、運算、推理、知識綜合五個難度因素的加權平均值。[dij]指的是第[i]個難度因素在第[j]個水平上的權重，這里采用等級權重的方式，即[dij]等于[j]；[nij]代表該教材相關數學習題中第[i]個難度因素在第[j]個水平上的題目數量，[n]是該教材中相關數學習題的總數，因此，對于任意的[i]（[i]=1，2，3，4，5），都有[jnij]=[n]。本文利用該模型對小學數學教材中數學習題的綜合難度在五個難度因素上進行比較研究。

二、研究對象及內容

本文集中探討人教版及北師大版兩個版本的小學數學教材，兩者均遵循《義務教育數學課程標準（2011年版）》來編寫。人教版指的是2022年教育部審定的，由人民教育出版社出版的一套小學數學教材，在我國大部分地區普遍使用。北師大版指的是2013年通過審核，由北京師范大學出版社出版的一套教材。本文對這兩個版本教材中“認識分數”的習題進行對比分析，按第一層次序號統計習題數?！罢J識分數”包括分數的讀寫、大小比較、意義、基本性質等知識。“認識分數”習題分布在人教版教材三年級上冊第八單元中的“做一做”“練習二十”，五年級下冊第四單元中的“做一做”“練習十一”“練習十二”“練習十三”“練習十四”；分布在北師大版教材三年級下冊第六單元中的“練一練”“練習五”，五年級上冊第五單元中的“練一練”“練習六”。

三、研究結果及分析

本文分析操作軟件為Microsoft Excel 2019。人教版和北師大版教材“認識分數”的教學內容均安排在三年級和五年級的相關教材中，習題總量差距不大：人教版教材中的習題總量為64道，北師大版教材中的習題總量為69道。按照鮑建生的數學習題綜合難度模型從五個難度因素的各水平層次對兩個版本教材中“認識分數”習題進行分類統計，結果如表1所示。根據得到的統計數據，我們對每個難度因素的特征進行了描述并對兩個版本教材“認識分數”習題在各難度因素上的特征進行了橫向對比，進一步比較兩個版本教材中相應習題的綜合難度。

（一）背景難度因素的比較分析

下頁圖1顯示了人教版與北師大版兩個版本教材中“認識分數”習題在背景難度因素中各水平層次習題數的占比情況。

從圖1來看，關于“認識分數”的習題，兩個版本教材在背景難度因素中，各水平層次的占比表現出相當的一致性，均以“無背景”為主，北師大版教材“無背景”習題占比為59.42%，比人教版高1.61%；“個人生活”水平層次的習題占比，北師大版教材高于人教版教材，前者為37.68%，后者為32.81%。兩個版本教材關于“公共常識”和“科學情境”兩個水平層次的習題數均不多，且人教版教材在這兩個水平層次上的習題占比均高于北師大版教材：在“公共常識”水平層次，人教版教材的習題占比為6.25%，比北師大版教材高3.35%；在“科學情境”水平層次，人教版教材的習題占比為3.13%，北師大版教材沒有出現該水平層次的習題。

分析圖1可知，兩個版本教材在“認識分數”習題的背景難度因素各水平層次的設置上均存在不均衡現象：兩個版本教材均有超過一半的習題“無背景”，反映了教材在“認識分數”相關內容的編排中更注重學生對知識本身的掌握，而不夠重視知識在實際情境中的運用，這需要引起教材編寫專家和教師們的重視。有關“個人生活”水平層次的習題相對來說不多，涉及“公共常識”和“科學情境”水平層次的習題尤為不足，這可能是因為這三個水平層次的背景需要學生擁有更多的知識積累，對學生的閱讀、理解和知識運用水平要求較高的緣故。然而，對照《2022年版數學課標》在教材編寫建議中提出的“教材素材的選取應盡可能地貼近學生的現實，以利于學生經歷從現實情境中抽象出數學知識與方法的過程，發展抽象能力、推理能力等”［1］94的要求，以及在教學建議中提出的“注重創設真實情境”，提倡教師“選擇貼近學生生活經驗、符合學生年齡特點和認知加工特點的素材”［1］87的要求，本文認為，無論是教材編寫還是教師教學，都應合理設置更多貼近學生實際、符合學生需要的有關“個人生活”“公共常識”“科學情境”背景的習題，而不是“繞道而行”，置學生“三會”核心素養（即會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界）的培養于不顧。

