基于中考的幾何直觀分析研究及提升策略

摘" 要：幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣.幾何直觀有助于把握問題的本質、明晰思維的路徑，可以使問題簡單化，有利于學生的數學學習，所以幾何直觀的培養應貫穿整個中學階段的數學學習.圖形與幾何是中學數學內容的四大領域之一，

是培養學生幾何直觀的主要“營地”.文章通過對2022年福建省中考數學第25題進行分析，體現出幾何直觀的重要性，繼而給出在初中數學教學中培養幾何直觀的策略.

關鍵詞：幾何直觀；中考試題；分析；研究；提升策略

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）17-0044-03

收稿日期：2024-03-15

作者簡介：張朝杉（1998.8—），女，貴州省金沙人，碩士，從事數學教學研究；

楊紀華（1983.11—），男，河南省周口人，博士，教授，從事數學研究.

基金項目：寧夏高等學校一流學科建設（教育學學科）資助項目（項目編號：NXYLXK2021B10）.

中考是九年義務教育之后對學生進行分流的第一道屏障，是中國教育體系中的關鍵節點，對學生的未來發展具有重要意義.對大多數學生而言，中考中的幾何問題是最具挑戰性的，這類題目不僅需要學生具備扎實的幾何推理能力，還需要學生具備直觀分析與空間想象能力.在初中數學教學中，對學生幾何直觀素養的培養正是為了做到這一點.

1" 幾何直觀的內涵辨析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）明確規定［1］，幾何直觀素養的培養由以下四方面構成：首先，將點、線、面、三角形、四邊形等基本圖形爛熟于心，這樣在遇到復雜的圖形時便能進行分辨，并且能夠根據圖形特征進行分類處理；其次，在實際問題中往往出現的是文字語言，需要鍛煉學生將文字語言轉化成符號語言的能力，再借助圖形的性質解決問題，然后，上升到思想層面，即發展學生的數形結合思想，引導學生養成運用空間想象建立模型思考問題的習慣；最后，所有知識來源于生活，最終也將回歸到生活之中，即培養學生養成用圖表分析問題和解決問題的能力.

幾何直觀素養是指學生運用圖表分析解決現實問題的意識與習慣，數學課堂教學對學生幾何直觀素養的養成與發展尤為重要.幾何直觀不僅有助于學生更加準確地把握數學問題的本質、更加清晰地構造問題解決的思路，也能使初中學生的學習從具體向抽象發展，從而進一步發展學生的數學抽象思維［2］.數學教育的關鍵不是教授給學生的數學知識，而是學生即使在將數學知識遺忘之后還能留下的數學思維.中學階段是培養學生數學思維的關鍵時期，幾何直觀不僅能讓學生開闊解題路徑、明晰解題思路，還能培養學生的抽象思維能力和邏輯推理能力.

2" 幾何直觀的考點分析與試題賞析

《課程標準》規定，義務教育階段的數學課程由數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個領域組成，其中圖形與幾何領域是培養發展學生幾何直觀素養的主要營地.初中階段，圖形與幾何領域的內容包括“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”，它們之間具有層層遞進的關系，也是學生學習的過程.這樣的學習過程有助于學生逐步發展幾何直觀素養，提升抽象思維和邏輯推理能力.

2.1" “圖形的性質”考點分析

“圖形的性質”是第一層次的學習.在小學階段數學學習的基礎之上，讓學生通過實際操作、觀察探究和直觀想象，深入了解圖形，從而掌握圖形的相關性質和定理［3］.其包含點、線、面、角、相交線與平行線、三角形、四邊形、圓和定義命題定理的相關內容，涉及了圖形與幾何領域中的絕大部分內容，是圖形與幾何領域的核心基礎.就像修房子時的地基，必須把地基打牢，上面的高樓才能屹立不倒.在中考中，對“圖形的性質”這部分內容所考查的試題比較基礎，但題量偏多偏廣.

2.2" “圖形的變化”考點分析

“圖形的變化”是第二層次的學習，在經歷了“圖形的性質”主題學習之后，讓學生結合物理學科知識，了解圖形在運動變化中所體現出來的規律及其在變化中保持不變的量，感受學科之間的密切聯系［4］.其包含圖形的軸對稱、圖形的旋轉、圖形的平移、圖形的相似和圖形的投影.這部分知識點在中考中涉及的試題量僅次于“圖形的性質”，難度不算高，是學生在“圖形的性質”上的拔高.

2.3" “圖形與坐標”考點分析

“圖形與坐標”是第三層次的學習，需要學生將之前在數與代數領域所學的內容與現階段所學的圖形與幾何領域的內容相聯系，即常說的數形結合，強調通過數形結合的思想方法，再結合坐標法來分析解決現實的數學問題，其包含圖形的位置與坐標、圖形的運動與坐標.其中，前者所考查的題目較為簡單，后者考查的題目一般是中考卷的最后一題，也就是壓軸題，需要學生綜合運用所學知識來解決問題.平面直角坐標系是溝通代數與幾何的重要橋梁，學生在具體情境中，學會從幾何的角度發現問題和分析問題，經歷從幾何直觀和邏輯推理來分析問題和解決問題，培養其創新精神和應用意識，提升幾何直觀、空間觀念、推理能力、抽象能力等.

