問題引領　整體建構　落實素養

[摘? 要] 數學教學應以“促進學生的數學學習與發展”為出發點，重視學生自主學習能力的提升和數學核心素養的落實. 在實際教學中，教師應重視知識的整體關聯，結合教學實際設計一些開放性、探究性的問題，引導學生經歷數學知識的形成過程和建模過程，從而提升教學實效，落實學生的數學核心素養.

[關鍵詞] 問題引領;整體建構;學習與發展;數學核心素養

學習是一個不斷積累、主動建構的過程. 數學教學應打破機械“灌輸”的模式，著眼于整體和全局，應引導學生關注知識之間的內在聯系，從而逐步建構完善的知識結構和體系，應讓學生獲得對數學知識本質的理解，培養他們終身學習的能力. 筆者在教學“解直角三角形”時，通過由淺入深的問題引導學生逐層探究，彰顯數學的內在聯系，讓學生的直觀想象、數學抽象、邏輯推理等能力在聯系、遷移、交流中得到了較大提升，現將教學過程整理成文，供參考，若有不足，請指正.

教學背景分析

1. 學情分析

通過前一節課的學習，學生已經知曉直角三角形中的兩個銳角互余，并能靈活應用勾股定理解決相應的與邊有關的問題. 本節課作為“解直角三角形”的第二課時，旨在通過對舊知的延伸與完善，讓學生將邊與角建立聯系，從而促進思維的生長.

2. 教學目標

（1）理解和掌握解三角形的必要條件和方法;

（2）通過“割補”的方法將四邊形問題轉化為三角形問題，并利用解直角三角形經驗解四邊形;

（3）感悟轉化、分類討論、數形結合等數學思想方法的價值，優化認知結構，逐漸建立個體認知體系.

3. 教學重、難點

（1）掌握解直角三角形和解斜三角形的必要條件和方法.

（2）知識體系框架的建構及數學模型的建立.

教學過程

1. 新舊聯系，激發探究欲

問題1：如圖1所示，AB=6，∠B=30°，過點A作AC⊥BM，垂足為C. 你能解這個直角三角形嗎？

追問1：解直角三角形至少需要幾個條件？

預設：至少需要兩個條件.

追問2：是任意兩個條件都可以嗎？

預設：其中一個條件必須是邊.

追問3：解直角三角形時，一般涉及哪些知識和方法？

預設：勾股定理、銳角互余、銳角三角函數等.

教學說明通過舊知回顧并總結解直角三角形的相關知識與方法，為新知探究做好鋪墊. 同時，通過有效追問引發學生進行深度思考，從而提升教學實效.

2. 合作探究，提煉模型

問題2：如果過點A的直線與射線BM相交但不垂直，那么交點C可能在哪里呢？

預設：點C可能在垂足的左側或者垂足的右側.

教學說明通過探究點C的不同位置，實現由直角三角形到斜三角形的轉化.

問題3：如圖2所示，AB=6，∠B=30°，在射線BM上任取一點C，使△ABC是斜三角形. 根據現有條件，是否可以解這個斜三角形呢？如果不可以，是否可以添加一個角這一條件呢？

預設：點C在垂足的左側時，∠A為銳角;點C在垂足的右側時，∠A為鈍角.

教學說明問題3是一個開放性問題，解決方法較多. 教學中，教師應著重引導學生進行方法梳理，使學生的思維從無序變有序，從而提高學生的思維水平. 為了計算方便，教師應啟發學生添加一些特殊角，如15°，30°，45°，75°，120°，135°等.

問題4：以45°角和135°角為例，你能構造出怎樣的三角形？這些斜三角形能解嗎？

預設：學生通過思考與交流，得到如圖3～圖6所示四個斜三角形.

教學說明圖3和圖4是添加∠C的度數. 添加∠C的度數后，已知條件為兩角與其中一個角的對邊，于是過點A作射線BC的垂線便可構造兩個直角三角形，而所構造的直角三角形有已知邊，可以求解. 圖5和圖6是添加∠A的度數，已知條件為兩角及夾邊，于是過點C作AB的垂線，所構造的直角三角形中沒有已知邊，但可以設其中一條邊的長為x，利用方程的思想方法來求解.

問題5：是否可以通過添加三角函數或添加邊等條件來解斜三角形呢？

教學說明引導學生與添加角的方法進行類比，通過多角度分析讓學生掌握解決此類問題的策略. 同時，通過經歷操作、反思、類比等過程進一步體會轉化、數形結合、分類討論等思想方法，提高學生的思維水平. 在探索以上問題的過程中，教師要引導學生從特殊條件出發，如添加BC的長度為8，AC的長度為3，tanC=等條件，通過降低運算難度來提供更多思考空間，從而提升學生的解題信心.