（二）數學認知難度因素的比較分析

圖2顯示了人教版與北師大版兩個版本教材中“認識分數”習題在數學認知難度因素中各水平層次習題數的占比情況。

從圖2來看，“認識分數”的習題，在數學認知難度因素的“操作”水平層次，人教版教材的習題占比為6.25%，北師大版教材的習題占比為11.59%，主要是考查學生在畫圖中認識分數，可見北師大版教材更加注重讓學生積累實踐操作經驗。在“概念”水平層次，人教版教材的習題占比為21.88%，比北師大版教材少了10.00%；在“領會—說明”水平層次，人教版教材的習題占比為59.38%，超過了一半，北師大版教材的習題占比為39.13%，兩者相差20.25%，說明人教版教材更加注重學生對知識的領會；在“分析—探究”水平層次，人教版教材的習題占比為17.39%，北師大版教材的習題占比為12.50%。

分析圖2可知，在數學認知難度因素上，兩個版本教材“認識分數”的習題主要考查學生的“領會—說明”和“概念”水平，“操作”和“分析—探究”水平的習題都相對較少，可見對于“認識分數”這個學習內容，兩個版本教材都較為注重學生對知識的領會、說明以及對概念的了解。通過進一步分析課本習題結構可發現，“操作”水平的習題主要考查學生對分數含義的感知，分布在整個練習的前面，“分析—探究”水平層次的習題則設置在課時練習或單元練習的最后一兩道題目當中，如人教版數學五年級下冊“練習十三”的第10題、北師大版數學三年級下冊“練習五”的第11題?！胺治觥骄俊彼綄哟蔚牧曨}放在后面，是在學生經歷了充分的操作感知、了解概念和領會知識后所進行的實踐拓展，目的是進一步提升學生解決問題的能力。

（三）運算難度因素的比較分析

下頁圖3顯示了人教版與北師大版兩個版本教材中“認識分數”習題在運算難度因素中各水平層次習題數的占比情況。

從圖3來看，關于“認識分數”的習題，“無運算”和“數值運算”水平層次的習題在兩個版本教材中的占比都比較高?！盁o運算”的習題，人教版教材的占比為54.69%，北師大版教材的占比為69.57%；“數值運算”的習題，人教版教材的占比為45.31%，北師大版教材的占比為30.43%。由此可以看出，人教版教材的習題相對偏向“數值運算”，北師大版教材的習題相對偏向“無運算”。而兩個版本教材的習題設置中，均未出現符號運算的習題，“簡單符號運算”及“復雜符號運算”的習題數及習題數占比均為0。之所以出現這種情況，與“認識分數”的知識特點有關，這部分知識屬于基礎知識，不涉及符號運算，“數值運算”的習題也不多。運算習題主要出現在“分數與除法”“分數的基本性質”中，其余均為無運算習題，注重知識的識記與熟練運用；對于分數的運算，在之后分數的加、減法和乘、除法中會安排專門的運算練習。

（四）推理難度因素的比較分析

圖4顯示了人教版與北師大版兩個版本教材中“認識分數”習題在推理難度因素中各水平層次習題數的占比情況。

圖4顯示，人教版教材“無推理”的習題占比為17.19%，比北師大版教材“無推理”的習題占比低16.14%；涉及“簡單推理”的習題，人教版教材在習題總量64道中的占比為82.81%，北師大版教材涉及“簡單推理”的習題在總量69道中的占比為65.22%，均超過六成?！皬碗s推理”的習題，人教版教材中沒有出現，北師大版教材中的相關習題占比為1.45%?？梢钥闯?，兩個版本教材的習題都以“簡單推理”為主，且人教版教材相對較多，說明人教版教材對學生數學推理及邏輯思維的訓練更為重視。“復雜推理”占比最少，原因是“認識分數”是分數學習的起始部分，更側重考查學生對基礎概念與性質的理解，尚不要求學生進行多步的邏輯推理、運用法則歸納或類比等，因此較少設置“復雜推理”的習題。而北師大版教材的一道屬于“復雜推理”水平的習題，分布在五年級上冊，涉及三步推理，是對分數知識的運用，旨在讓學生體驗“單位1”從一般到特殊的思維發展過程，以此訓練學生的邏輯思維能力。

