談談一道初中平面幾何題的解法

許璐

【摘? 要】? 平面幾何一直是初中數學教學的重難點.學生在遇到平面幾何問題時，由于缺乏系統性的分析方法和解題技巧，常常難以入手.總的來說，解決平面幾何問題需要學生掌握并熟練運用所學的幾何知識，并且擁有一定的圖形想象能力.本文根據一道初中平面幾何的例題來談談此類題目的解法.

【關鍵詞】? 平面幾何；初中數學；輔助圓

平面幾何問題一直是初中數學中的重要問題之一，且難度分布廣泛，無論是簡單題目還是復雜題目都可以有平面幾何問題，題型復雜多樣，知識點廣泛.此外，平面幾何問題還需要掌握一定的作圖技巧和輔助線畫法.下面根據一道初中平面幾何問題談談此類問題的幾種解法.

例題? 如圖1，在四邊形中，，，，，求的長.

解法1? 構造輔助線

根據題目所給的幾何條件合理構造輔助線是解決平面幾何問題的常用方法.一般來說，構造輔助線主要有三大方向：一是為了得到長度相等的線段，二是為了得到全等的三角形，三是為了得到角度相同的角.

解析? 如圖1，過點作于點，在的延長線上截取，并連接，在的延長線上截取，并連接，，

由此易證相似于，

得到，

設，則，

，所以得到，

解得符合題意，即.

構造輔助線的首要目的在于簡化解題，使題目中的條件能夠有機轉化，如果在構造完輔助線后問題反而變得復雜，就需要重新考慮.此外，當沒有構造思路時，要圍繞著條件多的角，邊等進行構造.

解法2? 構造直角三角形

直角三角形作為一類重要的三角形，其蘊含的條件是豐富的，同時利用勾股定理還可以由直角得到有關于三角形邊的長度的等式.

解析? 如圖2所示，過點作的垂線交于點，再分別過兩點作的垂線，垂足分別是，

易得矩形，且全等于，設為，則，

又，所以得到，

再由相似于，

得到，即，

解得符合題意，即.

構造直角三角形時不能構造的憑空無據，而是要尋找一些可能存在直角的幾何位置.例如，在三角形的某個定點向對邊作垂線，或是補齊圖形變為矩形等等，對于有全等三角形的題目還可以考慮用三垂直模型解題.

解法3? 構造輔助圓

平面幾何中最常見的圖形就是三角形，幾乎所有的圖形都可以由一個個三角形拼接而成.而與三角形密切相關的一個圖形則是圓，無論是外接圓還是內接圓都能夠提供許多有關三角形的性質.所以構造輔助圓同樣是簡化平面幾何問題的一類重要方法.

解析? 如圖3，點是的外接圓，則 ，

易得是以為斜邊的等腰直角三角形，

所以，

過點作的垂線，垂足為，交于點，

則，

設，由于，得到，

在，，

即得到，

解得符合題意，即.

在構造出輔助圓后最常用的性質就是利用圓中弦所對的圓周角相等的性質，可以使角的位置發生變化，而大小不變，這就使題目條件的使用變得更加靈活.

解法4? 構造并利用相似三角形

三角形中除了全等三角形，相似三角形的性質同樣重要，雖然不是完全相等，但是角的關系和邊長的比例關系對于解題同樣重要.

解析? 如圖4所示，作垂直于于點，在的延長線上截取，

則，易得相似于，

所以.

又由勾股定理可以得到，

設，則，

，

所以，

即，

解得符合題意，即.

相似三角形的構造和利用是極其靈活的，一般是圍繞角來構造，延長或者截取線段是常用的方法.

結語

對于這道平面幾何問題，上述四種解法殊途同歸，都是對于題目條件的發散，合理構造，巧妙轉化.在解決此類問題時，一定要牢牢抓住已知條件，才能在構造時有方向.

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