批判性思維培養的數學教學實踐研究

張東年　賈隨軍

【摘 要】科學本質上是一種批判的活動，科學方法的核心就是試錯法，而核心素養在義務教育階段的數學思維表現為發展質疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學態度。本文將波普爾的科學方法論“四段圖式”與數學學科教學結合起來，構建了“提供材料與確定對象→發現問題與提出問題→試誤逼近與批判質疑→評價選擇與信息反饋→反思總結與獲得結論”的教學實踐路徑，為培養批判性思維的數學教學實踐提供參考。

【關鍵詞】核心素養；批判性思維；初中數學；途徑；教學實踐

一、引言

中國學生的核心素養，包括自主發展、社會參與和文化基礎三個領域，其中文化基礎領域的素養表現為人文底蘊和科學精神，而科學精神具體包括理性思維、批判質疑、勇于探究等基本要點。［1］數學對于提升民族素養和確保國家旺盛的創造力，具有其他學科無法替代的獨特作用［2］，《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調要發展學生質疑問難的批判性思維，并形成實事求是的科學態度［3］。

批判性思維泛指個人對某一現象和事物之長短利弊的評斷，它要求人們對所判斷的現象和事物有獨立的、綜合的、有建設意義的見解。［4］20世紀以來，如何提高學生的批判性思維能力，一直是教育改革的熱點，批判性思維也成為當前學生必備的核心技能之一。因此，在中學數學教學中，如何培養批判性思維是值得一線教師進行深入研究的，本文以“二元一次方程（組）定義”的教學為例，探討數學教學中培養學生批判性思維的途徑與方法。

二、數學批判性思維培養的途徑

數學批判性思維從屬于批判性思維，它是批判性思維在數學中的體現。所謂數學批判性思維，是指在數學學習活動中有目的、有意識地對已有的數學表述和數學思維過程、結果做出自我調節性分析、判斷、推理、解釋和調整的個性品質。［5］

哲學家波普爾（K. Popper）認為，科學總歸是假說，科學態度本質上是批判態度，本質上是一種批判的活動，即科學是批判的，科學是可被否證的，可否證性和批判性對科學最為重要。［6］波普爾建立了科學方法——試錯法，試錯法由嘗試和排錯兩個要素構成，后來波普爾將試錯法進一步公式化，發展為科學方法論的“四段圖式”，即P1—TT—EE—P2，其中P1表示問題，TT表示嘗試性的各種理論，EE表示通過批判和檢驗即反駁以清除錯誤，P2表示新的問題。［7］

“四段圖式”表明科學研究的方法是從問題開始，以新的問題（重要結論）結束的；科學方法的核心就是試錯法；理論先于觀察。本研究在數學課堂中創設批判性思維培養的條件，依據數學學科本身的教學特點，結合科學方法開展教學，將波普爾“四段圖式”與數學學科教學有機結合起來（如圖1）。

荷蘭數學家、數學教育家弗賴登塔爾（H. Freudenthal）認為，與其說學數學，倒不如說學習數學化［8］，數學化首要是從現實世界到數學內部。那么，數學學科教學的開始就應以情境（數學外部與數學內部的情境）為載體，因此教師要為學生提供學習材料，借助材料確定學習對象。為此，在波普爾“四段圖式”與數學課堂教學的對應關系中應增補“提供材料與確定對象”環節。基于上述分析，本研究構建了數學批判性思維培養的教學實踐途徑（如圖2）。

（一）提供材料與確定對象

提供材料與確定對象階段的操作過程，就是針對本節課內容選取合適的素材，素材來源主要是數學外部材料（如實際問題）和數學內部材料（如數學問題），在確保所提供的材料真實的前提下，設計合理的生活情境、數學情境、科學情境，適當引入數學文化。利用具體的、直觀的、典型的、豐富的材料，結合學生的學習經驗和長時記憶中的相關信息，讓學生在情境中辨認出本節課要研究、學習的數學對象，這是學生經歷數學化活動而習得數學思維方式的前提。

（二）發現問題與提出問題

發現問題與提出問題階段是針對上一階段確定的學習對象，利用已有知識和經驗進行類比與分析，厘清學習、研究本節課內容的思路，依據研究思路發現研究過程中需要面對的問題，同時提出具體的問題。這就是在確定數學對象的基礎上，進一步細化學習對象，實現從現實世界進入數學的目的，讓學生真正經歷數學化活動的過程。

