有條件的分式化簡與求值問題的解題策略

章瑜

【摘? 要】? 有條件的分式化簡與求值問題，歷來是中考的必考題型.本文結(jié)合幾則典例，提出有條件的分式化簡與求值問題的解題策略，以提高學(xué)生解題能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；分式化簡；求值

有條件的分式化簡與求值問題，歷來是中考的必考題型.在求解這類問題時，既要瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)，又要抓住題目中的關(guān)鍵條件，既要根據(jù)目標(biāo)變換條件，又要依據(jù)條件來調(diào)整目標(biāo)，除了要用到整式化簡求值的知識，還常常用到以下幾個解題策略

1? 拆項變形，快速抵消

我們通常化簡分式是將分式的個數(shù)盡量減少，而利用拆項法處理問題的時候，可以從反方向考慮問題，即將分式個數(shù)增多，使之出現(xiàn)能相互抵消的項，從而達到化簡目的.

例1? 計算，并求當(dāng)時該代數(shù)式的值．

解析? 本題直接通分，按常規(guī)方法計算是不可能的，但我們能用把每個分式寫成兩個分式的差，就可以先合并，再代入求值．

當(dāng)時，原式．

點評? 這里主要涉及到的兩個拆項公式：和，它們都是逆用分式減法法則得到的.

2? 著眼全局，整體代入

將條件等式適當(dāng)變形后，將其整體代數(shù)待求分式，往往可以大大減少計算量.

例2? 已知，則=__________.

解析? 等式兩邊除以a，

得，

所以，

所以，

所以，

所以，原式===15．

故答案為15．

點評? 本題若不用整體代換法，而是由條件等式求出的值，進而將其代入所求分式也可求值，但過程繁瑣.

3? 比例性質(zhì)，化繁為簡

有些分式求值題，若按常規(guī)方法求解可能比較麻煩甚至無法求解，而利用比列性質(zhì)，則往往可以化繁為簡，變難為易，從而優(yōu)化解題過程.

例3? 已知a，b，c為非零實數(shù)，且.

若，則的值是______.

解析? 設(shè)，

又，

因為

所以，

即k＝1.

所以a＋b＝2c，b＋c＝2a，a＋c＝2b.

所以原式＝.

故答案為8.

點評? 本題解答時用了比例的合分比性質(zhì)，把已知連等式中的每一個比值式為一個整體，通過換元法間接求解.

4? 未知當(dāng)已知，三元變兩元

當(dāng)題目給出的等式有多個，且含有多個字母時，往往可將其中一個字母當(dāng)成已知數(shù)，通過解方程組，把其他字母表示成含有該字母的表達式，進而將其代換到待求分式求值.

例4? 已知3a－4b－c＝0，2a＋b－8c＝0，計算：的值.

解析? 把c當(dāng)作已知數(shù)，用c表示a，b ，

由3a－4b－c＝0，2a＋b－8c＝0，

解得a＝3c，b＝2c

所以＝＝.

點評? 這類問題給出的已知條件往往是幾個一次齊次方程，而待求分式的分子分母往往也是含有多個字母的齊次式.

5? 打破常規(guī)，倒數(shù)代入

有些分式的分母比分子含有更多的項，我們可以把分子和分母顛倒位置再進行求解.

例5? 已知：，則的值為------.

解析? 由題意得，

由，

得，

所以，

即，

故答案為

點評? 將已知條件取倒數(shù)，目的是為了將已知條件變形，以達到整體代換的目的.

6? 結(jié)語

眾所周知，所謂解數(shù)學(xué)題，就是應(yīng)用已知條件探求未知結(jié)論的過程.如何運用已知條件，是順利解題的關(guān)鍵，從以上幾例的分析可以看出幾個常用技巧：（1）直接運用條件；（2）變形運用條件；（3）綜合運用條件；（4）挖掘隱含條件.

參考文獻：

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