用關鍵能力的發展引領初中數學學程設計

[摘? 要] 關鍵能力的發展與數學學程設計是目標與過程的關系，明確了這一關系，也就意味著學程設計的目標一定是關鍵能力的發展，而關鍵能力的發展也就自然成了初中數學學程設計的出發點與依據. 用關鍵能力的發展來引導初中數學的學程設計，無論從理論的角度來看，還是從實踐的角度來看，都有著強大的生命力. 站在學生的角度看這一觀點，會發現兩者之間有著良好的吻合關系和互相促進的關系.

[關鍵詞] 初中數學;學程設計;關鍵能力

當前初中數學教學最主要的任務之一，就是幫助學生發展核心素養. 核心素養是指學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力. 很顯然，必備品格是指向學生精神層面的，與之相關的更多的是非智力因素;關鍵能力則是指向學生的認知層面的，與之相關的更多的是智力因素. 作為具體的學科教學，應當夯實關鍵能力培養的基礎，然后在關鍵能力的形成過程中發展學生的必備品格. 既然關鍵能力的培養是基礎，那么對于初中數學學科來說，自然就要堅持關鍵能力的教學導向.

如果說發展學生的關鍵能力是數學教學的目的的話，那么要實現這一目的，就必須有相應的教學過程. 尤其是課程改革以來，初中數學教學進行了諸多的研究，形成了不少教學流派，在這些流派當中，立足學程設計來優化學生的學習過程，是一個非常有效的思路. 在關鍵能力提出前，立足學程設計可以讓學生的數學學習過程超越以往，且取得較好的教學效果. 在明確了關鍵能力應當作為核心素養背景下初中數學教學的目標導向時，就應當用關鍵能力的發展來引領初中數學學程設計的進程.

根據核心素養以及關鍵能力的概念層次關系可知，后者是前者的下位概念. 很自然地，數學學科的關鍵能力是學科核心素養的重要組成部分. 有研究者指出，當前兩個需要解決的問題是：（1）如何將關鍵能力培養落實到教學中去;（2）如何評價學生的關鍵能力[1]. 對于初中數學教學而言，針對前一個問題，實際上可以用學程設計作為答案;針對后一個問題，筆者以為可以借鑒其他學段對數學學科核心素養的界定來進行回答，也就是將數學抽象、邏輯推理以及數學建模等要素作為關鍵能力的評價指標. 反之，以關鍵能力的發展來引領初中數學教學的學程設計，也可以將這些要素作為具體的評價指標.

基于上述分析，筆者以“角的平分線的性質”為例，談談如何運用關鍵能力去引領初中數學學程設計的開展，并在此過程中認識關鍵能力引領初中數學學程設計的意義.

關鍵能力的發展是初中數學

學程設計的依據

如同上面所指出的那樣，關鍵能力的發展與數學學程設計是目標與過程的關系. 明確了這一關系，也就意味著學程設計的目標一定是關鍵能力的發展，而關鍵能力的發展也就自然成了初中數學學程設計的出發點與依據.

這里首先要對學程設計有一個基本的理解. 在學程設計所屬的教學流派里，學材開發和學程設計是數學結構化教學中非常關鍵的兩個環節，它們特別強調從真實情境中來，到真實問題中去（事實上這也是初中數學教學的基本原則，其匹配初中學生的認知特點，能夠讓學生在真實情境的感知以及真實問題的解決中建構數學知識及其體系）. 因此在具體的教學中，教師要注意組織基于真實情境的學習過程，聚焦數學本質;開發動靜結合的學習材料，助力學生突破學習難點;呈現元素聯結的變式材料，開闊學生的數學視野[2]. 所說的實際上都是學程設計的基本方法，通過這些方法可以發現，一個有效的數學學程，就是一個科學的數學知識演繹的過程，同時也是適合初中生建構數學知識的過程. 一個有效的學程設計，一定要考慮知識發生的情境——這意味著教師必須開發相應的課程資源;要考慮知識發生的過程——這意味著教師必須在把握學生認知規律的基礎上，設計出滿足初中生數學知識建構需要的學程，事實上這也是學程設計的核心環節;要考慮知識建構的結果——這意味著教師必須有相應的評價體系來評價所設計的學程是否契合學生的需要.

