對于平面幾何正方形構造輔助線問題的方法探討

鄒喜梅

【摘? 要】? 平面幾何是初中數學的一個重要的考點，常在正方形、三角形、圓形等特殊幾何圖形的背景下出題.利用這些圖形本身的幾何性質，結合平面幾何的數學思想，就可以找到此類問題的解題策略.

【關鍵詞】? 初中數學；正方形；倍長中線法

構造輔助線是平面幾何問題中十分常見的一種方法，在一些特殊的，比較隱晦的解題情境下，構造輔助線則有較高的難度，很多題目往往就是靠一條輔助線就可以解決.下面就根據一些在正方形背景下的有關構造輔助線的問題來總結歸納此類題目的方法策略.

方法1? 構造等腰直角三角形法

正方形因為其四邊長度相等且存在四個直角的特性，有很多獨特的幾何性質.而作為三角形中較為特殊的等腰直角三角形就可以通過正方形得出，因此在解決此類正方形背景下的問題時，嘗試著去構造等腰直角三角形是一種重要的輔助線畫法.

例1? 如圖1所示，在正方形中，點在對角線上（且點不與點重合），連接，過點作，交邊于點.其中，進而證得.

探討? 如圖2，點在射線上（且點不與點重合），連接，過點作，交的延長線于點，.若，則四邊形的面積為________.

解? 如圖2所示，連接，

，

是等腰直角三角形.

.

，

所以四邊形的面積為.

評析? 上述在構造了等腰直角三角形后，利用了腰長相等和勾股定理得到了需要的條件.在實際應用時需要注意到圖形在變換過程中從正方形的邊或者角得到的量，如果相等，則可以考慮利用此不變量構造等腰直角三角形進行解題，體現了等量的轉化思想.

方法2? 倍長中線法

倍長中線法是解決三角形中線問題的一類重要方法，下面簡單介紹其內容：如圖3所示.在中，點為的中點，因此邊是的一條中線，將其延長至原來的兩倍，就可以構造出全等三角形，從而利用全等三角形的有關性質來優化解題過程.

例2? 如圖4，在正方形中，為邊的中點，分別為邊上的點，若求的長.

解? 如圖4所示，延長交的延長線于點

四邊形是正方形，

.

為邊的中點，

，

全等于

，

.

，

，

，

評析? 倍長中線法重要的是其思想原理：通過延長中線，尋找全等三角形.在正方形中，也可以圍繞著中點進行研究，通過延長某一過中點的線段來構造全等的圖形，從而將某些幾何量進行位置上的轉化，便于求解.

方法3? 垂直平分法

垂直平分法的原理是在直角三角形的基礎上，通過構造中點或者角平分線，使原來的直角三角形變為一個與其對稱的直角三角形所合成的大三角形.這時就相當于對原三角形進行了一個位置上的變遷，條件也因此可以有更多的實用角度.

例3? 如圖5所示，點分別在正方形的邊上，和交于點，過點作于點，若，，則線段的長為______.

解? 如圖5所示，在上截取，連接，

.

，

即.

，

全等于.

.

設，

在中，由勾股定理可得，代入可得.

在中，

.

評析? 垂直平分法可以構造出更多的幾何圖形，本質上利用的是一個條件轉移的方法，在遇到直角三角形時，可以嘗試運用此方法.

結語

以上三種方法都是平面幾何正方形背景下的常用方法，等腰直角三角形法是充分利用了正方形的幾何特性，倍長中線法則關鍵在于其使用全等的思想，垂直平分法則是利用了“中點原理”.教學中要引導學生靈活選擇，分析情境，在找到合適的解法思路后再著手解題.