初中階段化簡絕值的幾種方法小結

母萬里

【摘? 要】? 著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.”“數”與“形”作為數學問題中兩個最主要的基本要素與研究對象，二者相互獨立又緊緊相聯，構建成一個和諧完美的統一體，相互融合，相互滲透，相互轉化.本文給出初中階段絕對值的幾種化簡方法，希望能夠幫助學生們更好理解絕對值，化簡絕對值.

【關鍵詞】? 初中數學；絕對值；化簡

絕對值是歷次月考的熱點，也中考的必考點.剛入學的七年級新生在七年級上學期就要接觸絕對值知識的學習.大多數學生在剛接觸到絕對值知識時都感到神秘、抽象、難以理解，主要原因是學生未形成對初中數學知識的整體把握，知識體系不健全，自我反思總結能力不強.在九年級數學知識復習階段，筆者對初中階段絕對值的幾種化簡方法進行了總結.

1? 知識回顧

1.1? 絕對值的定義

一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|.

由絕對值的定義可知絕對值的性質：正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.

1.2? 絕對值的幾何意義

幾何意義? 一個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的距離，離原點的距離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小.

1.3? 絕對值的化簡

.

2? 化簡絕對值的幾種方法介紹

2.1? 深刻掌握性質，運用性質化簡.

如滬科版七年級數學教材上冊1.2節，第11頁例4：求下列各數的絕對值：

，+1，-0.1，4.5.

解? 我們可以直接運用絕對值的性質，由性質可得：

是負數，負數的絕對值是其相反數，所以其絕對值為：－（）=，即=；

+1是正數，正數的絕對值為其本身，即|+1|=1；

－0.1是負數，負數的絕對值是其相反數，所以其絕對值為：-（-0.1）=0.1，即|-0.1|=0.1；

4.5是正數，正數的絕對值是其本身，所以其絕對值為：|4.5|=4.5.

解題總結? 從九年級的知識高度再反觀七年級數學教材的求絕對值例題感覺太簡單，解決本題求絕對值的問題關鍵在于準確理解和掌握絕對值的性質，運用性質就可以輕而易舉的求絕對值了.準確運用性質的提前條件是同學們務必對實數進行準確分類，那么按照什么標準分類就很關鍵.因為從絕對值的性質我們可以看出絕對值的求解與數的正負性有關，所以我們就按數的正負性來分類.對于給出的任何一個數能夠準確判斷它是正數、還是負數、或者是零，準確分類后運用絕對值的性質，就能快速求出數的絕對值.

2.2? 觀察數軸定正負，運用性質再化簡.

例1? 有理數a，b，c在數軸的位置如圖1，請化簡|a|+|b-c?-|c-a?.

圖1

解析? 由數軸可觀察到，點a對應的數位于原點的左側，則a<0，a是負數；點b、c對應的點位于數軸原點的右側，則b>0，c>0，b、c都是正數；又由數軸上點的分布特點可知：a<b<c，b-c<0，c-a>0，則b-c是負數，c-a是正數.

由絕對值的性質可得|a?=-a；|b-c?=-（b-c）=c-b；|c-a?=c-a.

∴|a?+|b-c?-|c-a?=-a+c-b-c+a=-b.

例2? a、b、c在數軸上的位置如圖2，求|a-c?-|a+b?+|b-c?的值.

圖2

解析? 由點在數軸上的分布特點可知，點a對應的數位于原點的右側，點b、c對應的數位于原點的左側，根據數軸上點的分布特點可得：

b<0，c<0，a>0，-b>0，b<c<a<-b；

則a-c>0，a-c是正數；

a+b=a-（-b）<0，a+b是負數；

b-c<0，b-c是負數.

∴|a-c|=a-c；|a+b?=-（a+b）=-a-b；|b-c?=-（b-c）=c-b，

則可得：|a-c?-|a+b?+|b-c?=a-c-（-a-b）+c-b=2a.

例3? 已知a、b、c在數軸上的位置如圖3，求|a+c?-|b-a?-2|a-c?+3|b-c?的值.

