從三角形面積看勾股定理單元的教學設計

劉靖

【摘? 要】? 古人云：“通神明、順性命；立規矩、準方圓；周三徑一、方五斜七.”這些語句體現出勾股定理的重要性.主要應用是求線段長即兩點間距離公式和中點坐標公式，高中教材直接探索銳角、鈍角三角形三邊關系，創新性選擇探究勾股數和畫無理線段為學生提供建模的思維平臺.

【關鍵詞】? 初中數學；三角形；勾股定理

初中知識可以推導的三角形面積公式有：

，，，

，

⑤，

⑥，其中.

基于此，本文繪制了勾股定理單元結構圖（如圖1）和勾股定理單元教學課時安排表（表1），并圍繞其進行教學設計.

圖1

表1

課時 1 2 3

基礎知識 勾股定理 勾股定理逆定理 探索勾股數與畫無理線段

基本技能 方程法、面積法 同一法、反證法 歸納法

基本思想 分類、數形結合、特殊到一般 轉化、數形結合、一般到特殊 演繹推理、歸納推理

基本活動經驗 發現問題、提出問題、解決問題 猜想、證明、歸納 信息技術、網絡資源共享

核心素養 幾何直觀、抽象能力 推理能力、模型觀念 創新意識、應用意識

1? 勾股定理

1.1? 教材內容分析

教材結構人教版，內容北師版借鑒華師版.幾何理論上一維有，二維有，代數上科學家研究的是不定方程問題有無數多個正整數解，也有無數多個正整數解，對于高于二次的方程沒有正整數組，使等式成立，即費馬大定理.教材中更側重于計算直角三角形的面積，而我認為初中可以計算一般三角形面積，在數軸上可以用一個直角三角形如何表示二次方根，這是學生可以研究的內容.

1.2? 學情分析

學生思維停留在拼圖上，借助旋轉等積變形證明定理是突破難點關鍵性方法.

1.3? 教學目標的確定

（1）教學目標

知識與技能：理解并掌握勾股定理證明，并且能初步運用勾股定理解決問題.

過程與方法：經歷探索勾股定理的過程，并且能體會特殊到一般方法和數形結合思想.

情感態度價值觀：通過了解與定理有關的中外數學史，激發興趣和研究精神.

（2）教學重難點

教學重點：勾股定理的證明和運用.

教學難點：幾何直觀證明勾股定理.

1.4? 教學過程的設計

（1）創設情景，導入新課

①直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三邊關系如何？

②以三角形各邊為邊長向外作正方形，求三個正方形面積恒成立的關系？

（2）合作探究，形成猜想

問題1? 網格狀態下計算三角形面積方法？

問題2? 抽離網格計算三角形面積方法？

問題3? 試闡述勾股定理的其他推導方式？

問題4? 銳角、鈍角三角形三邊數量關系？

（3）獨立思考，驗證過程

例1? 在中，，求斜邊上的高、線段及面積.

（4）鞏固提高，靈活運用

①直角三角形直角邊長分別為和，求第三邊？

②直角三角形兩邊長分別為和，求第三邊？

③一般三角形的兩邊長為和，求三邊取何值為銳角三角形？

④一般三角形的兩邊長為和，求三邊取何值為鈍角三角形？

⑤如圖2，在中，，高，求的面積？

圖2

1.5? 小結升華，思維建構

（1）知識；（2）方法；（3）經驗.

1.6? 基礎作業

①螞蟻沿圖3所示的折線由點爬到了點，螞蟻一共爬行了多少厘米？（圖3中小方格的邊長代表）

圖3

②如圖4，有枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長最短幾何？

圖4

③如圖5，一只螞蟻從圓柱體的下底面點沿著側面爬到上底面點，已知圓柱的底面半徑為，高為（取），則螞蟻所走過的最短路徑是？若取道母線到頂沿直徑爬行此路線最短，高應在什么范圍內？

圖5

④如圖6，長方體三條棱的長分別為，，，螞蟻從1出發，沿長方體的表面爬到C點，求最短路線長？若從內部通過最短距離長？

圖6

1.7? 探究作業

①臺階欄桿如圖7，橫為和，豎為和，求欄桿總長？

圖7

②研究各種裝修梯子及消防云梯的高度？對高層建筑的平流層封門問題提建議？

③已知：對于正數，求證：.

④求的最小值？求的最大值

⑤觀察圖8和圖9，閱讀網上資料了解非歐幾何.

圖8? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖9

2? 勾股定理逆定理

2.1? 教材內容分析

教材直角三角形用同一法證明逆定理，現實生活是一般三角形普遍存在，嘗試用其他方法可證.