（五）知識綜合難度因素的比較分析

圖5顯示了人教版與北師大版兩個版本教材中“認識分數”習題在知識綜合難度因素中各水平層次習題數的占比情況。

圖5顯示，在“認識分數”習題中，人教版教材有“1個知識點”的習題占比為68.75%，北師大版教材的相應習題占比為72.46%；有“2個知識點”的習題占比，人教版教材為28.13%，北師大版教材為24.64%；有“3個知識點”的習題占比，人教版教材為3.13%，北師大版教材為2.90%。整體來看，兩個版本教材中的“認識分數”習題在知識綜合難度因素各水平層次上的分布比例相差不大，均以1個知識點的習題為主，反映出教材編者更加注重學生對“認識分數”知識的直接理解，而對知識綜合的要求不高。對照《2022年版數學課標》在教學建議中提出的“要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的知識體系”［1］85要求，本文認為，教師可以在教學中適當增加習題中知識點的數目，使習題中的知識更加系統化，以提高學生對知識的靈活運用能力和綜合運用能力。

（六）綜合難度比較分析

根據前面所列公式，可計算得出兩個版本教材中“認識分數”習題各難度因素的加權平均值，并據此得出如下頁圖6所示的習題綜合難度雷達圖，以此比較兩個版本教材“認識分數”習題的綜合難度水平。

由圖6可以看出，兩個版本教材所編排的“認識分數”習題在各難度因素上的表現較為接近。具體來說，在“認識分數”習題的背景難度因素中，人教版教材所編寫的習題加權平均值為1.547，北師大版教材所編寫的習題加權平均值為1.435，相比之下，人教版教材對創設問題情境給予了更多關注；兩個版本教材“認識分數”習題在數學認知難度因素上的加權平均值在五個難度因素中都是最高的，人教版教材所編寫的習題加權平均值為2.781，北師大版教材所編寫的習題加權平均值為2.623；在運算難度因素中，人教版教材所編寫的習題加權平均值為1.453，北師大版教材所編寫的習題加權平均值為1.304，說明人教版教材比北師大版教材更加關注習題的運算；在推理難度因素中，人教版教材所編寫的習題加權平均值為1.828，北師大版教材所編寫的習題加權平均值為1.681；在知識綜合難度因素中，二者的加權平均值差別不大，人教版教材為1.344，北師大版教材為1.304。

總體來看，關于“認識分數”習題，人教版教材各難度因素的表現均優于北師大版教材，顯示出人教版教材的習題在整體難度上居于優勢。兩個版本教材在習題設計的五個難度因素上都不是均衡的態勢，從圖形來看，兩個版本教材對應的五邊形都呈左下、右上凸出，在背景、知識綜合、運算三個難度因素上的表現偏低，在數學認知和推理難度因素上的難度值相對較高，這與我國小學數學教育中逐步重視學生對知識的感悟、理解以及邏輯推理能力的教學有關［4］。

四、思考與建議

本文通過分析人教版和北師大版小學數學教材中“認識分數”的習題，發現兩個版本教材在習題設置上存在一些共性和差異。在背景難度因素中，兩個版本教材更多采用“無背景”和“個人生活”的習題，最多的是“無背景”的習題；在數學認知難度因素中，兩個版本教材習題都注重“領會—說明”，也有一定量的“概念”“操作”“分析—探究”習題；在運算難度因素中，習題主要聚焦“無運算”和“數值運算”，兩個版本的習題均未涉及“簡單符號運算”和“復雜符號運算”，這主要與“認識分數”學習內容的特征有關，這部分內容偏重性質、意義類知識的學習，較少涉及運算；在推理難度因素中，兩個版本教材均以“簡單推理”習題為主，其次是“無推理”，鮮有“復雜推理”的習題，這符合學生的學習階段特征和認知規律，對于這部分學習內容，學生暫時不需要接觸復雜的推理；在知識綜合難度因素中，兩個版本教材的表現幾乎一致，均傾向于設置包含單一知識點的習題，含有三個知識點的習題最少。綜合來看，兩個版本教材的“認識分數”習題在五個難度因素上的表現不均衡。