圖3

解析? 通過觀察數軸上點的位置可知，點a、c對應的數位于數軸上原點的右側，點b所對應的點位于數軸原點的左側，則可得：

a>0，c>0，b<0，b<a<c.a+c>0，b-a<0，a-c<0，b-c<0；

∴|a+c|=a+c；

|b-a|=-（b-a）=a-b；

|a-c|=-（a-c）=c-a；

|b-c|=-（b-c）=c-b.

∴|a+c|-|b-a|-2|a-c|+3|b-c|=a+c-（a-b）-2（c-a）+3（c-b）

=a+c-a+b-2c+2a+3c-3b

=2a+2b+2c.

例4? 已知點a、b在數軸上的對應位置如圖4，求+-的值.

圖4

解? 由數軸上點a、b所在的位置可得：

-1<a<0，1>b>0，-b<0， a>-b，b>a，b-1<0，a+b=a-（-b）>0，

則|a?=-a；|b-1?=-（b-1）=1-b；|a+b?=a+b，

∴+-=+-=-1+（-1）-1=-3.

解題總結? 觀察4道例題可知，4道例題難度依次增加，通過數軸呈現點的位置，從求單個字母的絕對值到求幾個字母的和差的絕對值再到化簡分式絕對值，難度逐漸增大，但解決該類問題總有方法可依.該類問題總是以數軸為背景，在原點確定的前提下，在數軸上給出若干未知點，讓化簡這些點所對應數值的和與差的絕對值.這類型題目如何下手解決呢？縱觀3道例題的解題過程，可以總結出，解該類題目必須做到數形結合，通過數軸觀察點的位置，確定點在原點的哪一側，從而判斷出點所對應數值的正負性，位于原點左側的點對應的數值為負數，位于原點右側的點對應的數值為負數，這樣一來數軸上任意一點在原點確定的情況下其正負性就可以確定了，當然如果該點位于原點，其絕對值更好求.這樣一來，我們根據絕對值的性質就可以快速求出任意一點的絕對值.

那么數軸上任意兩點差的絕對值如何求呢？類比任意一點的絕對值求法，同樣根據數軸上點的分布特點，判斷數軸上任意兩點對應數值之差的正負性就可以了.當然如果出現一點位于原點的情況，就轉化為任意一點的絕對值求解.如何判斷數軸上任意兩點對應數值之差的正負性呢？假如規定數軸的正方向為右側，根據數軸上點的分布特點，則在數軸上自左向右，數軸上點對應的數值依次增大，相反如果自右向左，數軸上點對應的數值依次減小.根據數軸上點的特點，我們可以輕而易舉的確定數軸上任意兩點之差的正負性.那么我們根據絕對值的性質就可以快速求出任意兩點差的絕對值.

數軸上任意兩點對應數值之和的絕對值如何求呢？我們可以把加法轉化為減法來求，如，這樣就可以運用任意兩點差的絕對值的求法來求任意兩點對應數值之和的絕對值.這樣操作的前提是要確定好點和在數軸上的位置，利用數軸上點的分布特點來判斷的正負性，進而運用絕對值的性質求解.

2.3? 理解幾何意義，運用意義化簡.

例5? 求|a?的值.

解析? 由絕對值的幾何意義可知，|a?表示點a到原點的距離，所以|a?≥0，也就是說|a?的值可以為正數也可以為零.對|a?去絕對值有：

.

當然例5也可以對數a的正負性進行分類討論，分類討論后直接利用絕對值的性質求解.

例6? 求|a-b?的值.

解析? 首先，該題要求的是a與b差的絕對值，也就是求在數軸上表示數a的點與表示數b的點，這兩點之間的距離，則|a-b?≥0.對|a-b?去絕對值有：

=.

例7? 求 |4-（-3）?.

解析? ∵4-（-3）表示數軸上表示4的點與表示-3的點，如圖5，這兩點之間的距離.

圖5

由數軸可以清晰看出，這兩點間的距離共有7個單位長度，則這兩點間的距離就是7，故|4-（-3）?=7.

例8? 已知|X+3?+|X-2?=5，求滿足等式的所有X的整數值.

解析? |X+3?+|X-2?=5表示在數軸上表示X的點到（-3）和2所對應的兩點距離之和，如圖6.

