大力開展探索活動 提升學生核心素養

【摘 要】 數學核心素養是在素養的基礎上升級而來的，數學教育的根本目的在于培養、提高學生的數學核心素養.數學核心素養的表現與“三會”目標以及數學的“三性”之間關系密切.數學教學設計三種思維，通過教學實現學生思維到專家思維的轉化.引導學生在經歷探索活動的過程中學習課標界定的大部分課程內容，探索是培養學生核心素養的根本途徑.

【關鍵詞】 核心素養;三種思維;課程內容;探索活動

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）首次提出核心素養的概念，把核心素養高度概括為“會用數學的眼光觀察現實世界；會用數學的思維思考現實世界；會用數學的語言表達現實世界”［1］.怎樣在教學中實現“三會”的目標呢？

筆者在認真研讀《課標（2022年版）》以及相關文獻的基礎上，首先提出了數學核心素養的九大表現與“三會”以及數學特征之間的關系；然后“創造性”地提出了數學教學活動中三個思維活動的關系；最后舉例論述了在數學概念的建立、命題學習及證明思路發現等過程中，都需要學生的探索活動才能實現.

1 進一步認識數學核心素養

數學核心素養是在數學素養的基礎上發展而來的，是2014年以來我國基礎教育課程改革的熱點問題之一.2001年的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》、2003年的《普通高中數學課程標準（實驗稿）》和《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）都將數學素養概念引入到其中.例如《課標（2011年版）》的“前言”提出“數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養”［2］.2017年版的高中課標提出“數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，數學學科核心素養包括：數學抽象、數學推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析”［3］.《課標（2022年版）》把《課標（2011年版）》上面這句話中的“應該”改為“應當”，認為“數學素養是現代社會每一個公民應當具備的基本素養”［1］1，“三會”是數學教育的總目標.

史寧中、曹一鳴［4］認為“數學核心素養反映了數學學科的基本特征及其獨特的育人價值，是現代社會公民素養系統的重要組成部分”，提出“三會”處于目標體系的頂層（核心），即核心素養是所有具體目標的總目標，并且給出了“三會”與小學、初中、高中學段數學核心素養的主要表現，見表1.

初中學段核心素養表現是有層級的：幾何直觀、空間觀念、運算能力、數據觀念位于基礎層，其次是抽象能力、推理能力、模型觀念.在數學教學中，教師應首先“制訂指向核心素養的教學目標”［1］84，然后“選擇能引發學生思考的教學方式”［1］86，逐步讓學生達到“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”［1］5-6的目標，這樣學生定能具有數學的創新意識和應用意識.

2 探索活動是培養核心素養根本途徑

史寧中、曹一鳴［4］45提出“數學課程要培養的學生核心素養，是通過數學活動逐步形成與發展的正確價值觀、必備品格和關鍵能力”.斯托利亞爾［5］認為“數學教學是數學活動的教學（思維活動的教學）”.這里的“數學活動”就是培養、提高學生核心素養的根本途徑.

數學教學是以教材為“載體”進行的，數學教材是編寫人員根據數學課程標準編寫.教材中的顯性結論是多年來“專家結論”的積累，“教教材”就是教給學生這些“專家結論”，顯性結論是“死”的東西，學生只掌握這些結論是不能進行“創造性”學習和工作的.這就是經常聽到的“不要教教材”的根據所在.“要用教材教”指通過學習教材中的（專家）結論，把學生的思維培養成專家思維.專家思維更具有生活價值，因此“不要教教材，要用教材教”是長期以來的一個課改口號.

專家的思維“滲透”在教材之中，教師通過研讀教材、設計教學方案應“復活”專家的思維，課堂上把專家思維“激活”到學生的身上，形成學生思維，整個過程如圖1所示.

