化歸思想在初中數學“圖形與幾何”解題中的應用

婁凌翔

【摘? 要】? 化歸思想是對幾何形狀求解的一種重要方法，適用于各種不同的幾何問題.本文對化歸思想在初中數學“圖形與幾何”中的具體體現進行梳理，以具體例子為依據，介紹化歸思想在初中幾何中的應用方法，并強調其在初中數學中的重要性，希望可以幫助初中學生更好地理解和應用化歸思想.

【關鍵詞】? 化歸思想；初中數學；解題教學

1? 化歸思想在“圖形與幾何”解題中的應用

1.1? 平行線的性質

平行線的性質處在七年級下冊的第五章，平行線的知識可以說是后續幾何學習的基礎知識，三角形內角和定理、平行四邊形性質、相似三角形等都運用了平行線的性質.在難以解決這些問題時，可嘗試將其轉化為平行線問題.在平行線性質的應用中亦蘊含化歸的思想.

例1? 如圖1，，若，，則

圖1

解析? 作，

因為，

根據平等的傳遞性，所以，

所以，，

又因為，，

所以.

圖2

分析? 從所給圖形上看，沒有一條直線截AB與CD，所以無法直接運用平行線的相關性質.故需使用構造法構造出“兩條直線被第三條直線所截”的基本圖形后，才能運用平行線的性質.本題轉化是通過作，根據平行線的定理推論可知，由此構造出了直線AB，EF被BE所截，EF，CD被EC所截，這樣就將問題轉化，可使用平行線的性質解決問題.此外，本題還有另一種思路：直接構造與AB，CD都相交的截線.但這種思路需用到三角形的內角和，相較于本題的解題方法更復雜.

從分析過程中我們可以看出，問題的解決有多種轉化的思路，但要提高解題的效率就需要找到最簡的轉化方式.這離不開對數學知識技能和化歸思想方法的掌握和靈活運用.

2.2? 全等三角形

平行線的性質在八年級上冊的第二章，在研究全等三角形時，通過借助輔助線將一個三角形劃分為若干個部分，然后用這些部分來構造另一個全等的三角形，以全等三角形作為解題的突破點.

例2? 如圖3，已知在中，，D為AB上的一點，E為AC的延長線上的一點，連接DE交BC于G，，求證：.

圖3

證明? 過點D作交BC于點F，

所以，

又因為，，

所以，

所以.

因為，

所以，

因為，

所以，

所以，

所以，

所以，得證.

分析? 因為本題要證明，但根據圖形可以發現BD和CE這二者沒有太多的聯系，仔細觀察發現可以通過構建全等三角形即可解得.

2.3? 多邊形的內角和

多邊形內角和編排在八年級上冊第十一章.多邊形內角和及有關知識的學習基于三角形內角和知識，借助作輔助線將多邊形劃分割為多個三角形，將求多邊形內角和的問題轉化為求多個三角形內角總和，體現了化歸思想.

多邊形內角和的公式的推導如圖4所示.

圖4

通過觀察規律可發現：從一個頂點引對角線，能把邊形分成個三角形，個三角形的內角總和即為邊形的內角和，即邊形的內角和等于.

例3? 如圖5，五邊形ABCDE中，∠1，∠2，∠3分別是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，則等于? ? .

圖5

解析? 這道題是一個較為綜合性的題目，包含了多邊形內角和與平行線相關的知識點，我們需要結合圖形仔細觀察題干中所給條件，提煉出關鍵信息.

由五邊形ABCDE可知內角和為，已知AB∥CD，由平行線同旁內角的性質可知：.

由此可將求多邊形外角和的問題轉化為求多邊形內角和的問題.可得到.

2.4? 矩形性質與判定的應用

矩形性質與判定編排在八年級下冊第十八章.在研究平行四邊形問題時，發現平行四邊形的性質同樣可以通過三角形的全等形來證明.所以，我們常將其化歸為全等三角形問題來研究.矩形是一個角是直角的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質.因此，在研究矩形時，常常將其化歸為全等三角形問題進行研究.

例4? 如圖6，在四邊形ABCD中，，垂足為點E，求證：.

圖6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖7

證明? 如圖7，過點B作于點F，

因為，

所以，

因為，

所以，

所以.

在和中，

所以，

又因為，，，

所以四邊形AEFB是矩形，

所以，

所以.

分析? 在上述證明過程中，主要采用構造法對圖形進行幾何變換.通過作輔助線構造全等三角形，化隱為顯，將證明線段相等的問題轉化成證明三角形全等及矩形對邊相等.然后通過全等三角形的性質得到邊與邊之間的相等關系.

3? 結語

數學問題的步步轉化無不遵循著化歸思想，利用化歸思想將復雜問題簡單化、未知問題熟悉化、抽象問題具體化是數學解題的捷徑之一.因此，在初中階段及時培養學生掌握基本知識技能，滲透數學思想，使學生將化歸思想內化為獨立獲得知識和解決問題的能力就尤為關鍵.