例析解直角三角形問題的不同模型與解題思路

任勃勃

【摘? 要】? 解直角三角形問題是中考必考的一類幾何問題，因與實(shí)際生活密切聯(lián)系而具有深刻的考查意義.將不同實(shí)際生活模型簡(jiǎn)化為三角形問題時(shí)，可根據(jù)形狀的不同分為不同的模型，常見的有背靠背模型、擁抱模型以及字母模型.熟悉并掌握這些常見模型以及對(duì)應(yīng)的解題思路，有助于更高效地解題，更深刻地理解問題.本文主要對(duì)三種不同模型做出分析，以便學(xué)生們參考與學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；直角三角形；解題模型

1? 背靠背型

背靠背模型主要指兩個(gè)直角三角形中存在一條公共的直角邊，這類模型的解答應(yīng)利用公共邊長(zhǎng)度推斷其他邊長(zhǎng).也可以根據(jù)已知條件構(gòu)造背靠背模型，如作三角形的高將其看做兩個(gè)有公共邊的直角三角形.解答這類問題，常見解題思路為：①分析給出的三角形特點(diǎn)和已知條件，構(gòu)造背靠背模型；②利用公共邊長(zhǎng)長(zhǎng)度和相關(guān)角度，結(jié)合勾股定理或正余弦公式，列式計(jì)算求得問題最終解.

例1? 如圖1，河寬米，在點(diǎn)處測(cè)得對(duì)岸點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向，則兩點(diǎn)間的距離為____米（結(jié)果保留根號(hào)）.

分析? 該題為典型的背靠背模型，已知公共直角邊邊長(zhǎng)，可結(jié)合給出的角度和長(zhǎng)度，利用正切公式列出對(duì)應(yīng)等式，其次問題所求屬于兩直角邊之和，分別求得直角邊后相加，即可得到答案.

解析? 在中，，

則米，

在中，∠，

∴米

即米.

2? 字母模型

通常情況下，將兩個(gè)擁有同一條高且位于同一側(cè)的三角形組成的圖形看作字母模型，求解時(shí)需要借助同一條高對(duì)問題作出解答.字母模型的構(gòu)造需要借助等高條件，且兩直角三角形具有重疊部分，是區(qū)分其他模型的特點(diǎn)所在.解答這類模型，大致解題思路為：①作公共點(diǎn)的垂線構(gòu)造字母模型，結(jié)合已知條件求得公共高的長(zhǎng)度；②利用正余弦、正切公式，求直角三角形的邊長(zhǎng)，并列式對(duì)問題所求作出解答.

例2? 如圖2，在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組想要測(cè)量某河流的寬度，小組成員在專業(yè)人員的協(xié)助下使用無(wú)人機(jī)測(cè)量，在點(diǎn)處測(cè)得兩點(diǎn)的俯角分別是和（即，）.若無(wú)人機(jī)離地面的高有米，且在同一水平直線上，求這條河的寬度.（精確到米，參考數(shù)據(jù)：）

分析? 求河的寬度需要知道直角三角形的邊長(zhǎng)，即解答字母模型的直角三角形問題.首先利用已知高和角度，對(duì)直角三角形的邊長(zhǎng)作出解答，其次列式求出兩邊之差，也是的長(zhǎng)度.

解析? ∵，

∴∠，

∠，

在中，

∵，

∴，

∴米，

在中，

∵，

∴米，

∴米，

答：該河流寬度為米.

3? 擁抱模型

擁抱模型具體是指具有公共直角的兩個(gè)直角三角形圖形，形似“擁抱”故得以此名.擁抱模型的構(gòu)造，可從擁有對(duì)頂角的一對(duì)三角形著手，延長(zhǎng)邊長(zhǎng)構(gòu)造直角從而得到擁抱模型圖形.解答這類問題，大致解題思路為：①在已知圖形基礎(chǔ)上構(gòu)造擁抱模型；②結(jié)合已知邊長(zhǎng)和角度，列式運(yùn)算分別求出兩個(gè)直角三角形的具體值，從而得到問題所求.

例3? 如圖3，一座商場(chǎng)大樓的頂部豎立一塊矩形廣告牌，甲學(xué)生在地面上分別選擇了三點(diǎn)：（為樓底）、、，分別在處測(cè)得廣告牌頂端的仰角為，在處測(cè)得商場(chǎng)大樓樓頂?shù)难鼋菫椋阎祝瑥V告牌高米，求這座商場(chǎng)的高度.（，，甲學(xué)生身高忽略，結(jié)果保留整數(shù)）

分析? 求的長(zhǎng)度需要知道與的長(zhǎng)度，該題屬于擁抱模型問題，首先應(yīng)結(jié)合正切公式按順序分別求出兩個(gè)直角三角形的具體值，根據(jù)兩邊長(zhǎng)之差得到問題最終答案.

解析? 設(shè)米，

∵點(diǎn)處測(cè)得商場(chǎng)大樓樓頂?shù)难鼋菫椋?/p>

∴，

∴，

∴，

，

∵在處測(cè)得商場(chǎng)大樓樓頂?shù)难鼋菫椋?/p>

∴，

∴，

∴，

，

解得，

答：商場(chǎng)大樓的高度大約為米.

4? 結(jié)語(yǔ)

上述內(nèi)容分別以典型例題向?qū)W生們介紹如何分辨和構(gòu)造不同模型，背靠背模型、字母模型以及擁抱模型都具有鮮明的圖形特點(diǎn)，都是利用直角三角形的公共邊和角度正切公式列式求解.學(xué)生們應(yīng)加強(qiáng)練習(xí)，只有對(duì)模型更加熟悉，才能更高效快速地解答解直角三角形問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]馬金福.初中數(shù)學(xué)直角三角形問題解法探討[J].教育教學(xué)論壇，2014（23）：123-124.

[2]王旭陽(yáng)，陳瑞平.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中直角三角形問題的探討與應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇，2007（34）：98-99.