從這個意義上講，數學教師通過自己對教材的研讀、教案的設計，課堂上的實際教學應“協調”好三個思維活動：專家的思維活動、學生的思維活動及教師本人的思維活動.教師應通過創設問題情境，激發學生在問題引導下積極思維、肯動腦筋、大膽猜想、通力合作、相互交流，在“活動”過程中學習課程內容的同時，把學生思維轉化為“專家思維”，這是最理想的教學追求.

“專家思維”才是最為重要的素養，這種素養是培養《課標（2022年版）》提出的九大核心素養的基礎.學生究竟參與怎樣的“活動”才能既學習知識，又能形成“專家思維”呢？

《課標（2022年版）》在表述“課程內容”時用了“經歷”“體驗”（或“體會”）“感悟”“探索”四個過程性目標動詞.初中學段共有157條具體課程內容，在表述這157條內容中，“經歷”使用了6次，“體會”10次、“感悟”3次、“探索”36次.

“課程內容”是培養和發展學生數學核心素養的“載體”，學生只有完全達到這157條課程內容的要求，才能有效地開展“綜合與實踐”活動，也才能為核心素養的發展奠定相互關聯的、邏輯優化的知識結構基礎.

在數學教學中，教師通過研讀教材，把教學內容進行整體加工，重新設計成一些能引導學生探索的問題系列，讓學生在探索過程中，完成《課標（2022年版）》界定的課程內容，是實現其課程目標的關鍵，同時逐步向具有“專家思維”的目標奮進.

3 數學學習離不開探索活動

課程內容都“散現”在教材中，這些內容主要包括數學概念、數學命題和數學證明.

3.1 數學概念：探索得到模型

數學概念是揭示現實世界空間形式與數量關系本質屬性的思維形式，是構成教材的基本單位，是“四基”的核心，是學生獲取基礎知識、感悟基本思想、積累基本活動經驗的“載體”.學生對數學概念的掌握情況影響著數學素養的形成與發展.

概念教學有一套“規范”的程序，薛茂芳教授認為這個程序可分解為三個基本步驟［6］：

（1）感性奠基.在這一步中，教師從學生的現實出發，精心選取幾個生活實例，讓學生通過思考，對這些實際問題進行“符號化”處理，抽象出幾個典型的、具有代表性的對象.通過觀察每個對象具有的屬性，初步感知這些對象的眾多屬性.

（2）理性分析.引導學生理性分析第一步中獲得的感性認識，舍棄眾多屬性中的非本質屬性，歸納、概括出這些對象的本質屬性.

（3）給出定義.在概括出本質屬性后，給出數學定義.

案例1 一元一次方程的建立過程.

一元一次方程的建立具有“典型性”，為了讓學生經歷這個概念的建立過程，我們設計了下面的三個環節：

【問題情境】

思考下列問題，并相互交流：

（1）一頭剛出生的大象約100公斤，90天后為145公斤，設這頭象平均每天增加t公斤，則可建立等式_________________________.

（2）某個足球的標價是240元，如果按標價的八折銷售，仍可獲利20%，設每個這種足球的進價為x元，則可建立等式_________________________.

（3）古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺，繩長、井深各幾何？

意為：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩四折來量，井外余繩一尺，繩長、井深各幾尺？如果設繩長為a，則可建立等式_________________________.

設計意圖 對于初中階段的“方程”，《課標（2022年版）》在“課程內容”中的要求是“能根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程”.一元一次方程是一個重要的數學概念.對于這個新知識，我們根據《課標（2022年版）》提出的“知識背景—知識形成—解釋聯系”的要求，從“學生現實”出發設計了三個問題，將其用“問題情境”給出.學生在對三個實際問題思考的基礎上，借助于列代數式的經驗，將三個問題進行抽象，從而得到下面的三個等式：

100+90t=145，240×0.8-x=20%x，13a-4=14a-1.

這三個等式是學生對這三個實際問題“符號化”處理的結果，這種設計有助于學生“會用數學的眼光觀察現實世界”素養的發展.這個環節就是概念教學中的“感性奠基”一步，這三個等式成為下面進一步分析、考察的對象.

【思考分析】

（4）仔細觀察上面的三個等式，說出每個等式的特點.