基于《2022年版數學課標》指引的課改方向，我們應更加關注學生數學核心素養的培養，致力于為學生提供豐富的學科知識體系，注重培養學生的推理意識、應用意識和創新意識等；“以習近平新時代中國特色社會主義思想為指導，落實立德樹人根本任務，致力于實現義務教育階段的培養目標，使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”［1］2。為了滿足不同學生的學習需求，我們提出如下習題編寫建議。

（一）注重習題背景的多樣化

習題的背景可以適當增加“個人生活”“公共常識”以及“科學情境”類的相關素材，減少“無背景”的習題。對于習題素材的選取，《2022年版數學課標》在教材編寫建議中明確提出了“教學素材的選取應盡可能地貼近學生的現實”的要求；而關于“學生的現實”，主要包括三個方面，一方面是指向學生的生活現實即學生熟悉的事物以及自然、社會中的現象和問題，另一方面是指向學生的數學現實即學生已經積累的數學知識，最后一個方面是學生其他學科現實即學生學習數學知識時在各學段已經具備的其他學科知識。［1］94有趣多樣的習題背景有利于提高學生的學習興趣，激發學生的探索欲望，因此，適當的符合公共常識、個人生活及科學情境的素材都應該更多地被采用。例如，執教五年級數學“分數的意義”時，教師可以設置這樣的習題：“在一個十字路口，紅燈持續時間是60秒，綠燈持續時間是40秒，綠燈持續時間是紅燈持續時間的幾分之幾？”這樣的情境貼近學生的個人生活，是學生在生活中可以直接感知的，同時涉及公共常識交通規則，可以強化學生遵守交通規則的意識。

另外，教師在教學過程中，也可以根據“學生的現實”對教材中的習題進行適當拓展和創新，或者增加適量圖片，或者用動畫的形式，使所創設的習題背景更加貼近學生的現實生活，引導學生學會用數學的眼光觀察現實生活，從而更加全面地發揮習題的價值［5］。

（二）注重提高習題的知識綜合水平

兩個版本教材都可適當增加3種及以上知識點的習題，可以是同一學習單元的知識點，也可以是不同單元甚至在不同學段學生已經學過的相關知識點?！?022年版數學課標》要求重視單元整體教學設計，將零散的知識進行有機整合，體現數學知識之間的內在邏輯關系［1］86。因此，教材在習題編寫上可適當對知識點進行串聯擴充。例如，將前面的“紅綠燈”習題進行適當修改，增加一個“紅燈時間是綠燈時間的幾倍？”的問題，便可有效提高本題的知識綜合水平：“在一個十字路口，紅燈持續時間是60秒，綠燈持續時間是40秒，綠燈的時間是紅燈時間的幾分之幾？紅燈時間是綠燈時間的幾倍？”該題融合了分數與除法、真分數與假分數、分數的基本性質三個知識點，有利于加深學生對這些關聯知識的理解。再如下面的習題：“老師要用一根1米長的鐵絲圍一個正方形框架，每邊用了這根鐵絲的[（" ）（" ）]，兩邊就用了[（" ）（" ）]米?！痹擃}可用于幫助學生鞏固分數與除法的關系，加深學生對分數單位的理解，使學生可以更好地感知分數表示具體量的現實意義，同時考查了正方形及其周長的知識，體現了知識之間的跨章節關聯。

綜上所述，教師在使用現有教材習題時，應秉持整體性思維，對教材習題進行適當改編，抓住知識本質，將學習內容結構化，把相關知識點串成一條線，滲透到數學習題中，使學生在練習時不知不覺地把握知識體系，發展數學思維。

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］鮑建生.中英兩國初中數學期望課程綜合難度的比較［J］.全球教育展望，2002，31（9）：48-52.

［3］王建磐，鮑建生.高中數學教材中例題的綜合難度的國際比較［J］.全球教育展望，2014，43（8）：101-110.

［4］劉久成，問婷郡.三版教材中“認識小數”習題難度的量化比較：基于蘇教版、人教版、滬教版小學數學教材［J］.小學教學研究，2019（13）：8-11.

［5］王雪梅.“雙減”背景下人教版小學高年級數學教材習題研究［D］.淮北：淮北師范大學，2022：60.

（責編 白聰敏）