那么，用關鍵能力的發展來引領數學學程設計，又必須建立怎樣的邏輯關系理解呢？其中的邏輯關系其實很簡單：數學教學的目的是什么？除了幫助學生積累相應的知識，以形成解題能力外，很重要的一點就是發展學生的能力. 既然核心素養提出了關鍵能力的概念，數學教學的主要目的自然也就是發展學生的關鍵能力，即上面提到的數學抽象能力、邏輯推理能力以及數學建模能力等. 進行學程設計的時候，教師將大量精力聚焦其中，自然是為了發展學生的關鍵能力. 那么分析得細致一點，初中數學學程設計就要圍繞數學抽象能力、邏輯推理能力以及數學建模能力等來展開. 分析到這里，數學學科核心素養的組成要素就與學生設計很好地匹配在一起，從而形成了一對自洽的因果關系.

基于關鍵能力發展的初中數學

學程設計例析

當前對于關鍵能力的培養，已經有了不少的研究成果，有研究者聚焦學生數學關鍵能力的發展，提出了教學改進實施的基本路徑，即前測定位，教學診斷，活動設計，課堂研究，師生訪談，教師反思及后測評估[3]. 從這樣的程序來看，關鍵能力的發展是一個系統過程. 當然，在具體的實踐過程中，這些環節也未必要面面俱到，應當結合學生的認知實際以及教學內容，設計出更符合學生需要的學習進程，這實際上也就是學程設計.

以“角的平分線的性質”為例，從知識的角度來看，這一內容的教學當然是為了讓學生掌握并理解角的平分線的性質;那么從能力尤其是關鍵能力的角度來看，這一內容的教學在不同程度上涉及數學抽象、邏輯推理以及數學建模等.

具體說，“角的平分線”這一概念對于學生來說是很容易建構的，即使不經過任何實物模型，學生也能夠從字面上認識到“角的平分線”就是“平分角的線”，從而在大體上建構出角的平分線的表象——當然這也是對于大多數學生而言. 少部分學生仍然存在一定的理解障礙，所以在實際教學的時候，仍然有必要借助實物模型來教學——這就是學程設計第一個要注意的地方. 這里會涉及數學學科核心素養中的數學抽象，而這是關鍵能力培養的第一個環節.

與此同時，應當注意到的是，即使絕大多數學生能夠憑著直覺理解“角的平分線”，但是對于“角的平分線的性質”的理解就容易出現困難. 其直接原因在于，絕大多數初中生對于“性質”這一概念是陌生的，是感覺到抽象的. 即使學生此前學過其他的“性質”，在這里依然無法憑著已有的知識反應出“角的平分線的性質”為何物. 這也就意味著教師進行學程設計時，應當想方設法突破這一難點. 此處既涉及學生的直觀想象，也涉及邏輯推理，是關鍵能力發展的核心環節.

最后還應當注意的是，對于“角的平分線的性質”的描述，會有一個從學生樸素理解到專業的數學表達變化的過程. 這個過程其實不只是數學知識的積累，更是一個數學模型建立的過程——數學模型原本就是一個寬泛的概念，除了實物模型外，數學概念、規律、性質等，凡是能夠讓學生直接拿來運用的判斷，都可以稱為數學模型，這些概念、規律、性質的建立過程，也都可以認為是數學建模的過程. 有了這樣的認識去設計學程，那么以數學建模為表征的關鍵能力的培養就有了基礎.

基于上述分析，“角的平分線的性質”這一內容的學程設計，就可以包括如下幾個環節：

其一，借助平分角的儀器實物，讓學生在闡述原理的過程中建立起對“角的平分線”的認識.

這個過程中有一個核心環節，就是圖1中“點A與C的連線即∠A的平分線”——這里涉及數學抽象，考慮到其體現得比較明顯，因此不再贅述. 這個環節不僅可以幫助所有學生形成角的平分線的表象，還可以幫助學生拓展其后的探究空間，即讓學生知道這種作一個角的平分線的方法背后隱藏著一定的道理.

其二，探究“角的平分線的性質”.

這個環節的核心，其實是將平分角的儀器中的DC和BC兩條任意邊變成“距離”（即垂直于∠A兩條邊的線段）. 這實際上是一個從一般到特殊的過程，伴隨著的是演繹推理. 因此這樣一個環節的關鍵能力的培養，主要是指向邏輯推理. 在邏輯推理的過程中，所借用的數學工具主要是全等三角形，“角角邊可證三角形全等”“全等三角形的對應邊相等”是兩個基本的邏輯關系.

