導(dǎo)向深度學(xué)習(xí)發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

陳興長

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育是數(shù)學(xué)教育需要關(guān)注的問題.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的一種體現(xiàn)，它實(shí)際是數(shù)學(xué)學(xué)科的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn).而深度學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)過程不僅僅是為了解決具體的問題，更是為了建立對問題本質(zhì)的深入理解.它是一種建立在學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的問題發(fā)現(xiàn)與探究，是在識記與理解基礎(chǔ)之上地對知識的綜合運(yùn)用與創(chuàng)新.深度學(xué)習(xí)作為一種強(qiáng)大的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，可以通過其學(xué)習(xí)過程來培養(yǎng)和發(fā)展核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)；核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

深度學(xué)習(xí)對課堂教學(xué)的影響日益深遠(yuǎn).深度學(xué)習(xí)（Deep learning）也被翻譯成深層學(xué)習(xí)，美國學(xué)者Ference Marton和Roger Saljc，于1976年發(fā)表的《學(xué)習(xí)的本質(zhì)區(qū)別：結(jié)果和過程》中首次提出了深度學(xué)習(xí)概念.我國學(xué)者黎加厚認(rèn)為，深度學(xué)習(xí)是指在理解的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判性地接受新的思想和事實(shí)，并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，與眾多思想進(jìn)行關(guān)聯(lián)，并能夠?qū)⒁延械闹R遷移到新的情境中，做出決策與解決問題的學(xué)習(xí).^［1］

當(dāng)前，學(xué)習(xí)科學(xué)視域下的深度學(xué)習(xí)更強(qiáng)調(diào)高階思維能力的培養(yǎng)，注重學(xué)習(xí)過程的問題解決，需要學(xué)習(xí)者較高的元認(rèn)知能力.通過核心關(guān)鍵詞與代表性文獻(xiàn)分析結(jié)果可以看出：國外主要是運(yùn)用實(shí)證研究分析深度學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)方式與評價(jià).而目前國內(nèi)對于深度學(xué)習(xí)過程與評價(jià)關(guān)注較少，更難有代表性的實(shí)證研究成果.因此，我們應(yīng)重點(diǎn)分析研究深度學(xué)習(xí)的過程與評價(jià).借鑒國外的研究設(shè)計(jì)，更加深入分析與研究其內(nèi)在認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力.^［2］

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中必須具備的基本能力和關(guān)鍵概念.它包括數(shù)與量的理解和運(yùn)算能力，數(shù)據(jù)分析和應(yīng)用能力，幾何與空間的認(rèn)知和問題解決能力，變量與關(guān)系的建立和求解能力，以及概率與統(tǒng)計(jì)的理解和應(yīng)用能力.通過提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展批判性思維與創(chuàng)新思維，更好地理解數(shù)學(xué)概念，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題.

深度學(xué)習(xí)為學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供了新的工具和方法，同時(shí)也對學(xué)生的創(chuàng)新思維和問題解決能力提出了更高的要求.學(xué)生通過學(xué)習(xí)和應(yīng)用深度學(xué)習(xí)，可以更好地理解數(shù)學(xué)概念與方法，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析和模型建立的核心素養(yǎng)，同時(shí)也能夠應(yīng)對日益擴(kuò)大的深度學(xué)習(xí)應(yīng)用領(lǐng)域的挑戰(zhàn).采用深度學(xué)習(xí)法對學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要有以下幾點(diǎn)作用.

1 深度學(xué)習(xí)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用

1.1 深入理解數(shù)學(xué)概念和原理

深度學(xué)習(xí)方法注重學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和原理的深入理解，而不是簡單的記憶和應(yīng)用.通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究和發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)他們的探索精神和批判性思維，促進(jìn)他們對數(shù)學(xué)概念的深刻理解和洞察力.這有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)形成穩(wěn)定的概念框架，建立起堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

1.2 培養(yǎng)數(shù)學(xué)問題解決能力

深度學(xué)習(xí)方法鼓勵學(xué)生主動思考和探究，并在解決實(shí)際問題和探究性任務(wù)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決問題的能力.讓學(xué)生學(xué)會分析問題、提出猜想、實(shí)施計(jì)算和驗(yàn)證結(jié)論，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)建模、推理和證明等核心素養(yǎng).

1.3 強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)造性思維

深度學(xué)習(xí)方法通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)造性思維能力，鼓勵他們嘗試多種解決方案、開展推理論證和進(jìn)行創(chuàng)新性思考.這有助于學(xué)生培養(yǎng)靈活性思維習(xí)慣和創(chuàng)造性問題解決能力，進(jìn)一步提高他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.4 實(shí)踐與應(yīng)用數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)

深度學(xué)習(xí)方法倡導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)踐問題中，培養(yǎng)他們的實(shí)踐與應(yīng)用數(shù)學(xué)能力.通過項(xiàng)目驅(qū)動的學(xué)習(xí)、概念實(shí)踐和數(shù)學(xué)建模等教學(xué)策略，學(xué)生可以運(yùn)用深度學(xué)習(xí)的方法和技巧，將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際問題的解決過程中，提高他們解決實(shí)際問題的能力和實(shí)踐操作的技能.

