基于逆向思維的初中數(shù)學(xué)解題

曹育勝

【摘? 要】? 逆向思維與正向思維相對，常常以結(jié)果作為思考的起點，由此出發(fā)尋找論證的原因、證據(jù).在初中數(shù)學(xué)解題中，科學(xué)融入逆向思維，有效打破正向思維的束縛，使得學(xué)生在“反其道而行之”中，完成高難度題目的解答.本文針對逆向思維在解題中的具體應(yīng)用展開探究，旨在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；逆向思維；解題教學(xué)

新課程標(biāo)準(zhǔn)視域下，數(shù)學(xué)教學(xué)不再局限于知識與技能中，更加關(guān)注學(xué)生的思維能力、情感態(tài)度、價值觀等，旨在實現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展.逆向思維即為反向思維、求異思維，屬于一種創(chuàng)造性思維，主要是對于學(xué)生司空見慣、已經(jīng)成為定論的觀點進(jìn)行反向思考，使得學(xué)生在“反其道而行之”的思考中，尋找解決問題的新途徑，最終完成題目的有效解答.

逆向思維與正向思維相對，學(xué)生在解題時不再按照“從已知條件到所求結(jié)論”的思路進(jìn)行分析問題，而是以結(jié)果作為出發(fā)點，在反其道而行之中獲得全新的解題方案.在初中數(shù)學(xué)解題中，逆向思維屬于“另辟蹊徑”解決問題，不僅高效完成了數(shù)學(xué)解題的目標(biāo)，也促進(jìn)了高階思維的發(fā)展[1].

例1? 已知為正數(shù)，且滿足，，求的值.

解析? 這一類題目在初中數(shù)學(xué)中尤為常見，如果按照正向思維進(jìn)行解題，學(xué)生勢必會陷入思維的泥潭中.此時，即可反其道而行之，依據(jù)逆向思維，從所求問題出發(fā)，構(gòu)建出問題和已知條件的聯(lián)系，進(jìn)而完成題目解答.

又因為，

，

將其直接代入即可，

.

例2? 已知的解集是，且整數(shù)使得關(guān)于的二元一次方程組的解為整數(shù)（均為整數(shù)），求下列不符合的值.

（A）-4.? ? ? ? （B）2.? ? ? ? ?（C）4.? ? ? ? ?（D）10.

解析? 本題目涉及了方程（方程組）和不等式等知識點，具備一定的難度，也是初中數(shù)學(xué)必考內(nèi)容之一.在已知條件中只給出了一個不等式組的解集，問題是求出某一個參數(shù)的具體范圍.針對這一類型問題，正向思維常常行不通.此時，即可利用逆向思維進(jìn)行解答.

解不等式組，

得出：，

因為其解集是，所以，

解二元一次方程組得出.

因為是整數(shù)，所以的值存在四種情況，即：1、-1、7、-7，

由此即可得出，

又因為，因此明顯不符合條件，（D）即為正確答案[2].

例3? 已知是兩個不相等的正數(shù)，求證：.

解析? 這是一道常見的代數(shù)證明題，在正常思維下，學(xué)生需要從已知條件入手進(jìn)行證明，此時題目證明過程將變得異常復(fù)雜.面對這一現(xiàn)象，必須要突破正向思維的束縛，從結(jié)論出發(fā)進(jìn)行逆推，即可輕松完成題目的解答.

因為，

，

又因為是兩個不相等的正數(shù)，所以，

此時只需要證明即可，

，

則，

即，

因為是兩個不相等的正數(shù)，因此成立，

即

例4? 已知直線，需要將其圖象至少向上平移（? ?）個單位，才能和反比例函數(shù)的圖象的交點只存在于第一象限之內(nèi).

（A）1.? ? ? ? ?（B）.? ? ? ?（C）2.? ? ? ?（D）.

解析? 這一題目圍繞“一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)”進(jìn)行考查，在解答這一類類型題目時，關(guān)鍵在于逆向思維的運(yùn)用，先假設(shè)兩個函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)存在交點，之后再根據(jù)平移的知識，將圖象平移的單位求出來即可.

假設(shè)圖象至少向上平移個單位，方可和圖象在第一象限內(nèi)存在交點，

則聯(lián)立方程組，

解方程組得.

對其進(jìn)行整理得出：，

因為，

所以，則（D）選項正確.

例5? 如圖1所示，在三角形中，點均在上面的點，且，是的角平分線，證明.

圖1

解析? 在證明這一類型幾何題目中，如果遵循正向思維，學(xué)生很難利用題目中的已知條件完成.此時，即可利用逆向思維，從題目中證明的結(jié)論進(jìn)行逆推，并結(jié)合已知條件和相關(guān)的定理進(jìn)行證明.在本題目分析中，即可融入逆向思維進(jìn)行分析：要想證明，則可從三角形相似的入手.因為，，所以，則只需要證明出即可.

證明? 因為，

所以，

即

又因為是的角平分線，

則

所以

又因為為公共角，

所以，

則，

又因為，

所以[3].

結(jié)語

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)解題中，逆向思維可應(yīng)用于各類題目中，為學(xué)生打開了一個全新的解題視角，不僅順利完成了疑難題目的解答，也促使學(xué)生在逆向解題中，進(jìn)一步促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，為其更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)夯實了基礎(chǔ).因此，教師應(yīng)結(jié)合不同類型的題目，有意識、有目的、有計劃地培養(yǎng)學(xué)生逆向思維解題能力，在強(qiáng)化其解題能力的同時，促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]黃圣杰.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理天地（初中版），2023（13）：35-36.

[2]時慧娜.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的合理應(yīng)用[J].數(shù)理天地（初中版），2023（11）：69-70.

[3]王莉蓉.逆向思維：賦能初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)新思路[J].基礎(chǔ)教育論壇，2023（10）：89-91.