揭示概念形成過程的初中數學概念教學探究

摘 要：數學概念是數學大廈的基石，初中數學概念教學是初中數學的重要組成部分。初中數學概念教學，需要教師正確區分概念類別，領悟教材編寫意圖，遵循不同類別概念教學的不同規律，帶領學生經歷揭示概念產生和形成過程的完整歷程，使學生學會利用已有的數學知識探究新概念的形成過程，幫助學生發現和積累用數學知識與方法解決生活問題的經驗，促進學生數學核心素養的形成和發展。

關鍵詞：概念形成過程；初中數學；函數教學；“三會”核心素養；概念教學

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）13-0067-05

《義務教育數學課程標準（2022版）》（以下簡稱《2022年版數學課標》）首次提出義務教育數學課程應培養學生“會用數學的眼光觀察現實世界”“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”（簡稱“三會”）的核心素養［1］5-6。按筆者的理解，“三會”核心素養相互支撐、一脈相承，“數學的眼光”為第一培養要務：學生只有具備了數學的眼光，才會有數學的思維，最終才具備用數學語言表達現實世界的能力。而在初中階段，學生的數學眼光主要表現為抽象能力、幾何直觀、空間觀念與創新意識，數學思維主要表現為運算能力和推理能力，數學語言主要表現為數據觀念、模型觀念和應用意識。

那么，在初中數學教學中如何培養學生的“三會”核心素養呢？筆者認為，夯實概念教學是培養學生數學眼光、發展學生數學思維、提升學生數學語言表達能力的重要手段和必經過程。數學概念是數學大廈的基石，是人腦對現實世界研究對象的數量關系和空間形式的本質特征的反映。正確理解并靈活運用數學概念，是獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”），發展發現、提出、分析和解決問題能力（簡稱“四能”）［1］2的關鍵。而在初中數學概念教學中，教師將帶領學生利用已有的數學知識探究新的數學問題，從中明晰新知識的產生過程、揭示新概念的形成過程，從而學會運用數學知識解決生活問題的方法，進而有效培養學生的“三會”核心素養。那么，概念教學中如何揭示概念的形成過程，促進學生數學核心素養的形成與發展呢？下面筆者以人教版數學八年級下冊“19.1 函數”教學為例，談談自己的體會。

一、正確區分概念類別是科學實施概念教學的前提

概念教學不僅要讓學生形成新的數學知識，而且要讓學生在形成新知識的過程中掌握數學的思想方法、逐步積累將生活問題轉化為數學問題的學習經驗，從而有效獲得“四基”、發展“四能”。雖然這個道理大家都明白，但在實際教學中，很多教師依然會忽視帶領學生感悟概念產生的必要性、合理性，即忽略概念產生的過程，直接代替學生總結提煉概念，告訴學生概念的基本內涵。這樣的教學，其實是剝奪了學生學習的主體地位，讓學生的數學思考無法得到有效的培養。缺失了對概念產生或形成的感悟與揭示的過程，不僅容易使學生對概念本質的理解產生偏差，而且容易使學生喪失發現、提出、分析和解決問題的能力，不知道如何思考和解決生活中的實際問題，因而學生的應用意識和創新意識的培養便無從談起。

筆者認為，在實施概念教學以前，教師應對所研究的概念做到心中有底，而心中有底的前提是對概念進行明確的分類。初中數學概念大致可以分為三類：一類是屬性概念，需要從眾多事物中抽象出相同的屬性，比如變量、常量、函數等；一類是規則概念，需要制定規則，比如平均數、平面直角坐標系；還有一類是結點下的概念，即通過將概念作為網格結點與更多的教學內容建立更廣泛的聯系，從而發現結點之下形成的諸多新概念，如等腰三角形的腰、三角形的中位線等。不同類型的概念遵循不同的教學規律。一般地，屬性概念來自對相同事物的數量關系和空間形式的抽象，教學時需要花費較多的時間用于對事物共性的發現與總結；規則概念的教學側重于規則的制定和完善；結點下的概念則應花較大的力氣用于尋找結點的關聯［2］。一言以蔽之，無論哪一類概念的教學，揭示概念的形成過程都需要師生下足功夫。