2.4" 中考典型試題賞析

例1" （福建省2022年中考數學第25題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx經過A（4，0），B（1，4）兩點．P是拋物線上一點，且在直線AB的上方．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標；

（3）如圖1，OP交AB于點C，PD∥BO交AB于點D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為S1，S2，S3．判斷S1S2+S2S3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

解析" 本題是一道以二次函數為背景的中考壓軸題，是典型的“圖形與坐標”問題，主要考查一次函數和二次函數的圖象與性質、三角函數、三角形面積、相似三角形的判定與性質、坐標求解和最值問題等，所涉及的思想方法有數形結合、函數與方程、數學建模等，其綜合性強，對學生而言具有一定的難度.

（1）已知拋物線方程含有兩個參數a，b，且拋物線過A（4，0），B（1，4）兩點，將A，B的坐標代入拋物線方程可得到一個關于a，b的二元一次方程組，解出a，b的值再代回原方程即可.易求得拋物線的解析式為y=-43x2+163x．

（2）利用待定系數法可求出直線AB的解析式為y=-43x+163.過點P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點N．過點B作BE⊥PM，垂足為E．由已知條件易得S△PAB=S△PNB+S△PNA=32PN，設Pm，-43m2+163m1lt;mlt;4，由點的坐標特征易知m，-43m+163．由PN=-43m2+163m--43m+163=83，解方程即可求得m的值.易求得點P的坐標為2，163或（3，4）．

（3）由已知條件可得△OBC∽△PDC，進而可得S1S2+S2S3=CDBC+PCOC=2PDOB，過點B，P分別作x軸的垂線，垂足分別F，E，PE交AB于點Q，過D作x的平行線，交PE于點G，可得△DPG∽△OBF，設Pm，-43m2+163m1lt;mlt;4，Dn，-43n+163，則Gm，-43n+163，根據PDOB=DGOF可得4n=m2-m+4，根據S1S2+S2S3=CDBC+PCOC=2DGOF=-12m-522+98，根據二次函數的性質即可求得最大值．顯然，當m=52時，S1S2+S2S3取得最大值，最大值為98.

3" 幾何直觀的培養策略

3.1" 貫穿教學全過程，關注影響的一致性

幾何直觀素養的培養貫穿整個義務教育階段乃至高中階段，也就是說，在學生進入到初中之前，小學學習的線段、三角形、四邊形等，使學生已經對平面圖形和立體圖形有了初步認識，形成了初步的空間觀念和幾何直觀.進入初中階段，教師要注意在學生原有的認知上，進一步培養發展學生的幾何直觀素養.初中階段學生的抽象思維相比小學有了一定的提升，空間觀念也有了一定的發展，這些變化都有助于培養學生的幾何直觀素養.

3.2" 關注素養綜合化發展，而不是孤立地前進

初中階段的核心素養主要表現在抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識和創新意識上，從上述試題分析中，不難發現，這些素養之間是相互聯系、協同發展的.因此，教師在日常教學中要注意培養學生這些核心素養的綜合發展，而非只是關注其中的一部分，只有這些素養都得到發展，才可能讓學生從只會書本知識跨越到“三會”的境界.

3.3" 創設生活化情境，讓學生多動手體驗

在日常教學中，教師應該多創造情景化、生活化的情境，讓學生有自己動手的機會，從而去感受用圖形、圖表分析和解決問題的優勢，發展其幾何直觀素養.例如，在學習“全等三角形的判定”第一課時，從一個條件到兩個條件再到三個條件去探究兩個三角形全等的條件，讓學生自己動手操作，很容易可以畫出一個條件、兩個條件的反例，從而得出結論：僅滿足一個條件或兩個條件時，不能保證兩個三角形一定全等.繼續作圖驗證三個條件的第一種情況，即三條邊相等，最終學生通過自己動手實踐發現三邊分別相等的兩個三角形全等這個基本事實.

4" 結束語

在初中數學教學中，教師在課堂教學中必須關注學生幾何直觀素養的培養，可以通過現代教育技術演示、讓學生自己動手操作等手段，幫助學生建立并利用數學模型分析解決現實中的數學問題，明晰解決數學問題的思路，由此培養學生借助圖表分析和解決實際問題的習慣意識.數學教育的最終目的在于培養和發展學生的數學核心素養，在數學教學中，教師要以提升學生的核心素養為目標，精心設計教學，切實開展教學，全面反思教學.

參考文獻：［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 張河源.核心素養下初中生幾何直觀能力的培養［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2022（24）：42-46.

［3］ 姜鴻雁，徐德同.立足基礎·注重探究·彰顯文化：2022年中考“圖形的性質”專題命題分析［J］.中國數學教育，2023（5）：50-62.

［4］ 蔣梅，張斌.變化的圖形 不變的規律：2022年中考“圖形的變化”專題命題分析［J］.中國數學教育，2023（7）：4-13.

［責任編輯：李" 璟］