根的判別式應用中應注意的幾個問題

李德江

【摘? 要】? 數學解題，必須小心謹慎，處處提防那些防不勝防的“陷阱”.在一元二次方程的判別式的應用中，有幾個解題誤區應特別引起大家的注意.本文結合例題分析，以幫助學生走出誤區，提高解題的正確率.

【關鍵詞】? 判別式；一元二次方程；初中數學

數學解題，貴在思維縝密，如果掉以輕心，必然會犯下這樣或那樣的錯誤.在一元二次方程的判別式的應用中，有幾個解題誤區應特別引起大家的注意.為了防患于未然，本文提出如下問題，以期大家莫入誤區.

問題1? 一元二次方程的二次項系數可以為零嗎？

例1? 已知關于x的一元二次方程有實數根，求的取值范圍．

錯解? 因為一元二次方程有實數根，

所以判別式＝.

剖析? 一元二次方程有實數根的條件是：（1）二次項系數；（2）≥0．錯解只考慮了（2），而忽視了（1），即忽視了二次項系數不為零這一條件．

正解? 且．

問題2? 用韋達定理解題時你注意根的判別式了嗎？

例2? 已知關于的一元二次方程．求它的兩根的平方和的最小值.

錯解? 設方程的兩個實數根為，，

則＋＝，．

所以.

所以當時，兩根的平方和的最小值為.

剖析? 兩個根的平方和為負數，顯然不對.問題就是出在忽視了大前提：原方程有實數根，因此必須先考慮根的判別式，從而確定實數的取值范圍.

正解? 因為.

所以.

當時，兩根的平方和的最小值為2.

問題3? ?題目中的條件你看清楚了嗎？

例3? 當取哪些整數時，關于的兩個方程：①與②的解都是整數？

錯解? 由題意可得

解得－

故滿足條件的整數m為－1，0，1．

剖析? 當時，方程①的解不是整數；當時，方程①不是一元二次方程，方程②的解不是整數；當時，兩個方程的解都為整數，方程①的解是，方程②的解是，．顯然，與不合題意，應舍去．錯解忽視了的取值應使所給兩個方程的“解都是整數”這個重要的題設條件.

正解? ．

問題4? 題目中隱含條件你注意了嗎？

例4? 已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍．

錯解? 因為方程有兩個不相等的實數根，所以，

解這個不等式得．

因為二次項系數，即，

所以的取值范圍是且．

剖析? 錯解忽視了隱含條件必須有意義，故有．

正解? 由題設可得 ，

解得且．

因此，的取值范圍是且．

問題5? 二次項系數含字母的方程一定是二次方程嗎？

例5? 已知關于的方程，當為何值時，方程有實數根？

錯解? 因為方程有實數根，所以，

即，

解得，

又因為，所以且.

剖析? 錯解默認該方程是二次方程，其實此方程也可以是一次方程，故此題應分一元一次方程與一元二次方程兩種情況討論.

正解? （1）當時，原方程為一元一次方程，其實根為，故k可取0.

（2）當時，原方程為一元二次方程，應滿足，即且，綜合（1）（2）知.

結語

數學解題，必須小心謹慎，處處提防“陷阱”.而要做到這一點，我們在平日解題時就應養該成認真審題、自覺挖掘題目中的隱含條件的解題習慣，只有這樣，才能提高解題的正確率.

參考文獻：

[1]盧芳芳.根的判別式應用幾例[J].中學生數學，2023（04）：6-7.

[2]柏倩倩.九年級“判別式和根與系數的關系”知識點解答[J].現代中學生（初中版），2022（20）：3-4.

[3]蔡文漢.再探“根的判別式”的應用[J].初中數學教與學，2022（14）：48-49.

[4]陳晨.分式化簡求值的常見技巧[J].初中數學教與學，2022（13）：31-32+30.

[5]馬品娟.運用判別式解題時應避開的幾個誤區[J].語數外學習（初中版），2022（04）：27-28.