核心素養導向下的高中數學微專題教學設計策略

摘" 要：高中數學微專題教學設計是引導學生深入思考、提升學生關鍵能力、促進核心素養落地的有效途徑. 基于對“導數中的多變量問題”的專題探討，通過設計微專題教學，激發學生學習興趣，引導學生自主探究，讓學生學會系統梳理處理多變量問題的基本策略，凸顯微專題教學在培育學生核心素養中的重要作用.

關鍵詞：微專題；教學設計；自主建構；素養提升

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）04-0021-05

引用格式：吳清華，周遠方，向立政. 核心素養導向下的高中數學微專題教學設計策略：以“導數中的多變量問題”為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（4）：21-25.

核心素養是新一輪課程改革的核心，數學核心素養在教學中落地的實踐研究成為數學界普遍關注的焦點，更是每位數學教師都必然面對的重大課題. 基于核心素養，根據課程標準和學生學情，教師應該如何精準確定教學目標，精心組織教學內容，如何通過有的放矢的教學策略與課堂把握，助力學生高效掌握數學知識與方法，提升學生的關鍵能力呢？根據多年教學實踐，筆者認為開發微專題教學系列課程，既是促進數學核心素養落地的重要載體，也是激發學生自主學習興趣和動力的必要環節，更是提升學生關鍵能力的有效途徑.

“微專題”是指立足于具體學情、教情、考情，選擇一些切入點小、角度新、針對性強的微型專題，致力于解決復習中的真問題和實問題. 微專題教學具有因微而準、因微而細、因微而深、因微而活等特點，可以收到見微知著的效果. 微專題教學通過對知識的總結、拓展和延伸，能有效幫助學生鞏固新知，解決學習中的難點、疑點、盲點和混點問題，能進一步幫助學生深化對知識的理解，培養學生的鉆研精神，發展學生的核心素養. 筆者依據多年教學的實踐經驗，將微專題教學設計劃分為以下五類：知識拓展類，方法總結類，交會關聯類，思想提升類，研究性學習類. 下面聚焦方法總結類微專題教學設計，以“導數中的多變量問題”為例，說明核心素養導向下的微專題教學設計策略.

一、教學分析

1. 教學內容設計

函數與導數中常有一類涉及多個可變因素的問題，這些因素可同時變化，可相互制約，盤根錯節，變幻莫測. 此類問題內涵豐富，綜合性強，解法靈活多變，可以將其統稱為“導數中的多變量問題”.

面對復雜的變量關系，學生往往一籌莫展，一時無法厘清頭緒，難以找到解決問題的突破口和方法. 我們有必要就這一類問題進行專門探討，引導學生深刻理解與把握數學本質，找到解決問題的一般方法，提升學生的數學思維品質和數學核心素養.

2. 教學目標設計

（1）熟悉導數多變量問題的常見類型有求參數范圍、不等式證明、存在性探索問題、恒成立問題等.

（2）構建導數多變量問題思維導圖，掌握解決問題的常見方法有消元、換元、主元、同構和數形結合等.

（3）在綜合運用導數知識解決問題的過程中，引導學生深度思考，發展聯想性和批判性思維能力，提升學生的邏輯推理、數學抽象、數學運算等素養.

二、教學過程設計

1. 提出問題

引例" 若對任意正實數x，y都有[2y-xelnx-lny-]

[ym≤0]，則實數m的取值范圍為" " " " .

思路探索：問題含有[x，y，m]三個變量，如何求解？可以先將不等式變形為[2-xyelnxy≤1m]，通過設[xy=t]，構建關于[t]的函數[ft=2-telnt tgt;0]，再用導數方法探求其最大值，從而得解.

提出問題：該題通過相除的方式，將兩個變量[x，y]合二為一構建函數，實現化繁為簡、化難為易的目的，充分體現了對轉化思想和函數思想的應用. 函數與導數中常會出現這類涉及多個可變因素的問題，有哪些常見的解決策略呢？

【設計意圖】從學生的考卷中引出高中數學中一類常見的問題——導數中的多變量問題. 學生面對此類問題時，常倍感棘手，甚至束手無策. 此時，提出這一主題加以專門研究，能很好地契合學生的心理，激發學生的學習興趣.

