從三角形面積看勾股定理單元的教學(xué)設(shè)計(jì)

劉靖

【摘? 要】? 古人云：“通神明、順性命；立規(guī)矩、準(zhǔn)方圓；周三徑一、方五斜七.”這些語句體現(xiàn)出勾股定理的重要性.主要應(yīng)用是求線段長即兩點(diǎn)間距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，高中教材直接探索銳角、鈍角三角形三邊關(guān)系，創(chuàng)新性選擇探究勾股數(shù)和畫無理線段為學(xué)生提供建模的思維平臺(tái).

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；三角形；勾股定理

初中知識(shí)可以推導(dǎo)的三角形面積公式有：

，，，

，

⑤，

⑥，其中.

基于此，本文繪制了勾股定理單元結(jié)構(gòu)圖（如圖1）和勾股定理單元教學(xué)課時(shí)安排表（表1），并圍繞其進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

圖1

表1

課時(shí) 1 2 3

基礎(chǔ)知識(shí) 勾股定理 勾股定理逆定理 探索勾股數(shù)與畫無理線段

基本技能 方程法、面積法 同一法、反證法 歸納法

基本思想 分類、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般 轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、一般到特殊 演繹推理、歸納推理

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題 猜想、證明、歸納 信息技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)資源共享

核心素養(yǎng) 幾何直觀、抽象能力 推理能力、模型觀念 創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)

1? 勾股定理

1.1? 教材內(nèi)容分析

教材結(jié)構(gòu)人教版，內(nèi)容北師版借鑒華師版.幾何理論上一維有，二維有，代數(shù)上科學(xué)家研究的是不定方程問題有無數(shù)多個(gè)正整數(shù)解，也有無數(shù)多個(gè)正整數(shù)解，對(duì)于高于二次的方程沒有正整數(shù)組，使等式成立，即費(fèi)馬大定理.教材中更側(cè)重于計(jì)算直角三角形的面積，而我認(rèn)為初中可以計(jì)算一般三角形面積，在數(shù)軸上可以用一個(gè)直角三角形如何表示二次方根，這是學(xué)生可以研究的內(nèi)容.

1.2? 學(xué)情分析

學(xué)生思維停留在拼圖上，借助旋轉(zhuǎn)等積變形證明定理是突破難點(diǎn)關(guān)鍵性方法.

1.3? 教學(xué)目標(biāo)的確定

（1）教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：理解并掌握勾股定理證明，并且能初步運(yùn)用勾股定理解決問題.

過程與方法：經(jīng)歷探索勾股定理的過程，并且能體會(huì)特殊到一般方法和數(shù)形結(jié)合思想.

情感態(tài)度價(jià)值觀：通過了解與定理有關(guān)的中外數(shù)學(xué)史，激發(fā)興趣和研究精神.

（2）教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理的證明和運(yùn)用.

教學(xué)難點(diǎn)：幾何直觀證明勾股定理.

1.4? 教學(xué)過程的設(shè)計(jì)

（1）創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課

①直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三邊關(guān)系如何？

②以三角形各邊為邊長向外作正方形，求三個(gè)正方形面積恒成立的關(guān)系？

（2）合作探究，形成猜想

問題1? 網(wǎng)格狀態(tài)下計(jì)算三角形面積方法？

問題2? 抽離網(wǎng)格計(jì)算三角形面積方法？

問題3? 試闡述勾股定理的其他推導(dǎo)方式？

問題4? 銳角、鈍角三角形三邊數(shù)量關(guān)系？

（3）獨(dú)立思考，驗(yàn)證過程

例1? 在中，，求斜邊上的高、線段及面積.

（4）鞏固提高，靈活運(yùn)用

①直角三角形直角邊長分別為和，求第三邊？

②直角三角形兩邊長分別為和，求第三邊？

③一般三角形的兩邊長為和，求三邊取何值為銳角三角形？

④一般三角形的兩邊長為和，求三邊取何值為鈍角三角形？

⑤如圖2，在中，，高，求的面積？

圖2

1.5? 小結(jié)升華，思維建構(gòu)

（1）知識(shí)；（2）方法；（3）經(jīng)驗(yàn).