二、準確理解教材編寫意圖是在教學中正確揭示概念形成過程的基礎

函數是初中數學的核心概念之一，屬于屬性概念的范疇。雖然生活中有很多體現函數概念的實例，但將函數概念的本質屬性從眾多的實例中抽象出來，對于初中生而言還是非常困難的。因此，初中數學概念教學仍然需要教師下功夫設計一個相對完整的教與學的活動過程，引導學生通過分析諸多生活實例來歸納、總結實例中的數學本質屬性即數量關系或空間形式的規律，從對諸多實例的分析中感悟概念形成的必要性暨概念本質的確定性［3］。

人教版初中數學教材在呈現有關概念的學習內容時，非常注重呈現相關的生活實例。對于初中數學教師來說，準確理解教材編寫意圖是設計概念教學的關鍵。

人教版數學八年級下冊“19.1 函數”為揭示函數概念的形成過程提供了兩組思考題。其中的第一組思考題如圖1所示，側重讓學生思考問題（1）—（4）中是否各有兩個變量，同一問題中的變量之間有什么聯系；第二組思考題如圖2所示。

（一）關于第一組思考題的編者意圖及教學分析

在第一組思考題中，四個問題的設計各有側重、層層遞進，對學生數學抽象能力的要求逐步提升。問題（1）取材于學生熟悉的行程問題，學生通過計算便可完成表格，但本題設計的重點是讓學生通過觀察表格中的數據變化，發現變化的規律，即當時間t的取值不同時，路程s的值也會不同。學生由此可以得出結論：路程s的值會隨時間t的變化而變化。問題（2）以購買電影票為背景，學生同樣擁有此類生活經驗，且其中的數量關系極為簡單，學生很容易得到問題的答案。但相較于問題（1），問題（2）沒有了表格的直觀體現，并開始設未知數，讓學生用數學語言描述兩個變量之間的取值變化，從而對學生的抽象能力和推理能力提出了更高的要求。問題（3）以水中漣漪入題，側重引導學生結合圖形變化尋找兩個變量之間的關系，在數與形的結合層面有了新的要求。問題（4）以矩形周長確定時矩形兩邊長的變化關系入題，雖然也是幾何圖形的背景，但此題不再配圖，需要學生通過理解文字，回顧已學圖形公式，理解兩個變量之間的變化與聯系。

教材設計以上四個問題，安排了兩個課時的兩次探究：先探究得到常量與變量的概念，再進一步思考后得到函數的概念。兩次思考的重點不同，分散了學生的思維難點。第一次思考重點是感受量的變和不變，第二次思考重點是感受變量之間的關系。學生只有在能夠明確區分變量和常量的概念以后，才能進一步明確變量間的關系。對于學生而言，區分變量和常量是容易的，但是感受變量間的聯系和明確期數值的對應關系是需要教師在教學中搭建學習支架的。因此，在第二課時讓學生再次思考這四個問題時，教師不能簡單地以為這些問題學生在前一課時已經思考過了，便可以加快節奏一帶而過，而是應利用表格形式再次逐一分析四個問題，讓學生借助表格感受兩個變量間的變化規律和對應關系［4］。

（二）關于第二組思考題的編者意圖及教學分析

與第一組思考題相比，第二組思考題的題目設計發生了明顯的變化：第一組思考題中的每一道思考題都可以找到兩個變量之間的關系式，學生理解兩個變量的聯系和變量間數值的對應關系相對容易；第二組思考題中，學生找不到變量間明確的關系式，學生理解的難點是沒有明確的函數關系式呈現兩個變量間的聯系和對應關系。因此，要理解第二組思考題，學生需要借助分析第一組思考題中變量之間關系的相關經驗，再對照第二組思考題中的兩個問題分別進行分析。也就是說，第一組思考題的編寫其實是在為第二組思考題的呈現作鋪墊，第二組思考題彌補了第一組思考題變量關系代數式表達的不足，讓學生可以明確感知到，除了代數函數，還可以有圖象的對應關系和表格的對應關系函數，從而完善了學生對函數概念的理解。

第二組思考題的呈現還有一個重要作用，便是讓學生理解對應值的唯一性。比如，學生從心電圖中可以得出每一個確定的時間都會有唯一對應的一個生物電流數值；從人口普查表中可以看出，每一個確定的年份都會有唯一對應的一個人口數的數值。這兩個實例都用具體數據說明了兩個變量之間的單值對應關系。因此，學生在第二組思考題中感悟到兩個變量的單值對應關系之后，便可以順利歸納出函數概念的三個關鍵特征即“①一個變化過程”“②兩個變量”“③唯一對應關系”了。