2. 揭示規律

例" 已知函數[fx=1x-x+alnx].

（1）討論[fx]的單調性；

（2）若[fx]存在兩個極值點[x1]，[x2]，試證明：[fx1-fx2x1-x2lt;a-2].

針對第（2）小題，有以下探索思路.

思路1：面對多變量問題，最基本的思想就是消元. 待證不等式[fx1-fx2x1-x2lt;a-2]中含有[x1]，[x2]和[a]三個變量，注意到它們之間是有關聯的，我們可以利用[x1]和[x2]是方程[x2-ax+1=0]的兩根這一層聯系或者依據表達式變形后的自身結構，通過等量代換或放縮，最終轉變成單一變量進行研究.

解法1：消元法（用等量關系消元）.

由（1）知，當且僅當[agt;2]時，[fx]存在兩個極值點[x1]，[x2]，且[x1]，[x2]是方程[x2-ax+1=0]的兩根，

所以[x1+x2=a]，[x1x2=1].

不妨設[x1lt;x2]，則[0lt;x1lt;1lt;x2].

因為[fx1-fx2x1-x2][=-2+a?lnx1-lnx2x1-x2]，

所以只需證[alnx1x2x1-x2-2lt;a-2]，

即證[lnx1x2x1-x2lt;1]，也即證[lnx1x2gt;x1-x2].

由[x1x2=1]，得[x2=1x1].

代入上式，只需證[lnx21gt;x1-1x1]，

即證[2lnx1-x1+1x1gt;0].

令[gx=2lnx-x+1x 0lt;xlt;1]，利用導數研究單調性得證.

解法2：消元法（放縮消元）.

由解法1，知[fx1-fx2x1-x2=a?lnx1-lnx2x1-x2-2].

由對數平均值不等式，得[x1-x2lnx1-lnx2gt;x1x2=1].

所以[0lt;lnx1-lnx2x1-x2lt;1].

因為[agt;2，]

所以[fx1-fx2x1-x2=a?lnx1-lnx2x1-x2-2lt;a-2].

結論得證.

思路2：通過觀察發現，待證不等式具有關于[x1]和[x2]的輪換對稱性的特征，這種特征啟發我們嘗試將其轉化為同構形式，構建新函數，借助函數的單調性來完成不等式的證明.

解法3：同構法（消去參數[a]后同構）.

由解法1知，[x1+x2=a].

不妨設[x1lt;x2]，則[0lt;x1lt;1lt;x2].

于是[fx1-fx2x1-x2lt;a-2]等價于[fx1-fx2x1-x2lt;x1+]

[x2-2]，

即證[fx1-x12+2x1gt;fx2-x22+2x2].

令[hx=fx-x2+2x]，

則可以將證明[fx1-fx2x1-x2lt;a-2]的問題轉化為證明[hx1gt;hx2]的問題，

即證[hx1gt;h1x1 0lt;x1lt;1].

令[Fx1=hx1-h1x1 0lt;x1lt;1]，

則[Fx1=hx1-h1x1]

[=2alnx1-x21+1x21]

[=2x1+x2lnx1-x21+1x21]

[=2x1+1x1lnx1-x21+1x21]

[=x1+1x12lnx1-x1+1x1].

由解法1，知[Fx1gt;0].

結論得證.

解法4：同構法（保留參數[a]同構）.

由解法1，知[x1+x2=a].

不妨設[x1lt;x2]，則[0lt;x1lt;1lt;x2].

[fx1-fx2x1-x2lt;a-2]等價于[fx1-fx2gt;a-2 ·]

[x1-x2]，

即證[fx1-a-2x1gt;fx2-a-2x2].

構造函數[Gx=fx-a-2x]，

則將證明[fx1-fx2x1-x2lt;a-2]轉化為證明[Gx1gt;]

[Gx2].

[Gx=-a-1x2+ax-1x2].

由[fx=0]，得[x2-ax+1=0]，

即[x2=ax-1].

于是[Gx=-a-1x2+x2x2][=2-a].

因為[agt;2]，所以[Gxlt;0].