（三）試誤逼近與批判質疑

試誤逼近與批判質疑階段的操作過程，是指對于已提出的數學問題，首先提出一個數學結論（待實踐檢驗），教師設想出用它來處理問題應得出的結果（預期結果），同時學生用這個數學結論去嘗試解決問題（即用實踐檢驗已提出的數學結論），然后將實踐所得結果與預期結果相比較，在整個實踐過程中產生矛盾，質疑過程與結論，批判思想與方法。試誤逼近的過程就是實踐，問題只有在實踐中才能暴露并被發現。對已暴露和發現的問題，不斷試誤逼近，試解一次就離錯誤遠一步，離正確結論近一步。

（四）評價選擇與信息反饋

評價選擇與信息反饋階段是將上一階段中實踐所得結果與預期結果進行比較，看它們是否一致：若二者一致，則表明問題得到解決，最先提出的數學結論是正確的；若二者不一致，則表明教學中沒有得到正確結論，最先提出的數學結論是錯誤的，此時教師要設計教學活動，促使學生找出二者的差距并重新收集材料，或修改原有數學結論，或建立新的數學結論，然后再實踐、再檢驗，在這個循環反復的過程中不斷排除錯誤。

（五）反思總結與獲得結論

反思總結與獲得結論階段是在經歷前面所有階段的活動后，教師設計活動引導學生對實踐活動進行反思，通過反思學會管理自己的學習，感悟數學知識的獲得過程；教師還需設計活動引導學生將實踐活動中得出的結果與方法用合適的方式進行表達，最終獲得正確的結論。

三、數學批判性思維培養的教學案例

認識二元一次方程組是北師大版教材八年級上冊第五章的章首課內容，而二元一次方程（組）定義是本節的核心概念，也是進一步學習二元方程的基礎課。本研究以單元整體教學視角分析本單元內容（如圖3），以數學批判性思維培養視角設計“二元一次方程（組）定義”的教學。

從教學內容看，在掌握一元一次方程的基礎上，對二元一次方程組進行探究學習，豐富學生對方程的認識；從思想方法看，讓學生從實際問題中抽象出方程和類比一元一次方程知識，學生通過猜測、歸納等多種途徑獲得知識，豐富學生研究方程的方法與思路；從數學核心素養看，讓學生經歷“學習材料與確定對象→發現問題與提出問題→試誤逼近與批判質疑→評價選擇與信息反饋→反思總結與獲得結論”的過程，可以培養學生的數學抽象、數學建模和邏輯推理能力，進而發展學生的批判性思維。

（一）提供材料與確定對象

引入 大家已經學習了一元一次方程的相關知識，那么，我們應該從哪些方面學習二元一次方程組呢？

【設計意圖】建立二元一次方程（組）及其解的概念的方法之一，就是類比一元一次方程的相關知識。復習回顧一元一次方程的知識有助于本節課概念的歸納總結以及研究思路的借鑒，同時為學生學習新知識提供思維基礎和活動經驗。

問題1 列出一元一次方程的過程中，選擇的未知量是什么？另一個量是什么？如何表示另一個量？根據以下題意可以得到怎樣的一元一次方程？（思路見表1）

（1）已知長方形的長、寬之和等于10，長與寬的2倍之和等于12，求長和寬。（古巴比倫泥板書）

（2）已知兩數之和為10，差為4，求這兩數。（丟番圖《算術》）

【設計意圖】從數學發展史上看，二元一次方程組問題和一元一次方程問題幾乎出現得一樣早，歷史上最簡單的二元問題具有如下形式：已知兩個量之和為c1，第一個量的a倍與第二個量的b倍之和（或差）為c2，求兩個量分別是多少？本節課教學從古巴比倫泥板書和丟番圖《算術》中選擇典型問題，對史料中的問題進行重構。這樣的設計符合教學需要：一是促使學生體會面對實際問題如何設元，如何尋找等量關系（自然語言表述），如何列出一元一次方程，培養學生的模型思想；二是促使學生能在提供的真實情境中辨認出本課學習研究的數學對象，經歷數學化活動，進而習得數學思維。

問題2 將問題1兩小題中的另一個量看作未知量，設為y，如何列出方程？（思路見表2）

【設計意圖】學生經歷將一元一次方程轉化為二元一次方程（組）的過程，體會“增元”與“減元”，以及二元方程解決實際問題的相對優越性。問題2滲透“消元”思想，為二元一次方程組解法做鋪墊，同時引導學生確定本節課的學習對象。

