可視化視角下的數學解題教學

張文亭

摘 要：函數與導數的零點問題是函數教學與學習中的難點所在，借助可視化視角，有助于學生更好地理解函數圖象的變化，快速獲得解決問題的突破口.以函數與導數的零點問題的教學目標與教學案例分析為例，進一步闡明可視化視角下數學解題教學要不斷引導學生逐步樹立借助可視化的場景更好地分析數學問題、解決數學問題的意識；在課堂教學中要不斷鼓勵學生自主嘗試借助可視化方法處理數學問題，以不斷積累數學基本活動經驗.

關鍵詞：高中數學；可視化；導數；零點問題

所謂數學可視化，是指數學教學中師生思維的可視化，即在數學教學中，通過某種方式，將內隱在師生頭腦中的思維過程外顯出來，使得抽象的知識圖象化、知識建構直觀化、隱性知識顯性化、解題規律模型化、零散知識系統化、核心知識發散化.與此同時，高中數學主要考查學生對問題的分析、解決能力.學生掌握數學知識和理論需要通過解題、解決數學問題來加以實踐，教師也可以通過學生的問題解決來檢驗學生的學習和掌握情況.鑒于以上認識，若能在高中數學解題教學中最大程度地將思維過程外顯，對學生數學的學習與數學問題的解決都有很大幫助.函數部分一直是高中學生在數學學習中的難點所在，甚至成為很多學生數學學習進程中一道始終過不去的坎.函數的難度主要體現在圖形的變化與參數的處理上，在教學中，可以借助可視化的思路去處理函數的單調性、零點等問題，有助于幫助學生更好地理解函數圖象的變化，快速獲得問題解決的突破口.

筆者一直在數學解題教學中努力踐行“數學可視化”的方式，也取得了較好的教學效果，現以高中數學“函數與導數的零點問題”為例談談自己的做法.

1 可視化教學視角下函數與導數的零點問題的教學目標

教師打造可視化的教學視角引導學生建立數形結合的思維去思考、解決函數單調性問題、分析判斷零點個數的問題等，以便于學生在面對導數的函數零點問題的時候能夠快速整理出解題的關鍵點和思路，梳理出解題脈絡.

在高中數學知識體系中，與導數有關的函數問題是比較常見的問題，這類題目的特點是題型變化多、考察的知識面廣、對學生的知識綜合分析應用的能力要求高.與導數相關的函數問題在題目設計時經常會和函數問題、不等式問題、方程等相關知識點相融合，可以全方位地考量學生對知識的掌握情況.面對復雜多變的函數問題，使用導數這一解題思路是非常有效的工具，借助導數解題思路，學生能夠快速地掌握函數單調性并判斷出零點的存在性和零點的個數，但是學生容易在導數分析判斷的過程中出錯，此時，教師引導學生通過可視化的方式、利用數形結合的思維方式獲得相關的解題方法，將導數、函數零點以及函數圖形巧妙地結合在一起，調整解題思路，優化解題方法，總結出有效的解題模式和分析思路.

2 可視化視角下函數與導數的零點問題的教學案例

基于可視化的視角，教師在課堂講解函數系統的時候，可以以經典例題作為案例，引導學生梳理解題的思路，構建簡單的思維導圖，逐步培養學生的可視化思維，讓學生能夠在課堂中高效吸收正確的解題思路.以下通過三個例子進一步闡明如何應用可視化視角幫助學生解決函數零點的問題.

案例1：教師講解例題：“若關于x的方程ln x=mx在（1，+∞）上有兩根，求m的取值范圍.”學生在解決這一問題時，對含參的方程問題比較難以入手，這時教師就可簡單地幫學生回憶函數的方程問題可以轉化成圖像的交點問題，并一步步引導學生將問題轉化，繪制出思維導圖，見圖1：

思維導圖能將學生零碎的、不完整的想法具體化，知識更加系統化、結構化.并且此時復雜的導數問題就可以轉化成熟悉的零點問題.因此，運用思維導圖解決導數的零點問題是一種符合高中學生認知結構的認知方式.與此同時，在接下來的問題處理中，讓學生繪制了具體函數的圖像，讓學生在圖像上找答案.通過可視化的場景，教師讓學生更為直觀地觀察函數的變化趨勢，通過“放縮”的方式讓本題的解答更加順利.學生在可視化的圖像中能夠順利地將困難的不等式轉化為簡單、易解的不等式，進而建立整體分析布局的思路，這一解答的過程有助于鍛煉學生的綜合解題能力，使得學生在面對抽象的函數零點問題時有了新一步的方向與思路.