1.5 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)創(chuàng)新和研究精神

深度學(xué)習(xí)方法注重學(xué)生的主動學(xué)習(xí)和自主探索，鼓勵他們發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想和開展數(shù)學(xué)研究.這有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新和研究精神，激發(fā)他們對數(shù)學(xué)的興趣和探索欲望，進(jìn)一步發(fā)展他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

可見采用深度學(xué)習(xí)方法對于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要意義.這種方法能夠促進(jìn)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念和原理，培養(yǎng)數(shù)學(xué)問題解決能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)造性思維，實(shí)踐與應(yīng)用數(shù)學(xué)能力，以及強(qiáng)化數(shù)學(xué)創(chuàng)新和研究精神.這些意義將有助于學(xué)生全面發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高他們的數(shù)學(xué)思維能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

2 深度學(xué)習(xí)發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的路徑

2.1 深度生成知識，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是指將具體的事物或問題抽象為符號、符號組合、公式或模型，從而去除具體情境，提取出共性特征，以便進(jìn)行研究、推理和應(yīng)用.數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用中具有重要作用.它可以幫助我們抓住問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問題間的聯(lián)系和規(guī)律，并通過概括和推理解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.它也在數(shù)學(xué)模型的建立和應(yīng)用中起到關(guān)鍵作用，使得我們可以將現(xiàn)實(shí)世界的問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理.數(shù)學(xué)抽象是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.通過數(shù)學(xué)抽象，學(xué)生可以逐步形成對數(shù)學(xué)的形象思維和符號思維的轉(zhuǎn)換能力，培養(yǎng)他們的觀察、分析、推理和創(chuàng)造能力.同時(shí)，數(shù)學(xué)抽象也能夠幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際問題中，并培養(yǎng)他們的問題解決能力和創(chuàng)新能力.深度生成模型是深度學(xué)習(xí)的一個重要方向，它專注于使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)生成新的數(shù)據(jù)樣本，如圖像、音頻、文本等.這些模型能夠從訓(xùn)練數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的內(nèi)在分布，并生成與訓(xùn)練數(shù)據(jù)相似的新樣本.通過學(xué)習(xí)和實(shí)踐深度生成模型，探索其擴(kuò)展應(yīng)用，并加強(qiáng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)認(rèn)知和邏輯推理，可以發(fā)展核心素養(yǎng)并在深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域取得更高水平的能力.這些途徑將幫助你掌握生成模型的原理和技術(shù)，培養(yǎng)創(chuàng)造力和創(chuàng)新思維，并在核心素養(yǎng)的發(fā)展中取得進(jìn)展.

下面以偶函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)為例來研究如何深度生成偶函數(shù)的概念.

2.1.1 觀察與思考

請同學(xué)們畫出函數(shù)f（x）=x²與f（x）=2-|x|的圖像，并觀察這兩個圖形有什么共同特征？

可以發(fā)現(xiàn)，兩個函數(shù)的圖像都關(guān)于y軸對稱.

2.1.2 探究與思考

類比函數(shù)的單調(diào)性，你能用符號語言精確地描述“函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱”這一特征嗎？

不妨取自變量的一些特殊值，觀察相應(yīng)函數(shù)值之間的數(shù)量關(guān)系，如下表：

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相等.

舉例：對于函數(shù)f（x）=x²，有

f（-3）=9=f（3）;

f（-2）=4=f（2）;

f（-1）=1=f（1）.

如果把自變量變成任意的實(shí)數(shù)x結(jié)果又怎樣？

依然成立，即對于任意實(shí)數(shù)x，都有f（-x）=f（x）.

仿照上述過程試判斷對于上述結(jié)論函數(shù)g（x）=2-|x|是否也成立？

顯然成立.

從而引出偶函數(shù)的定義：對于任意實(shí)數(shù)x，都有f（-x）=f（x），則稱這樣的函數(shù)為偶函數(shù).