則[Gx]在[0，+∞]上單調遞減，

由[x1lt;x2]，得[Gx1gt;Gx2].

結論得證.

思路3：通過等價變形，發現待證不等式可以整理成關于[x1x2]的整體結構，那么能否通過將[x1x2]換元，把問題化歸成單變量問題來處理呢？

解法5：換元法（比值代換）.

由解法1知，[lnx1x2gt;x1-x2]，

即[lnx1x2gt;x1-x2x1x2=x1x2-x2x1].

令[t=x1x2nbsp; "0lt;tlt;1]，

則[φt=lnt-t+1t 0lt;tlt;1].

所以[φt=1t-12tt-12t=2t-1-t2tt=-t-122ttlt;0].

所以[φt]在[0，1]上單調遞減.

因為[φ1=0]，

所以[φtgt;0]，即[lnt+1-ttgt;0].

所以[lntgt;t-1t].

結論得證.

思路4：待證不等式中含有[x1]和[x2]兩個變量和一個參量，能否借助三者之間的關聯，將它們統一為關于[a]的表達式，然后視[a]為主元，構造函數研究問題呢？

解法6：主元法（反客為主）.

由（1）知，當且僅當[agt;2]時，[fx]存在兩個極值點[x1]，[x2]，且[x1]，[x2]是方程[x2-ax+1=0]的兩根.

不妨設[x1lt;x2]，

則[x1=a-a2-42]，[x2=a+a2-42].

于是[x2-x1=a2-4]，[x2x1=a+a2-422].

由解法1知，即證[lnx1x2gt;x1-x2]，即證[lnx2x1lt;x2-x1].

等價于證明[2lna+a2-42lt;a2-4].

構造函數[Ha=2lna+a2-42-a2-4" "agt;2].

當[agt;2]時，[Ha=2-aa2-4lt;0]，

所以[Ha]在區間[2，+∞]上單調遞減.

故[Halt;H2=0]，即[2lna+a2-42lt;a2-4]恒成立.

結論得證.

【設計意圖】課堂上，教師要求學生嘗試用多種方法解決該題，就多變量問題如何處理展開深入思考. 課堂上教師恰時恰點地引導，學生小組交流合作全班展示，在思維的碰撞中逐漸清晰解決多變量問題的常見思路. 通過一題多解的設計和不同解法之間的對比，從多個角度挖掘問題的深層結構，揭示多變量問題的本質特征，提升學生的創新思維和探索精神.

3. 自主探究

練習1：已知函數[fx=2lnx-1x]. 若對任意的[x1，x2∈0，+∞]，不等式[fx1-fx2≥m1x1-1x2]恒成立，求實數[m]的取值范圍.

【設計意圖】讓學生認識和體會不同情境下輪換對稱式的結構特征，學會通過對變量定序，創造等價變形的條件，從而讓不等式的兩側呈現同構特征，由此構造一個同源函數，利用函數的單調性探求參量取值范圍. 通過對比分析同構法解題的結構特征，培養學生的觀察能力、數學抽象和邏輯推理能力.

練習2：設函數[hx=ax+x+b]，對任意[a∈12，2]，都有[hx≤10]在[x∈14，1]恒成立，求實數[b]的取值范圍.

【設計意圖】引導學生突破思維定式，抓住主要矛盾，嘗試將多元表達式視為關于某個變量（即主元）的函數，并將其余變量視為參數，由此解決問題. 提醒學生選取主元時要把握三個要點：一是主元應該有比較明確的范圍（即稱為函數的定義域）；二是構造出的函數要易于研究；三是變更主元時，要消去有范圍限制的元，則這個范圍應由主元承擔.

練習3：已知函數[fx=x2+alnx-2x a∈R].

（1）求[fx]的單調遞增區間；

（2）若函數[fx]有兩個極值點[x1，x2 x1lt;x2]，且[fx1-mx2≥0]恒成立，求實數[m]的取值范圍.

【設計意圖】消元思想是高中數學中的基本思想方法之一，它既可以顯性地表現為一種具體的技能，又可以隱性地指引思維的方向. 此題和例題，一道求解參數取值范圍，一道證明不等式，雖然問題不同，但是涉及的三個變量中[x1，x2]都為函數的極值點，有區別又有聯系，讓學生在對比研究中體會不同情境中消元思想的應用.