1.6? 基礎(chǔ)作業(yè)

①螞蟻沿圖3所示的折線由點(diǎn)爬到了點(diǎn)，螞蟻一共爬行了多少厘米？（圖3中小方格的邊長代表）

圖3

②如圖4，有枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長最短幾何？

圖4

③如圖5，一只螞蟻從圓柱體的下底面點(diǎn)沿著側(cè)面爬到上底面點(diǎn)，已知圓柱的底面半徑為，高為（取），則螞蟻所走過的最短路徑是？若取道母線到頂沿直徑爬行此路線最短，高應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

圖5

④如圖6，長方體三條棱的長分別為，，，螞蟻從1出發(fā)，沿長方體的表面爬到C點(diǎn)，求最短路線長？若從內(nèi)部通過最短距離長？

圖6

1.7? 探究作業(yè)

①臺(tái)階欄桿如圖7，橫為和，豎為和，求欄桿總長？

圖7

②研究各種裝修梯子及消防云梯的高度？對(duì)高層建筑的平流層封門問題提建議？

③已知：對(duì)于正數(shù)，求證：.

④求的最小值？求的最大值

⑤觀察圖8和圖9，閱讀網(wǎng)上資料了解非歐幾何.

圖8? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖9

2? 勾股定理逆定理

2.1? 教材內(nèi)容分析

教材直角三角形用同一法證明逆定理，現(xiàn)實(shí)生活是一般三角形普遍存在，嘗試用其他方法可證.

2.2? 學(xué)情分析

綜合分析法在上學(xué)期二次全等的證明中剛剛完成，學(xué)生分析完整思路清晰，但對(duì)反證法和同一法接觸較少，演繹推理是高中教學(xué)的主要內(nèi)容，但十分有意思是在這一節(jié)課恰好可以水到渠成地匯集成一股清新雋永的源泉.

2.3? 教學(xué)目標(biāo)的確定

（1）教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：理解勾股定理的逆定理.

過程與方法：經(jīng)歷探究勾股逆定理的過程，突出代數(shù)、幾何證法.

情感態(tài)度價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生積極探索、勇于創(chuàng)新、學(xué)以致用的意識(shí).

（2）教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：勾股定理的逆定理的探索及應(yīng)用.

難點(diǎn)：用同一法證明勾股定理的逆定理.

2.4? 教學(xué)過程的設(shè)計(jì)

（1）創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課

用尺規(guī)畫三角形指出形狀，并求出面積？

①；②；③.

（2）觀察過程，寫出結(jié)論

設(shè)為中最大的內(nèi)角，

若，為銳角三角形；

若，為直角三角形；

若，為鈍角三角形；

（3）特殊一般，驗(yàn)證命題

例2? 已知：中，，求證：不是直角三角形.

反證法：①假設(shè)它是一個(gè)直角三角形.

②根據(jù)勾股定理，一定有，與已知矛盾.

③因此，假設(shè)不成立，不是一個(gè)直角三角形.

例3? 已知：中，， 求證：是直角三角形.

代數(shù)法：如圖10，作于，在形內(nèi)記為，設(shè)，，

若垂足點(diǎn)在形外記為，設(shè)，，，

點(diǎn)、與點(diǎn)重合，為直角.

圖10

幾何法：畫，使B＇C＇=a，A＇C＇=b，∠C＇=90°，

B＇C＇2+A＇C＇2=a2+b2=c2=A＇B＇2，

AB=A＇B＇=c，BC=B＇C＇=a，AC=A＇C＇=b，

△ABC≌△A＇B＇C＇，

∠C=∠C＇=90°.