圖6

從數軸上可以看到，到（-3）和2兩點距離為5的點不可能在數軸上表示2的點的右側，如果在2的右側那么點X到（-3）和2兩點距離大于5；同理，到（-3）和2兩點距離為5的點也不可能在數軸上表示-3的點左側，這個X只可能位于點-3和2之間（包含兩端點），又要求X為整數，故X只能取2、1、0、-1、-2、-3這幾個整數點.

解題總結? 例1系求單項式a的絕對值，根據絕對值的幾何意義，可以直接求出其絕對值；例2系求多項式a-b差的絕對值，也就是求數軸上a點與b點兩點之間的距離，類比求|a?的方法可以很快求出|a-b?的值.例3系求具體兩點（4和（-3））差的絕對值，可以借助數軸，從數軸可以直接看出4和（-3）兩點之間的距離.例4也是通過數軸尋找滿足條件的點，通過對點（-3）和點2的定位，可以容易確定X的整數值.例3和例4通過數形結合，能夠快速準確求解.通過對一般的|a?和|a-b?絕對值的化簡到數軸上具體兩點表述數值差的絕對值求解，引導學生體驗從一般到特殊的思想方法，感悟數學的一般化與特殊化.

2.4? 數形結合，精準分類化解.

例9? 化簡 |X-2?-|X+3?+|X-4?.

解? 數軸上點2、點-3和點4將數軸分成4部分.

第一部分在點-3的左側；第二部分在點-3和點2之間；第三部分在點2和點4之間；第四部分在點4的右側.如圖7數軸標注.

圖7

則可分以下幾種情況：

①當點X在點-3的左側時，即X<-3時，X-2<0，X+3<0，X-4<0，

|X-2|=2-X；|X+3|=-X-3；|X-4|=4-X.

此時|X-2|-|X+3|+|X-4|=2-X-（-X-3）+4-X=2-X+X+3+4-X=9+X.

②當X位于-點3和點2之間時，即-3≤X≤2時，X-2<0，X+3>0，X-4<0.

|X-2|=2-X；|X+3|=X+3；|X-4|=4-X.

此時|X-2|-|X+3|+|X-4|=2-X-（X+3）+（4-X）=2-X-X-3+4-X=3-3X.

③當X位于點2和點4之間時，即2≤X≤4時，X-2>0，X+3>0，X-4<0.

|X-2|=X-2；|X+3|=X+3；|X-4|=4-X.

此時|X-2|-|X+3|+|X-4|=X-2-X-3+4-X=-1-X.

④當X位于點4的右側時，即X≥4時，X-2>0，X+3>0，X-4>0，

|X-2|=X-2；|X+3|=X+3；|X-4|=X-4.

此時|X-2|-|X+3|+|X-4|=X-2-（X+3）+（X-4）=X-2-X-3+X-4=X-9.

解題總結? 該題綜合性較強，蘊含多種數學解題思想.該題在數形結合的大背景下采用分類討論的思想對未知數X可能出現的4種情況進行了分類討論.解決本題的關鍵是利用數形結合的便利，對X的可能出現情況精準分類，分類后直接運用數軸上任意兩點對應數值之差的絕對值的化簡方法即可做出來.

3? 觀察題目類型，精準選擇化簡方法.

在做求絕對值或者化簡絕對值的題目時，我們要根據具體的題目類型選擇恰當的解決方法，才能達到事半功倍的效果.如果遇到只是簡單求一個具體數的絕對值，那么我們可以根據絕對值的性質直接求即可；如果求任意一個未知數的絕對值，可以直接利用絕對值的幾何意義求解，也可以利用分類討論的思想，再運用絕對值的性質求解.當遇到求任意兩個未知數的和與差的絕對值時，我們要結合數軸，將兩數和轉化為兩個數的差，運用絕對值的幾何意義求解更方便.總之化簡絕對值的方法要根據題目類型而選擇確定，在化簡時要注意數形結合和分類討論思想的運用，這樣才能讓絕對值的化簡有章可循，化簡過程才能更便捷，化簡結果才能更精準.