設計意圖 為培養學生“會用數學的思維思考現實世界”的素養，我們設計了這個問題，目的是引導學生通過觀察、分析三個等式的特點，進而用自己的語言說出每個等式的特點.這是一個開放的問題，學生將會得出很多的特點：①每個等式的兩邊都是整式；②每個等式都只含有一個未知數；③這些未知數是用不同的字母表示的：第一個問題是用t表示的，第二個問題是用x表示的，第三個問題是用a表示的；④每個等式中未知數的次數都是1；⑤有的等式只有一邊含有字母（第一個等式），有的等式兩邊都含有字母（第二、三個等式）……

學生得到這些屬性是觀察、分析、思考的結果，教學時教師對學生的回答應給予充分的肯定.這樣做有助于激發學生的求知欲望，培養學生大膽發言，逐步養成良好的學習習慣.

（5）歸納、概括出三個等式的本質屬性.

（6）給出一元一次方程的定義.

設計意圖 學生針對上面的諸多屬性，通過思考、交流、抽象、概括等活動，歸納出這些等式的三個本質屬性：（1）方程的兩邊都是整式；（2）每個方程都只含有一個未知數；（3）未知數的次數都是1.至此，教師要鼓勵學生自己嘗試給出一元一次方程的定義.這種設計可養成學生“會用數學的語言表達現實世界”的素養.

這個案例告訴我們，對于數學概念等新知識的學習，教師要把重點放在課堂的準備上，通過研究教學內容，結合學生的學習實際，精心設計問題系列，引導學生主動學習，在經歷“過程”中完成對概念等新知識的學習，引導學生經歷概念的建立過程是培養和發展學生抽象能力、運算能力、模型觀念等素養的重要途徑.史寧中、曹一鳴［4］46認為，“使學生形成和發展‘數學眼光’的一條基本途徑是加強概念教學”.

初中教材中的大部分數學概念，只要教師能圍繞具體的知識點設計好問題系列，都能讓學生在探索活動的過程中，理解概念的內涵，把握概念的本質，完成對概念的學習.

3.2 數學命題：在探索中發現

數學命題指數學中的定義、公理、公式、性質、法則、定理等，它們都是反映數學對象和概念間關系的重要知識.對于數學命題，我們都可以引導學生通過探索活動自己發現.

案例2 頻數與頻率的探索過程［7］.

頻數與頻率是“統計與概率”領域的概念，為引導學生經歷這兩個概念的建立過程，并發現“各組的頻數之和等于實驗的次數，各組的頻率之和等于1”.我們設計了下面的試驗探索活動：

（1）取6個質地、大小都相同的乒乓球，將其中的兩個標上字母A，兩個標上字母B，其余兩個分別標上字母C和D，然后裝進一個不透明的袋子里.搖勻后從中隨機地摸出一個球，有幾種可能發生的結果？如果把同一種可能發生的結果看做一個事件，哪個事件發生的可能性大，哪個事件發生的可能性小？

（2）進行了一次摸球試驗后，記下摸出的球上所標的字母，把球仍放回袋中.如果重復這樣的摸球試驗50次，你能猜出將會得到怎樣的結果？

（3）進行上面的試驗50次，分別統計出標有各個字母的球被摸到的次數.

（4）利用劃“正”字的方法，分別統計（1）中各個可能發生的事件的頻數，并計算出相應的頻率，把結果填入下面的頻數、頻率分布表的相應空格處：

（5）觀察完成的頻數、頻率分布表，由此能得到哪些信息？

（6）分別計算上表中各組結果的頻數之和與頻率之和，你有什么發現？

設計意圖 本設計以“摸球”為背景，目的是在引導學生經歷“數學試驗—記錄數據—分組整理—展示數據—分析數據”的系列活動中發現規律.前三個問題主要是為了引出頻數和頻率的概念作“鋪墊”；后三個問題是對這50次摸球的結果進行分小組統計并分析，目的是引導學生探索到“各組的頻數之和等于實驗的次數，各組的頻率之和等于1”.這是頻數、頻率的一個性質，這個性質在進一步學習統計與概率的有關知識時非常有用.本設計有助于培養學生數學運算能力和數據觀念、應用意識等核心素養.