（二）發現問題與提出問題

問題3 同學們，表2中列出的是什么方程？你能根據已學知識進行命名和定義嗎？為什么將方程x+y=10叫作二元一次方程呢？什么樣的方程叫作二元一次方程？

在此教學環節中，學生給出的二元一次方程的定義為“含有2個未知數，未知數的次數都是1次的整式方程為二元一次方程”，教師進行板書（如圖4）。顯然，學生得出的二元一次方程的定義是不嚴謹的（教師依據學生結論書寫板書中灰色方框里的內容），即“未知數的次數都是1次”存在問題，學生給出此定義的原因之一是類比了一元一次方程的定義，原因之二是學生個人的感性認識。學生無法看清存在的問題，因此需要教師設計活動，讓學生通過實踐活動不斷試誤，逼近正確的結論。

問題4 上述問題中，x所表示的對象相同嗎？y呢？

例如，在x+y=10和x-y=4中，x，y代表的對象是相同的，就是說x，y同時滿足這兩個二元一次方程，那么把它們合在一起就組成了一個二元一次方程組，可寫為[x+y=10x-y=4]。

問題5 什么是二元一次方程組？

在此教學環節中，學生給出的二元一次方程組的定義為“2個二元一次方程所組成的一組方程”，顯然學生得出的這個結論也是錯誤的。

【設計意圖】通過直接學習二元一次方程的概念，暴露學生在得出二元一次方程組概念時會出現的錯誤。本環節首先讓學生從形式上直觀認識二元一次方程組的概念，得出結論；接下來，教師要設計活動，通過批判質疑來試誤逼近二元一次方程組的概念，并糾正二元一次方程組概念總結中出現的錯誤結論。

（三）試誤逼近與批判質疑（Ⅰ）

問題6 下列方程組中，哪些是二元一次方程組？

①[3x-4z=0x+y=7] ②[xy-y=5x+y=10] ③[x=52x+y=40]．

生：①不是二元一次方程組，因為它含有三個未知數，應該叫作三元一次方程組。

師：非常好，這位同學的遷移能力很強，由二元一次方程組聯想到了三元一次方程組。

生：②也不是二元一次方程組，因為xy-y=5不是二元一次方程，它的xy這一項次數是2次，所以，xy-y=5叫作二元二次方程。

師：非常好，這位同學的遷移能力也很強，但是大家在前面得出的二元一次方程的定義是“含有2個未知數，未知數的次數都是1次的整式方程為二元一次方程”，而方程xy-y=5中含有2個未知數，分別是x，y，且它們的次數都是1次，那么方程xy-y=5應該還是叫二元一次方程才對呀。

此教學環節中，學生利用自己得出的數學結論（二元一次方程的定義）解決問題，將實踐所得結果與預期結果相比較，在實踐過程中產生了矛盾，學生開始批判、質疑前期得出的數學結論。

（四）評價選擇與信息反饋（Ⅰ）

師：上面爭論的問題出在哪里？是習題有問題？還是大家已得出的二元一次方程的定義存在問題？如何修改呢？

生：應該是我們得出的二元一次方程的定義有錯誤，應將“未知數的次數都是1次”改為“含未知數的項的次數都是1次”。

（五）反思總結與獲得結論（Ⅰ）

學生在解決問題6的過程中，發現已得出的二元一次方程的定義存在問題，于是在錯誤結論的基礎上進行修改完善，一起得到二元一次方程的定義為“含有2個未知數，且所含未知數的項的次數都是1次的整式方程為二元一次方程”。

（六）試誤逼近與批判質疑（Ⅱ）

師：大家對問題6中的③存在爭論，若[x=52x+y=40]也是二元一次方程組，則我們已經得出的二元一次方程組的定義就有錯；若我們已經得出的二元一次方程組的定義是正確的，則[x=52x+y=40]就不是二元一次方程組，那應該稱[x=52x+y=40]為什么呢？請大家認真思考，可以討論交流。

生：應該將[x=52x+y=40]稱為二元一次方程組（要不然這類方程組就沒有名字了），我懷疑是我們已總結出的二元一次方程組的定義存在問題。

此教學環節中，學生利用自己得出的數學結論（二元一次方程組的定義）來判斷問題6第③題，將實踐所得結果與預期結果相比較，在實踐過程中同樣產生了矛盾，促使學生開始批判、質疑前期得出的數學結論。