小結(jié)：①證明方法

②互逆命題與互逆定理

③知三邊可判斷形狀或求面積

（4）鞏固訓(xùn)練，應(yīng)用定理

例4? 判斷由線段組成的三角形是不是直角三角形.

；.

（5）作業(yè)

①在四邊形中，，求四邊形的面積？

②設(shè)直角三角形的兩條直角邊長及斜邊上的高分別為，以下選項(xiàng)正確的是？

能組成三角形.

能組成三角形.

能組成三角形.

能組成三角形.

③等邊中，點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn)，求？

④在正方形中，點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn)，，求？

3? 探尋勾股數(shù)與作無理線段

3.1? 教材內(nèi)容分析

勾股數(shù)公式為通項(xiàng)公式之一，研究有沒有差的，？如、、、、、……

每一個(gè)被開方數(shù)為整數(shù)的無理線段都可以一次性通過作直角三角形做出來，選講這部分內(nèi)容可減少累積誤差.

3.2? 學(xué)情分析

數(shù)學(xué)原理都經(jīng)歷了提出、驗(yàn)證、普適的過程，思維方法是問題解決的重點(diǎn).勾股數(shù)采用數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的方式意在學(xué)生知道思考一個(gè)猜想的形成和驗(yàn)證的整個(gè)過程建立模型意識(shí).

3.3? 教學(xué)目的

知識(shí)與技能：會(huì)用乘法公式求勾股數(shù)，會(huì)畫常用的無理線段.

過程與方法：探索勾股數(shù)和無理線段清晰生成規(guī)律性結(jié)論.

情感態(tài)度與價(jià)值觀：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決實(shí)際問題.

3.4? 教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

（1）創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課

問題1? 畫為邊的直角三角形其它兩邊是什么數(shù)？你還能畫多少個(gè)？

問題2? 探尋勾股數(shù)組

①研究時(shí)間軸

②你認(rèn)為勾股數(shù)有哪些公式

……

（2）實(shí)踐創(chuàng)新，構(gòu)建組表

可構(gòu)建如表2組表.

表2

原數(shù) 勾股數(shù)組

（3）分析奇偶，探求公式

例5? 用平方差公式求勾股數(shù)組.

①算一條邊的平方；②分解因數(shù)；③由列方程解其他兩邊.

被開方數(shù)為正奇數(shù)，.

被開方數(shù)為正偶數(shù)，.

（4）特殊一般，無理線段

交互展示 ①連續(xù) ②一次.

4? 教學(xué)反思

研討課題乘風(fēng)破浪的過程、是闡述數(shù)理蓄勢(shì)待發(fā)的積淀、是仰望發(fā)展文化苦旅的伊始.學(xué)生以敏銳的數(shù)學(xué)眼光看，用清晰地?cái)?shù)學(xué)思維寫，播慧心得數(shù)學(xué)語言辯，激情趣之?dāng)?shù)學(xué)主動(dòng)性，成同競(jìng)乎數(shù)學(xué)好玩群.如同這個(gè)生日帽展開卡的兩端是省市區(qū)教學(xué)基本要求指導(dǎo)下完成，正面是師生共同的歷練，勾股定理是數(shù)學(xué)史的璀璨明珠.

參考文獻(xiàn)：

[1]賈保柱.基于高階思維培養(yǎng)的數(shù)學(xué)深度教學(xué)——以“勾股定理”教學(xué)為例[J].江蘇教育，2023（07）：42-46.

[2]余葉軍.立足思維發(fā)展，促進(jìn)素養(yǎng)生成——以“勾股定理”復(fù)習(xí)教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（02）：74-75.

[3]薄守昌.例談勾股定理在解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（30）：54-55.

[4]方海國.淺談初中數(shù)學(xué)勾股定理的拓展教學(xué)[J].天津教育，2021（17）：90-91+94.

[5]朱記松.觀“三角形面積最值”視頻課有感[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2019（06）：12-14.