問題6：如果只給出斜三角形三條邊的長度，那么這個斜三角形是否可解呢？例如，已知△ABC三條邊的長分別為13，14，15，如何解△ABC呢？

教學說明結合以上解題經驗，學生會主動構造直角三角形，通過設其中一條邊為x，運用方程的思想方法分別求出所構造的直角三角形的各邊，并結合三角函數求出各角的度數.

問題7：說一說你掌握了哪幾種添加條件的方法，在解斜三角形的過程中分別用了哪些方法.

教學說明引導學生反思回顧，歸納解斜三角形的必要條件，體會化斜為直數學思想方法的重要價值. 在此基礎上，教師可以引導學生構造“背靠式”和“疊合式”兩種雙直角三角形的基本模型（如圖7所示），為后期的靈活應用打下堅實的基礎.

3. 活學活用，鞏固新知

例1：如圖8所示，在四邊形ABCD中，AB=6，∠B=60°，BC=8，AD=4，CD=2，∠D=135°，求四邊形ABCD的面積.

教學說明四邊形ABCD為一個不規則的四邊形，要求出四邊形ABCD的面積，需要將四邊形進行“割補”，將其轉化為若干個可以求解的三角形，最終計算出不規則四邊形的面積. 分析發現，例1可通過分割的方法構造出如圖9所示若干個直角三角形，并通過求直角三角形的面積最終求出四邊形ABCD的面積.

例2：如圖10所示，在四邊形ABCD中，AB=6，∠B=30°，∠A=∠C=90°，CD=2，求四邊形ABCD的面積.

教學說明已知∠A=∠C=90°，∠B=30°，利用分割的方法會破壞這些重要的信息，從而使運算復雜化，因此，求解該題時應采用補全法，通過添加輔助線構造特殊的直角三角形，如圖11所示.

在新知探究階段，學生已經積累了豐富的解題經驗，為了檢測學生的知識掌握情況和思維發展水平，教師一改往日簡單、機械、重復的練習，給出了更具探究性的四邊形問題，引導學生通過“補全”和“分割”的方法將問題向熟悉化、簡單化轉化，這樣既促進了新知的鞏固，又讓學生在逐層探究中理解了問題的本質，提高了應用水平.

4. 課堂小結，完善結構

問題8：請大家回顧本節課所學的內容，說說你有哪些收獲、哪些疑惑.

教學說明該環節以小組合作交流的方式進行，讓學生通過對“獲”與“惑”的思考，逐步優化認知結構，建構完善的知識框架圖，從而使學生的思維更加清晰化、深刻化，并提高學生的學習品質.

1. 以聯系為核心，完善知識體系

在本節課教學中，教師從學生已有認知出發，通過一個開放性的圖形幫助學生復習、鞏固“雙基”;然后引導學生改變交點C的位置，在化斜為直的轉化中幫助學生積累豐富的解題經驗;接著，將三角形問題拓展到四邊形中，讓學生通過對四邊形問題的研究進一步強化對新知的理解. 在以上教學活動中，由易到難、由淺入深的探究，能讓學生的思維螺旋上升，實現思維自然生長. 同時，在此過程中，教師引導學生進行知識的梳理與歸納，并帶領學生感悟知識之間的內在聯系，讓學生逐漸將新知內化至原有知識體系中，以此逐漸完善認知體系.

2. 以問題為主線，提高教學效率

教學中，教師精心研究教學、研究學生，以學生已有認知為起點，以發展學生為目標，結合教學設計精心設計問題，讓學生在問題的解決中積累學習經驗，提煉數學思想方法，提高教學有效性. 本節課以直角三角形為載體，通過由淺入深的問題激發了不同層次學生的探究欲，使學生的思維更活躍，課堂更高效.

3. 以學生為主體，提升學習能力

在本節課教學中，教師以問題為主線引導學生積極探究，充分調動了學生參與課堂的積極性，發揮了學生的主體性，提高了學生的自主探究能力. 例如，在解斜三角形的過程中，教師先啟發學生添加一個角，然后引導學生運用類比添加邊、三角函數等條件，使學生的思維不斷縱深，從而提升學習能力.

總之，在課堂教學中，教師要少一些“灌輸”，要引導學生通過自主探究發現數學的本質，感受數學思想方法的魅力，提升學生的數學建模能力，落實學生的數學核心素養.

作者簡介：鄭燕穗（1981—），本科學歷，中學高級教師，從事初中數學教學與研究工作，廣東省中小學“百千萬人才培養工程”初中理科名教師，汕尾市中小學名教師工作室主持人.