2.2? 學情分析

綜合分析法在上學期二次全等的證明中剛剛完成，學生分析完整思路清晰，但對反證法和同一法接觸較少，演繹推理是高中教學的主要內容，但十分有意思是在這一節課恰好可以水到渠成地匯集成一股清新雋永的源泉.

2.3? 教學目標的確定

（1）教學目標

知識與技能：理解勾股定理的逆定理.

過程與方法：經歷探究勾股逆定理的過程，突出代數、幾何證法.

情感態度價值觀：培養學生積極探索、勇于創新、學以致用的意識.

（2）教學重難點

重點：勾股定理的逆定理的探索及應用.

難點：用同一法證明勾股定理的逆定理.

2.4? 教學過程的設計

（1）創設情景，導入新課

用尺規畫三角形指出形狀，并求出面積？

①；②；③.

（2）觀察過程，寫出結論

設為中最大的內角，

若，為銳角三角形；

若，為直角三角形；

若，為鈍角三角形；

（3）特殊一般，驗證命題

例2? 已知：中，，求證：不是直角三角形.

反證法：①假設它是一個直角三角形.

②根據勾股定理，一定有，與已知矛盾.

③因此，假設不成立，不是一個直角三角形.

例3? 已知：中，， 求證：是直角三角形.

代數法：如圖10，作于，在形內記為，設，，

若垂足點在形外記為，設，，，

點、與點重合，為直角.

圖10

幾何法：畫，使B＇C＇=a，A＇C＇=b，∠C＇=90°，

B＇C＇2+A＇C＇2=a2+b2=c2=A＇B＇2，

AB=A＇B＇=c，BC=B＇C＇=a，AC=A＇C＇=b，

△ABC≌△A＇B＇C＇，

∠C=∠C＇=90°.

小結：①證明方法

②互逆命題與互逆定理

③知三邊可判斷形狀或求面積

（4）鞏固訓練，應用定理

例4? 判斷由線段組成的三角形是不是直角三角形.

；.

（5）作業

①在四邊形中，，求四邊形的面積？

②設直角三角形的兩條直角邊長及斜邊上的高分別為，以下選項正確的是？

能組成三角形.

能組成三角形.

能組成三角形.

能組成三角形.

③等邊中，點是內部一點，求？

④在正方形中，點是內部一點，，求？

3? 探尋勾股數與作無理線段

3.1? 教材內容分析

勾股數公式為通項公式之一，研究有沒有差的，？如、、、、、……

每一個被開方數為整數的無理線段都可以一次性通過作直角三角形做出來，選講這部分內容可減少累積誤差.

3.2? 學情分析

數學原理都經歷了提出、驗證、普適的過程，思維方法是問題解決的重點.勾股數采用數學實踐活動的方式意在學生知道思考一個猜想的形成和驗證的整個過程建立模型意識.

3.3? 教學目的

知識與技能：會用乘法公式求勾股數，會畫常用的無理線段.

過程與方法：探索勾股數和無理線段清晰生成規律性結論.

情感態度與價值觀：運用數形結合思想解決實際問題.

3.4? 教學活動設計

（1）創設情景，導入新課

問題1? 畫為邊的直角三角形其它兩邊是什么數？你還能畫多少個？

問題2? 探尋勾股數組

①研究時間軸

②你認為勾股數有哪些公式

……

（2）實踐創新，構建組表

可構建如表2組表.

表2

原數 勾股數組

（3）分析奇偶，探求公式

例5? 用平方差公式求勾股數組.

①算一條邊的平方；②分解因數；③由列方程解其他兩邊.

被開方數為正奇數，.

被開方數為正偶數，.

（4）特殊一般，無理線段

交互展示 ①連續 ②一次.

4? 教學反思

研討課題乘風破浪的過程、是闡述數理蓄勢待發的積淀、是仰望發展文化苦旅的伊始.學生以敏銳的數學眼光看，用清晰地數學思維寫，播慧心得數學語言辯，激情趣之數學主動性，成同競乎數學好玩群.如同這個生日帽展開卡的兩端是省市區教學基本要求指導下完成，正面是師生共同的歷練，勾股定理是數學史的璀璨明珠.

參考文獻：

[1]賈保柱.基于高階思維培養的數學深度教學——以“勾股定理”教學為例[J].江蘇教育，2023（07）：42-46.

[2]余葉軍.立足思維發展，促進素養生成——以“勾股定理”復習教學為例[J].數學教學通訊，2023（02）：74-75.

[3]薄守昌.例談勾股定理在解題中的應用[J].中學數學教學參考，2021（30）：54-55.

[4]方海國.淺談初中數學勾股定理的拓展教學[J].天津教育，2021（17）：90-91+94.

[5]朱記松.觀“三角形面積最值”視頻課有感[J].數理化學習（初中版），2019（06）：12-14.