案例2：在課堂講解例題：“若a^x=x²在（1，+∞）上有兩個解分別是m和n，求a的取值范圍.”在分析這一題目的時候，解題的關鍵條件比較少，學生難以第一時間整理出解題的思路，此時教師在引導學生思考的時候可以利用軟件在多媒體設備上展示函數圖像，模擬隨著a的取值范圍變化時函數圖像的變化情況，如圖2所示：

在函數圖像中，教師利用信息技術模擬了隨著參數a的增大，函數y=a^x的圖像變化情況，函數圖像圍繞著點（0，1）作逆時針旋轉的動態規律，學生可以直觀地觀察函數圖像變化的情況，通過觀察總結函數圖像動態變化的規律，并觀察a^x=x²在（1，+∞）上的交點個數.基于動態地演示，學生不難觀察到當a的數值趨向于1的時候，函數y=a^x，y=x²的函數圖像相交，隨著a的數值增大，兩函數從相交的狀態逐漸切換成了相切的狀態，再隨著數值a的繼續增大，兩個函數的圖像完全沒有交集，呈現出相離的狀態.基于這一可視化的動態過程，教師引導學生了解函數圖像的變化和本題的解題方向，列出本題的解題方向，當數值a處于（1，t）的范圍時，y=a^x，y=x²的函數圖像相交，t為兩個函數圖像的相切的位置，由此可以整理出本題的解題步驟：

這一解題方案的計算過程更少，繪制出的可視化模型和圖像更為簡單，缺少動態的函數圖像演變以及演示的過程，對于函數的零點定理的應用更為徹底.對于高中生來說，在面對類似的數學問題時，即便沒有信息技術的輔助，學生也能夠很好地整理出解題思路，快速、正確地得出結果.

“放縮”是函數零點問題中的一大難點，在實際畫圖的過程中學生可能需要多次的嘗試才可以找到理想的位置.為此，教師在為學生梳理零點問題的時候，需要引導學生理解“放縮”的關鍵.

3 可視化視角下數學解題教學的教學思考

面對抽象的函數問題，數學問題中列出的已知條件較少，學生通過讀題、分析題干的方式往往難以找到解決問題的突破口，此時采用構建可視化的場景，利用數形結合的思維能夠幫助學生更好地分析解題思路，輔助學生提高數學問題解題效率和正確率，有助于高中生建立分析處理函數零點問題的信心.借助可視化視角進行數學解題教學不僅可以幫助學生獲得問題更為感性的認識，如對圖像的觀察、圖像動態的變化規律，同時也利于學生在可視化場景中獲得解題的方向與靈感.因此，利用可視化的方法開展高中數學解題教學能在一定程度上提升數學解題教學的有效性.筆者認為，在借助可視化視角開展高中數學解題教學還應聚焦以下兩個方面：

第一，引導學生逐步樹立借助可視化的場景更好地分析數學問題、解決數學問題的意識.教師在數學課堂教學中應不斷強化可視化的方法在解題中的應用與價值.只有通過不斷地強化，學生才能逐步地梳理利用可視化方法開展解決問題的意識，才能使方法的應用成為可能.

第二，在課堂教學中要不斷鼓勵學生自主嘗試借助可視化方法處理數學問題，以不斷積累數學基本活動經驗.在利用可視化的模型來分析和解決數學問題時，教師要把課堂還給學生，鼓勵學生減少復雜的計算，而要多思、多想，不斷積累數學解題的基本活動經驗.數學活動經驗是學生學習數學的重要載體，良好的數學活動經驗的獲得必定對學生后續的數學解題活動奠定良好的基礎.

4 結束語

新高考命題下的解題教學要以學生的思維活動為核心，以學生主動探究為目標，以學生的自主訓練為主導，這樣的課堂才能有效地提高學生的數學解題水平，激發學生解題興趣，幫助學生不畏懼困難的問題，以更好地突破考試難點.可視化的教學方式是這種課堂模式的良好載體和重要服務工具.教師要不斷地研究探索，不斷創新自己的思維，將數學問題加以分解，以直觀形象的圖像、思維導圖來促進學生抽象思維的發展.

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