三、在有序活動中揭示函數概念形成過程是概念教學的關鍵

作為屬性概念的一種，函數概念的教學需要教師帶領學生經歷對諸多相同事物的變量關系進行抽象，從中發現和總結出在同一個變化過程中兩個變量之間的唯一對應關系的完整過程。圍繞這個教學要求，筆者設計了一個以學生為中心，以數學活動為主要形式，以觀察、歸納、總結為教學主線的教學實施過程。

（一）活動1：感悟概念屬性

活動1安排的是觀察與思考活動，旨在讓學生在活動中感悟函數概念的基本屬性，培養數學抽象能力。

1.觀看冬奧會開幕式演出，思考問題

師：2022年2月4日，北京冬奧會開幕。這個開幕式極具中國特色。其中有一個節目給老師留下了深刻的印象，請大家一起欣賞。（教師播放冬奧會開幕式《雪絨花》的演出視頻。）

師：這個節目是600多名小朋友零彩排，現場生成的，不可思議吧！你知道導演們在這么大型的表演中為什么敢這么做嗎？（學生可以自由回答。無論是否有學生答出大意，教師都要在最后“點題”。）對，就是因為有高科技。在小朋友們演出的過程中，節目編導們借助人工智能識別人的所在，準確計算出人的位置，并在他們的腳下實時生成了一組雪絨花在地面上綻放的圖片。也就是說，雪絨花的位置與綻放是隨著每一名小朋友位置的移動而變化的。

設計意圖：從冬奧會開幕式入手，將變化與對應在這個實例中進行生動、形象地展示，讓學生直觀感受變化與對應的數學規律之美。

2.回顧課本第一組思考題，將思考向生活延伸

師：實際上，在我們之前的學習中已經遇到過很多變量間的對應關系。

于是教師通過課件展示教材第一組思考題，引導學生再次分析這組實例，逐一討論例子中的常量有哪些、變量有幾個、分別是哪些變量、變量之間有什么關系、這些變量是怎樣變化的。在學生進行講解的過程中，教師將學生的講解轉化為相同格式的表格板書到黑板上，并在表后附注了同一道填空題（見下頁表1—表4），以此培養學生“用數學的語言表達現實世界”的能力。

設計意圖：學生在生活中感覺到變化和對應后，用背景熟悉的數學問題再次研究變化與對應，不僅體現了數學學習的前后一貫、緊密銜接，而且可以使學生感受到用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界可以增進自己對生活的認知，從而發現數學學習的規律之美［4］。需要說明的是，這一組思考題中的每一道題都有明顯的變量和變量間的代數關系式，上節課學生已經對這些關系式進行了研究，這次研究的主要目的是讓學生感受兩個變量值的變化與對應。教師選擇用表格方式呈現，更容易讓學生感受到兩個變量的數值變化與對應關系。再加上每一個表格后的總結，學生的感悟會變得更加清晰，也更容易抓住“變量和對應的關系”這個學習關鍵。

（二）活動2：總結概念屬性

在活動1感悟概念屬性的基礎上，教師開始引導學生通過感悟實例，總結函數概念的屬性特點，完成課本思考題：問題（1）—（4）中是否各有兩個變量？同一個問題中的變量之間有什么聯系？

師：（1）—（4）中的問題，能否總結出他們的共同特征？

學生思考后回答。

教師可根據學生的回答將活動1中呈現的表格中的兩行數據用箭頭使它們一一對應起來，從而更加直觀地揭示兩個變量值之間的對應關系。之后將四個問題中的共同點分條羅列出來：（1）都有兩個變量；（2）當一個變量被確定后，另一個變量也被確定，且它的對應值只有一個。

設計意圖：其實，早在活動1學生逐一分析了第一組思考題問題（1）—（4）中的問題以后，結論已然是呼之欲出了。基于前面的觀察總結，學生很容易在這個問題中歸納出函數概念的兩個屬性特點。

（三）活動3：明確概念屬性

1.思考：根據活動2中總結出來的函數概念的屬性特點，請舉出生活中符合以上特點的一些例子。

學生根據活動2中總結出來的特點繼續舉出生活中有類似特點的實例。

教師表揚學生的觀察能力，同時結合學生的例子強調實例中的兩個問題：（1）實例中有哪兩個變量？（2）當哪個變量被確定后，另一個變量也被確定？變化中是否只有一個對應的值？

設計意圖：讓學生根據活動2中總結出來的函數概念的屬性特點舉出生活實例，一方面是加深學生對共同屬性的理解，另一方面是讓學生運用概念的共同屬性再去觀察生活中的實例，對概念進行強化，同時繼續訓練和發展學生用數學的眼光觀察現實世界的能力。