練習4：已知函數[fx=x-aex]有兩個不同的零點[x1，x2]，求證：[x1+x2gt;2].

【設計意圖】當多元表達式通過消參變形，能將某一個含多變量的式子視為一個整體，則可以通過換元轉為一元表達式，常見的如[x1x2]，[x1x2]，[x1±x2]等. 若在某些情況下，齊次變形無法實現，直接湊出[x1x2]這種結構較為困難，則可以先設[t=x1x2]，從而得出[x1=tx2]，代入有關條件中消去[x1]，再通過變形化為關于[t]的不等式加以證明. 這是極值點偏移問題，還有其他的解法.

練習5：若實數a，b，c，d滿足[a2-2lnab=3c-4d=1]，求[a-c2+b-d2]的最小值.

【設計意圖】用結構化眼光分析表達式的幾何特征，找到數與形的結合點，就可以恰當地運用相關知識解決問題.

4. 構建體系

提出問題：根據前面的研究和探索，我們有什么感悟？

引導反思：當我們面對的問題中存在多個變量時，要先認真審視題目條件，看看變元之間有無明確的等量關系，進而考慮能不能消元. 如果沒有明確的等量關系，看看能不能利用不等關系放縮消元；如果不能利用不等關系放縮消元，則要重新審視表達式的結構或將表達式進行適當的變形，考慮能將其中某變量視為主元從而變為單元問題嗎？能通過換元實現減元嗎？能構建一個同構表達式嗎？你注意到了表達式背后的幾何意義了嗎？你會綜合運用這些方法解決問題嗎？

方法總結：通過上述探討，可以引導學生歸納總結“解決導數中的多變量問題”的微專題思維導圖如圖1所示.

三、教學反思

1. 借助微專題教學構建深度學習、減負增效的生本課堂

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出：“重視學生數學學科核心素養和解決問題的能力，需要引領學生向深度學習發展.”該專題的設計，聚焦一題多解和多題歸一，目標指向深度學習、減負增效. 通過一題多解激發學生的學習興趣，打開學生的解題思路，拓寬學生的視野，培養學生從不同的視角分析問題、解決問題的能力. 而通過問題對比設計，實現多題歸一，引導學生歸納概括結構特征，揭示一般規律，體會相應解法的普適性和一般性. 該設計立足“四基”，強調知識的關聯性和思想方法的一致性，使解題從表層走向深刻，從零散走向系統，著力幫助學生強化數學知識的內化與遷移，完善學生數學知識體系的建構，促進學生思維品質與問題解決能力的提升. 與大專題教學內容相比，這種設計更能突出重點、突破難點，學生通過深度探究和體驗，加深了對知識的本質性理解，積淀了豐富的數學活動經驗，提高了學習效率.

2. 借助微專題教學促進數學核心素養的有效落實和提升

高中數學課堂的主要目標是發展學生的數學核心素養，而如何通過重構課程內容與形態有效落實數學核心素養是我們常常思考的一個問題.

微專題教學在知識的整合、方法的深化和能力素養的提升上具有得天獨厚的優勢. 對于教師而言：一方面，教師要立足教學實際，精準把握學情，找到學生的疑點、盲點和薄弱點；另一方面，教師要深入把握主線內容，通過課堂設計構建多級有序的知識體系，找到關鍵能力和核心素養的生長點. 對于學生而言，要聚焦主題、沉浸其中，自主思考、合作交流，以更寬的視野挖掘問題本質、從系統高度提煉思想方法，會一題、通一類，達成“一課一得”的目標. 在微專題教學實施過程中，學生的數學抽象、數學直觀、數學運算和邏輯推理等能力得到了有效提升. 因此，可以說，從數學核心素養形成的基本過程出發，探討作為核心素養落地的一種途徑和方法的微專題教學，是具有十分重要的意義的.

參考文獻：

［1］吳新建. 高三微專題復習課的實踐與思考：以復合函數[y=fux]的零點問題的教學為例［J］. 數學通報，2016，55（5）：43-45.

［2］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.