數學中的大部分數學規律都可以讓學生在探索的過程中自主發現，學生在探索得到這些規律的過程中，有助于思考能力、觀察能力、歸納概括等能力的培養與提高.

3.3 數學證明：探索發現證明思路

數學證明就是根據已知條件（含定義、公理、定理等），經過一步一步的推理證實結論正確性的過程.在《課標（2022年版）》界定的“課程內容”中，有很多內容是用“探索并證明”提出的.如“探索并證明平行線的判定定理”［1］64“探索并證明線段垂直平分線的性質定理”［1］65“探索并證明垂徑定理”［1］67等等.對于這種表述的課程內容，我們在教學中要精心設計問題情境，引導學生先發現結論，然后再證明結論.

在引導學生解答證明題時，要把重點放在引導學生探索證明的思路上，這就是常說的對于證明題，要學會“分析—證明”.

案例3 如圖2，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點，F是BC的延長線上一點，EG⊥AE交∠DCF的平分線于點G，求證：AE=EG.

探索過程：要證明AE=EG，聯想到證明線段相等的常用方法.可從全等三角形的對應邊相等嘗試探索：觀察圖2發現AE，EG這兩條線段，一個在Rt△ABE中，一個在△ECG中，而且這兩個三角形的“形狀”“大小”都不同.因此需要添加輔助線構造全等三角形.在AB上截取AM=EC，連接ME（如圖3），只要能證明△AME≌△ECG即可.考查△AME與△ECG，目前已有的條件只有AM=EC這一個，需要證明∠AME=∠ECG以及∠MAE=∠CEG.因為CG平分∠DCF，所以∠GCF=45°，所以∠ECG=135°.于是需要證明∠AME=135°，這一點易證.

探索∠MAE=∠CEG的過程：因為∠AEC=∠AEG+∠CEG=∠B+∠MAE，由EG⊥AE得到∠AEG=∠B，所以∠MAE=∠CEG.

設計意圖 學生在證明幾何問題時，常見的困難是不會添加輔助線，其根源在于沒有明確證明的思路.為幫助學生通過添加輔助線探索到證明思路，我們以“正方形”為背景設計了本題，目的是考查學生通過證明三角形全等推出線段相等.采用的方法是“倒推法”，證明的過程只要“從后向前寫出來”就可以.

這樣的設計有助于培養學生的幾何直觀、推理能力等素養.對于數學證明問題，長期堅持這樣的訓練，學生證明問題的能力將大有提高.

數學教學應以《課標（2022年版）》界定的課程內容為“載體”，教師精心設計問題情境，引導學生通過積極的探索活動，不僅僅學到教材中的顯性結論，而且還能具備“專家思維”，最終實現“三會”的課程目標.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.5：5-6.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2011年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.1：1.

［3］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版［M］.北京：人民教育出版社，2018.4.

［4］史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程課標（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.8：45.

［5］A.A.斯托利亞爾.數學教育學［M］.丁爾陞，等譯.北京：人民教育出版社，1984.7：10.

［6］薛茂芳.數學概念及其教學：修訂版［M］.北京：光明日報出版社，2013.11：135.

［7］展濤.義務教育數學教科書：九年級下冊［M］.青島：青島出版社，2014.7：75-76.

作者簡介 孫友權（1979—），男，江蘇揚州人，中學高級教師；江蘇省特級教師后備人才，江蘇省“333高層次人才”培養對象，江蘇省鄉村培育站領銜人，泰州市十佳教師，泰州市學科帶頭人；獲得江蘇省青年教師優質課一等獎，主持多項省、市級課題；發表論文20余篇，其中，人大復印報刊資料《初中數學教與學》全文轉載1篇.