指向高階思維的初中數(shù)學解題教學

徐樂

【摘? 要】? 問題是數(shù)學的“心臟”，解決問題是數(shù)學教學的核心.問題解決是一項復雜且有創(chuàng)造性的活動，思維則是重中之重.本文以2021年一道中考試題為例，基于高階思維的視角，對整個解題教學過程展開探究.

【關(guān)鍵詞】? 高階思維；初中數(shù)學；解題教學

數(shù)學作為初中階段最為重要的一門學科，極具抽象性、邏輯性，素有“思維體操”之稱.新課程改革背景下，基于數(shù)學課堂激活、促進高階思維，已成為教學的重中之重.縱觀當前初中數(shù)學解題教學現(xiàn)狀，受到灌輸式、機械化解題教學模式的影響，學生的思維水平比較低，依然拘泥于定向思維模式中，致使學生一旦遇到開放、復雜的數(shù)學問題，就會手足無措.鑒于此，立足于日常解題教學加強學生的高階思維訓練刻不容緩.

1? 基于初中數(shù)學解題教學培養(yǎng)學生高階思維發(fā)展

原題? 如圖1所示，射線，且的長度為8，點位于射線的上方，并在線段的垂直平分線上，連接，將線段繞著按照逆時針方向進行旋轉(zhuǎn)，最終得到對應線段，若點恰好落在射線上，則到射線的距離為多少？

圖1

1.1? 搭建問題支架，激活高階思維

在培養(yǎng)學生高階思維時，必須要科學、合理搭建問題支架，使得學生在問題支架的引導下，構(gòu)建起從題目已知條件到所求結(jié)論之間橋梁[1].在本題目中，就遵循這一原則，為學生設計如下問題：

問題1? 回憶旋轉(zhuǎn)具備哪些性質(zhì)？分析題目和圖形，在必要時可添加輔助線，一共可得到的已知條件？在這一問題的引導下，學生根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出：，結(jié)合“對應點到旋轉(zhuǎn)中心距離相等”得出；結(jié)合“由任意點一對對應點和旋轉(zhuǎn)中心連線構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等”得出；如此，學生就會聯(lián)想到連接，在題目中構(gòu)建成為兩個新的三角形，分別為：（如圖2所示）.

圖2

問題2? 分析題目結(jié)論，可在圖中如何表示出來？在這一問題的引領(lǐng)下，學生圍繞“所求結(jié)論”展開分析，得出：要想求出“到射線的距離”，需要過做，垂足為，因此即為所求距離.

問題3? 分析圖2，圖形中存在哪些特殊的圖形，這些特殊的圖形與所求結(jié)果之間存在什么關(guān)系？在這一問題引領(lǐng)下，學生通過題目分析得出，因為二者是旋轉(zhuǎn)得到的；同時，圖形中還存在一系列的直角三角形，且這些直角三角形對應角相等.不僅僅是一條直角邊，同時還是中邊上的高.

如此，在這三個問題的引導下，學生不僅理清了已知條件和所求結(jié)論，也逐漸形成了明確的解題思路，為高階思維發(fā)展奠定了堅實的基礎.

1.2? 一題多解訓練，推進高階思維

為了促進學生的高階思維發(fā)展，必須要引領(lǐng)學生從多個角度探索解題方法.在本題目中，結(jié)合上述分析，以及初中生已有的知識體系，可從以下兩個角度進行思考和解答：角度一：將視為一條直角邊進行解答；角度二：將視為中邊上的高進行解答.根據(jù)這兩種思路，可形成三種不同解題方法：

解法1? 從三角形相似的角度進行解答.設的垂直平分線與射線相交于點，則有，根據(jù)勾股定理得知.

因為是由線段繞點旋轉(zhuǎn)所得，

所以，

又因為，

所以，即，

代入相關(guān)數(shù)值，即可得出.

解法2? 從三角函數(shù)的角度進行解答.設的垂直平分線與射線相交于點，則有，根據(jù)勾股定理得知.

同時，結(jié)合旋轉(zhuǎn)知識得出，

因此，，則有，

代入即可得.

解法3? 利用等積法進行解答.設的垂直平分線與射線相交于點，則有，根據(jù)勾股定理得知.

結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出，，因此，

則，代入相關(guān)數(shù)值即可得出.

1.3? 變式訓練，強化高階思維

為促進數(shù)學高階思維發(fā)展，教圍繞“線段繞線段外一點旋轉(zhuǎn)”展開變式訓練.

變式1? 如圖3所示，射線互相垂直，且，點位于射線的上方，并在線段的垂直平分線上，連接，將線段繞著按照逆時針的方向進行旋轉(zhuǎn)，最終得到對應線段，若點恰好落在射線上，則線段在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為多少？

圖3

在這一變式訓練中，學生只要添加必要的輔助線，即可構(gòu)成兩個全等三角形，即：，根據(jù)題目中所求“陰影部分面積”，即可采用割補法，通過.

變式2? 在直角坐標系中，，線段繞著點按照逆時針方向進行旋轉(zhuǎn)，最終得到，使得其一個端點恰好落在軸上，求另一點的橫坐標？

變式3? 在直角坐標系中，，線段繞著點按照逆時針的方向旋轉(zhuǎn)得，使得其一個端點恰好落在軸上，試用的代數(shù)式對另一點的橫坐標進行表示？

1.4? 解題反思，升華高階思維

解題反思是促進學生高階思維發(fā)展的關(guān)鍵階段.但在引領(lǐng)學生反思的過程中，鑒于初中生實情，應充分發(fā)揮教師的引導價值，為學生科學設置反思問題.在本題目解題反思中，就為學生提出了以下問題：

問題1? 在解答上述問題時，總共涉及哪些數(shù)學知識？

問題2? 上述題目分析思考流程如何？

問題3? 在分析和解決問題的過程中，出現(xiàn)了哪些錯誤？應如何避免？

問題4? 在解題過程中，遇到了哪些解題障礙？又是如何突破這些障礙的[2]？

2? 結(jié)語

綜上所述，基于數(shù)學解題教學培養(yǎng)和發(fā)展學生的高階思維，已經(jīng)成為數(shù)學解題教學的重中之重.鑒于此，教師應深層次挖掘數(shù)學題目中蘊含的高階思維培養(yǎng)點，科學組織解題教學，使得學生在解題學習中，逐漸形成一定的高階思維.

參考文獻：

[1]張文鈺.解題教學中初中生數(shù)學思維的培養(yǎng)策略分析[J].新課程研究，2022（35）：132-134.

[2]劉舟娟.培育數(shù)學核心素養(yǎng) 提升高階思維[J].現(xiàn)代教學，2022（19）：54-55.