（七）評價選擇與信息反饋（Ⅱ）

師：上面爭論的問題中，有同學質疑大家已得出的二元一次方程組的定義存在問題，那需要如何修改呢？

生：應將“2個二元一次方程所組成的一組方程”改為“一共有2個未知數的2個一次方程組成的一組方程”。

（八）反思總結與獲得結論（Ⅱ）

經過學生的不斷修改完善，最終得到正確的結論“一共有2個未知數的2個一次方程所組成的一組方程，叫作二元一次方程組”，如[x=7y=3]也是一個二元一次方程組。

【設計意圖】借助問題6，引導學生經歷試誤逼近與批判質疑、評價選擇與信息反饋、反思總結與獲得結論的完整過程，最終獲得二元一次方程和二元一次方程組的概念，培養了學生的批判、質疑、思辨能力和嚴謹的學習態度。

四、數學批判性思維培養的教學思考

批判性思維對于創新能力是不可或缺的重要影響因素。我國中學生普遍缺乏質疑精神和對知識的評價選擇能力，在學習過程中容易形成思維定式，過多依賴標準答案，但這不能說明學生天生批判質疑和創新的潛能薄弱，而是與課堂教學、評價標準等息息相關。批判性思維的缺失會導致創新能力的不足，因此，一線教學應該重視學生批判性思維的培養。

（一）為學生提供獨立發現、獨立思考的機會

真理的發現總是從矛盾和問題開始，問題是真理發現的出發點。解決問題僅僅是實踐技能而已，而發現新問題、提出新問題卻需要創造性的想象力。學生擁有豐富的、合乎實際的感性材料，才會有思維加工的對象，才有可能產生一系列思維活動。因此，批判性思維培養的首要任務是教師在教學實踐中為學生提供真實材料，設計活動引導學生對材料進行去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的思維加工，為學生在實踐活動中獨立發現問題、提出問題提供機會，提升學生用數學的眼光看世界的能力。

（二）為學生創設試誤逼近、批判質疑的過程

真理是在實踐過程中通過試誤逼近而被發現的，試誤逼近是真理發現的途徑之一，是一個實踐過程，也只有在實踐的過程中才能完成試誤逼近。同時，實踐過程中必定出現觀念不一致、主客體之間爭辯和批判質疑等情況。為此，批判性思維的培養需要教師在教學實踐中精心創設試誤逼近、批判質疑的教學活動，可行的辦法是用認識指導實踐，如用初步獲得的二元一次方程（組）的定義去試解問題，看看是否促使實踐的發展，問題是否得到解決。如果不能解決問題，則證明原有認識或已得數學結論是錯誤或者局部錯誤的，需要重新認識對象，甚至修改原有的數學結論，再通過不斷的教學活動排除錯誤，如此循環反復，最終獲得正確結論。試誤、質疑的實踐活動培養了學生的批判質疑的科學態度，提升了學生用數學思維思考世界的能力。

（三）為學生預留探討問題、反思總結的時間

真理的獲得過程中，人腦進行著反復的評價、比較和選擇的操作，甚至會經歷好幾次的試誤、失敗，進而從失敗的多條途徑中找到正確的方法，最終獲得正確的結論。經歷這樣的教學活動必定需要花費一定的時間，為此，批判性思維的培養需要教師在教學實踐中優化教學內容和教學活動，不僅要為學生經歷完整的、有效的試誤逼近、批判質疑的學習活動提供充足的時間，還要注意預留探討問題、反思總結的時間。

參考文獻：

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［3］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022：6．

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［7］顧春明. 論波普爾的“四段圖式”［J］. 社會科學輯刊，1998（4）：9-12．

［8］弗賴登塔爾. 數學教育再探：在中國的講學［M］. 劉意竹，楊剛，等譯. 上海：上海教育出版社，1999．

（責任編輯：潘安）

【作者簡介】張東年，一級教師，主要從事數學史與數學教育研究；賈隨軍，教授，浙江省中青年學科帶頭人，美國特拉華大學訪問學者，主要從事數學課程與教學論研究。

【基金項目】甘肅省教育科學“十四五”規劃2023年度課題“基于新課標的數學中考試題情境量化分析與命題策略研究”（GS〔2023〕GHB0633）