其三，建立“角的平分線的性質”模型認知.

這個模型認知是在“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”這一判斷的基礎上建立的. 這句話看起來簡單，但其內容以及邏輯卻非常豐富：“線”不是任意的線而是角的平分線;“點”是任意的點，只要在角的平分線上即可;“距離”實際上是角的平分線上的點到角兩邊的垂線段的長度，這個長度只要滿足前面的條件，那么其結果就是“相等”的. 這樣一分析就可以發現其中的內涵非常豐富，邏輯關系也非常清晰. 當學生理解了這些后，也就能形成清晰的模型認知.

后續的教學實踐表明，當教師為學生設計了這樣一個詳細的學程，且學生經歷了這些學程后，上面所確定的關鍵能力的培養指向就可以得到明確. 反過來也說明，用關鍵能力的發展來引導學程設計，確實可以讓學生經歷一個符合自身認知特點的學習過程.

關鍵能力的發展與初中數學

學程設計的互促

從上面這個例子的分析可以發現，用關鍵能力的發展來引導初中數學的學程設計，無論從理論的角度來看，還是從實踐的角度來看，都有著強大的生命力. 特別值得一提的是，如果站在學生的角度看這一觀點，會發現兩者之間有著良好的吻合關系和互相促進的關系.

這里重點談一下互相促進關系. 首先必須指出的是，這種互相促進關系是初中數學教學所追求的理想狀態，試想當學生的學習既能夠經歷有效的學習過程，又能夠實現關鍵能力的發展時，這是一種多么理想的課堂狀態. 實際上從上述案例確實可以發現，當教師致力于用關鍵能力的發展去引導初中數學學程設計的時候，所設計出來的學習環節都有著明確的核心素養發展的指向，這就使得教師乃至學生都可以帶著明確的目的去進行教與學;反之，有了符合學生認知規律的學程設計以及實施，那么以數學學科核心素養組成要素為表征的關鍵能力就可以得到切實而有效的培養. 而且，無論是關鍵能力的發展還是學程設計，它們都有一個共同的目標，那就是學生——關鍵能力是學生擁有的關鍵能力，學程是學生體驗的學習過程，當這兩者融合在一起的時候，就是科學的學習過程與科學的學習目標完美結合的時候. 因此從這個角度來看，用關鍵能力的發展引領初中數學學程設計，意味著良好教學形態的打造.

由此進一步思考關鍵能力發展引領初中數學學程設計，就可以給核心素養背景下的初中數學教學帶來一個有益的啟示，那就是教師要同時關注教學目的與過程，要保證兩者之間真實匹配（反觀教學實際可以發現，很多教師書寫的教案上，教學目標往往是拿來主義的產物，學程設計往往是經驗主義的產物，兩者之間的匹配關系并不明顯）. 核心素養是當下初中數學教學的最大背景，關鍵能力的發展是初中數學教學最核心的目標，要實現關鍵能力的發展，唯有經歷切實有效的學習進程，所以用關鍵能力的發展引導數學學程設計，顯得尤為迫切與必要.

總而言之，在數學教學中，為了使教學生成的理念得到有效落實，必須轉變傳統的剛性、靜態的封閉型教程設計觀，樹立彈性、動態的開放型學程設計觀[4]. 而關鍵能力的發展，就可以幫助教師形成這樣的學程設計觀.

參考文獻：

[1]鄭輝龍，林祥華，溫海英. 初中數學關鍵能力水平標準的研制與應用系列——數學建模能力水平標準的研制與應用[J]. 福建教育，2020（19）：45-48.

[2]孫謙. 數學結構化教學的學材開發與學程設計——以“分數的意義”的教學為例[J]. 江蘇教育，2021（35）：12-14.

[3]曹一鳴，王振平. 基于學生數學關鍵能力發展的教學改進研究[J]. 教育科學研究，2018（03）：61-65.

[4]李祎. 基于教學生成的數學教學設計[J]. 天津師范大學學報（基礎教育版）， 2006（03）：65-68.

基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規劃2021年度立項重點課題“指向學科關鍵能力的初中數學學程設計研究”（c-b/2021/02/55）.

作者簡介：周維（1983—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數學教學工作.