2.教師呈現第二組思考題中的兩個實例，讓學生觀察其中的心電圖和人口普查表是否也具備上述特點。

設計意圖：學生的思考會受到第一組思考題中四個實例的制約，所以大部分學生舉出的實例都是含有代數式關系的例子。為了打破學生的思想束縛，教師應有意識地拓寬學生的思路，借助不含代數式的圖象和表格中的對應數值，讓學生完整地理解函數的概念［5］。

（四）活動4：概念學習

1.嘗試用自己的語言概括函數的概念

學生通過梳理所學實例的共同特點，嘗試總結函數定義。

設計意圖：學生通過大量生活實例，已經真正理解了函數概念的本質。因此，總結函數定義基本不成問題。

2.閱讀課本中的函數概念

學生總結后，教師帶領全班學生共同學習課本中的函數定義，感受數學語言的簡潔性、精確性：一般在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。如果當x=a時y=b，那么b叫作當自變量的值就為a時的函數值。

設計意圖：讓學生經歷看課本用精準的數學語言描述數學概念的過程，體會數學概念中語言的準確性，體會用數學語言表達現實世界的簡潔、精確之美。

（五）活動5：概念辨析

出示一組坐標系中的曲線圖（如圖3），在并未呈現代數關系式的情況下，讓學生進行概念辨析的針對性練習。

設計意圖：讓學生通過練習學會數學觀察與思考，學會辨析函數概念的本質屬性，加深對函數概念的理解。

在以上關于函數概念的教學設計中，教師不僅充分合理地運用了課本中的兩組思考題揭示概念的形成過程，而且活動設計貼近學生的現實生活和認知特點，可以讓學生更加充分地體會到變化的無處不在，體會到數學概念產生的必要性。在通過大量生活實例發現了函數概念的共同屬性后，教師并不急于自己總結、形成概念，而是讓學生根據自己的理解繼續舉出生活中的例子，這樣的設計，旨在強化學生對概念本質屬性的理解和應用：只要學生能用這些屬性去觀察現實世界，他們對屬性的理解就一定會更深刻，哪怕他們所能舉出的實例存在這樣或那樣的局限性，這也不影響他們學習過程的有效性、深刻性。在學生經歷了“觀察實例、感悟屬性”“分析實例、發現屬性”“舉出實例、總結屬性”“結合實例、形成概念”“應用實例、辨析概念”的學習過程之后，學生便自然而然地學會了用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界。

總之，教師教學的對象是學生，教師無論教學怎樣的內容，其教學設計必須建立在學生的原認知和能力范圍之上。人教版函數章節設置在八年級下冊，八年級的學生已經具備了基本的抽象概括能力，但是對于“一個變量的值確定，另一個變量的值也唯一確定”的抽象和概括還是有困難的，對于沒有代數關系式的變量關系的理解尤其吃力。越是這樣的概念學習，教師在教學中越是不能生硬地將概念灌輸給學生，代替學生歸納總結，而是應幫助學生拆解學習過程，搭建學習支架，讓學生經歷概念探究與形成的過程。例如，在函數教學中，可讓學生在兩組思考題中分別落實不同的任務，特別強化對第一組思考題的分析過程，為學生打好概念理解的基礎，這對學生最終理解和歸納出函數的概念起著決定性的作用。初中數學概念教學，教師必須遵循概念教學規律，領悟教材編寫意圖，帶領學生經歷揭示概念產生和形成的完整過程，促進學生對概念的深刻理解，同時促進學生數學核心素養的形成和發展。

參考文獻

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［2］卜以樓.生長數學：卜以樓初中數學教學主張［M］.西安：陜西師范大學出版社，2018：233.

［3］趙明明.通過深度追問，落實“至簡數學”：以人教版教材“19.1 函數”的教學為例［J］.中學數學，2021（22）：90-91.

［4］鐘曉冬.核心素養視角下初中數學教學優化路徑［J］.家長，2024（3）：35-37.

［5］劉禮祥.基于心理認知與生成過程的概念教學探究：以一節函數概念課為例［J］.初中數學教與學，2020（14）：46.

注：本文系南寧市教育科學“品質課堂”建設專項課題“新課程標準理念下初中數學‘共生課堂’教學模式的實踐研究”（2022PZKT019）的階段研究成果。

（責編 白聰敏）