一道中考數學題的解題總結與反思

趙黃婧

【摘? 要】? 平面幾何是初中數學的重要內容，是培養學生直觀想象、數學抽象和邏輯推理等素養的良好素材.探索解題策略，掌握基本模型，才能提高解題能力.本文以2022年江蘇省無錫市中考數學試題的第27題為例，探究解題方法，總結高頻易錯點，發現教學啟示，進一步促進教師和學生的教與學.

【關鍵詞】? 初中數學；一題多解；解題教學

1? 試題呈現

例題? 如圖1，已知四邊形ABCD為矩形，AB=2，BC=4，點E在BC上，CE=AE，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF．

（1）求EF的長；

（2）求sin∠CEF的值．

2? 思路分析

2.1? 利用已知三角形，求線段長度

在△AEF中求EF，需證明∠EAF=90°；在△ABE中勾股定理，求AE；在△AEF中勾股定理，求EF.其中，證明∠EAF=90°有多種方法.

解法1? “結合角平分線與等腰三角形”.

由翻折得∠AFC=90°，∠ACF=∠ACB，

由CE=AE得∠ACB=∠CAE，

故∠ACF=∠CAE，AE∥CF.

故∠EAF=90°.

解法2? “轉化”.

由翻折∠CAF=∠CAB，

由CE=AE得∠ACB=∠CAE，

∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠CAB+∠ACB=90°.

解法3? “設未知數”.

設∠ACF =∠ACB =∠CAE=x°，

∠CAF = 90°-x°，

故∠EAF =∠CAF+∠CAE= 90°-x°+ x°= 90°.

2.2? 構造直角三角形，求三角函數值

作FH⊥BC，交BC于H，只要求FH.

解法1? “勾股定理”.

設EH=y，在Rt△CFH和Rt△EFH中，兩次利用勾股定理表示FH，聯立方程組.或作CH⊥EF，交EF于H，用類似方法表示CF.

解法2? “等積轉化”.

由AE∥CF得，S△CEF=S△AFC，CE·FH=AF·CF，直接求FH.

解法3? “割補法”.

S△CEF=S△ABC+S△AFC-S△AEF-S△ABE，再求FH.

2.3? 遇到直角，構造K型相似

如圖2，由翻折∠AFC=90°，延長CD，過點F作FM⊥CD交CD于M，延長MF與BA交于點N.易證△ANF∽△FMC，設AN=MD=x，由相似可求x，以及相關線段長，再在Rt△EFH中，利用勾股定理.

構造K型相似，也可設兩個未知數，列二元一次方程組.

2.4? 遇到矩形，建立直角坐標系

如圖3，以AB為x軸，AD為y軸建立坐標系.易求AC表達式.由翻折，AC垂直平分BF，KBF· KAC=-1，結合點B坐標，由點斜式求BF表達式，聯立方程，求交點坐標.

G為BF中點，由中點坐標公式，可求點F坐標.在△ABE中用勾股定理，求BE，再用兩點間距離公式求EF.

3? 解題思考

3.1? 高頻易錯點

（1）未證明∠EAF=90°，直接用勾股定理，思維不嚴謹；

（2）誤以為△AEF為等腰三角形，從而EF=，沒有注意審題；

（3）將正弦值誤算成tan∠CEF，由tan =得=30°，基本知識不過關；

（4）結果化簡錯誤：，.

結果正確未化簡，EF=，sin∠CEF=，sin∠CEF=，計算能力薄弱.

3.2? 培養數學核心素養

（1）考查運算能力

新課標指出，運算能力主要是根據法則和運算律進行正確運算的能力，有助于形成規范化思考問題的品質，養成嚴謹求實的科學態度.二次根式的計算，很多學生出錯，原因是平時習慣于聽思路問答案，不動手計算，所以要養成勤動手的習慣.

（2）考查幾何直觀

新課標指出，幾何直觀主要是指運用圖表分析問題的意識與習慣，有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑.初中階段許多數學內容都離不開“數”與“形”的特質.利用幾何直觀，把握圖形本質特征，探索解決問題的最佳途徑.

（3）考查模型觀念

幾何模型是將常見的簡單圖形結論化、方法化，作為綜合題目的“基本單元”，在培養學生的幾何直觀、邏輯推理、空間觀念等核心素養中起到關鍵作用.遇到直角構造K形相似，解決線段的計算；遇到矩形可建立坐標系，從點到線進行求解.

3.3? 教學啟示

（1）建立結構，加強理解

數學教育家裴光亞先生說，數學復習的方法，就是要把局部知識按照某種觀點和方法組織成整體，將所學知識系統化，這樣才便于存儲、提取和應用.以專題形式將知識點系統化，以知識網的形式呈現知識之間的聯系，加強學生的理解和應用能力.

（2）總結技巧，提升技能

達爾文說，最有價值的知識是關于方法的知識，而“一題多解”及解題后的反思是學習數學解題方法的有效途徑之一.初中幾何幾大解題方法：勾股定理、面積法、相似或全等，有時也可構造坐標系.通過一題多解，探索最佳解題策略，實現多題一解，有助于學生多角度深層次理解題目，形成科學的思維品質和能力.

（3）歸納錯點，對癥下藥

若教師只講正確答案，部分學生可能一知半解，歸納高頻錯點對癥下藥，明確知識盲點，才能提高解題能力.

4? 結語

本題注重基礎，培養運算能力、幾何直觀、模型觀念等核心素養，充分體現新課標的要求.中考試題具有引領作用，指導一線教師繼續研究數學課程標準，研究解題策略，從一題多解中尋求最優解，從而促進教師和學生的共同進步.