以上教學(xué)環(huán)節(jié)是以具體的函數(shù)為例，引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖形特征，在引導(dǎo)學(xué)生判斷關(guān)于y軸對稱的圖形有什么樣的數(shù)量關(guān)系，最終引出偶函數(shù)的定義，充分深刻地體現(xiàn)了整個知識的生成過程，同時(shí)在知識的生成過程中也充分體現(xiàn)了由形定量由量斷形，由特殊到一般的高度抽象思維方式，讓學(xué)生在全面深入地參與整個教學(xué)活動中鍛煉抽象思維能力，形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.2 深度遷移知識，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的邏輯推理是指通過邏輯思維和推理能力來解決問題和做出合理的判斷.它是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、邏輯思維和問題解決能力的重要組成部分.邏輯推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到重要的作用.它培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維、問題解決能力和創(chuàng)新思維，使他們能夠理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，掌握數(shù)學(xué)的基本概念、原理和方法.邏輯推理也可以幫助學(xué)生發(fā)展批判性思維，使他們能夠?qū)?shù)學(xué)知識和問題進(jìn)行深入的分析和評價(jià).可見，邏輯推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的重要組成部分.通過培養(yǎng)邏輯推理能力，學(xué)生可以提高問題解決的能力、邏輯思維和創(chuàng)新能力，為他們將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際問題和日常生活中提供了基礎(chǔ).深度遷移學(xué)習(xí)是指將在一個任務(wù)上學(xué)習(xí)到的知識和模型參數(shù)應(yīng)用到另一個任務(wù)中的一種學(xué)習(xí)方法.通過遷移學(xué)習(xí)，我們可以將一個任務(wù)上學(xué)習(xí)到的邏輯推理能力應(yīng)用到另一個任務(wù)中，從而發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).通過學(xué)習(xí)和實(shí)踐深度遷移學(xué)習(xí)，找到適合遷移學(xué)習(xí)的任務(wù)組合，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和優(yōu)化，同時(shí)探索邏輯推理的特征表示和模型設(shè)計(jì)，可以發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)并在深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域取得更高水平的邏輯推理能力.這些途徑幫助你將邏輯推理的知識應(yīng)用到不同的任務(wù)中，提高邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展水平.

以奇函數(shù)為例對奇函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)與結(jié)論作進(jìn)一步的拓展與延伸，如奇函數(shù)f（x）=1/x，則其代數(shù)特征與圖形特征如下圖所示.

可以看出圖形的對稱中心（0，0），并且圖象上離對稱中心一樣遠(yuǎn)的兩點(diǎn)，其y坐標(biāo)之和的平均值為對稱中心的y坐標(biāo)之值.

當(dāng)我們把以上函數(shù)圖象右移a個單位再上移b個單位，則解析式變?yōu)閥=f（x-a）+b=1/x-a+b，則其代數(shù)特征與圖形特征如下圖所示.

由平移關(guān)系我們?nèi)菀椎玫綀D形的對稱中心（a，b），并且圖象上離對稱中心一樣遠(yuǎn)的兩點(diǎn)，其y坐標(biāo)之和的平均值為對稱中心的y坐標(biāo)之值.

以上是從奇函數(shù)原有的一些性質(zhì)或結(jié)論出發(fā)，通過演繹推理得到另一些性質(zhì)與結(jié)論.

利用演繹推理將原有的知識遷移到更高更深的層次，得到另一些性質(zhì)或結(jié)論，幫助學(xué)生化繁為簡化難為易解決一些原本看以無法解決的問題，通過這種知識遷移過程中演繹推理訓(xùn)練，讓學(xué)生逐步形成邏輯推理素養(yǎng).

2.3 深度應(yīng)用知識，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分之一，它是指將現(xiàn)實(shí)中的問題抽象為數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析、求解和預(yù)測的過程.數(shù)學(xué)建模要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠?qū)?shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際問題，培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力和創(chuàng)新思維.數(shù)學(xué)建模的目標(biāo)是通過建立數(shù)學(xué)模型，幫助人們對實(shí)際問題進(jìn)行分析、預(yù)測和決策.通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生可以發(fā)展實(shí)際問題的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力，提高數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用水平.數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)學(xué)生的模型思維、抽象思維和創(chuàng)新思維，使他們能夠從復(fù)雜和抽象的實(shí)際問題中提取關(guān)鍵信息、建立合理的數(shù)學(xué)模型，并使用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析和求解.數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一部分，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際問題、以數(shù)學(xué)模型為工具進(jìn)行分析和求解的能力.通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生可以掌握解決實(shí)際問題的方法和策略，提高問題解決的能力，為他們將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際問題和日常生活中奠定了基礎(chǔ).深度應(yīng)用知識是指將深度學(xué)習(xí)技術(shù)和模型應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模問題的過程.通過深度學(xué)習(xí)的能力，可以更準(zhǔn)確地對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行建模和求解.通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模基礎(chǔ)知識，了解深度學(xué)習(xí)理論和技術(shù)，尋找數(shù)學(xué)建模問題與深度學(xué)習(xí)的結(jié)合點(diǎn)，實(shí)踐深度學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模和機(jī)器學(xué)習(xí)交叉領(lǐng)域的知識，可以發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，提高深度學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)建模問題中的應(yīng)用能力.這些途徑將有助于構(gòu)建更加準(zhǔn)確和高效的數(shù)學(xué)模型，為復(fù)雜的實(shí)際問題提供創(chuàng)新和優(yōu)化的解決方案.

以學(xué)生熟悉的生活場景為例，通過高中數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題.

（1）創(chuàng)設(shè)情境，分析問題.以學(xué)生生活中常見的事物場景為例，例如學(xué)生比較常接觸的易拉罐飲料容易吸引學(xué)生注意力，讓學(xué)生對高中數(shù)學(xué)知識在生活中的實(shí)際應(yīng)用能有深入地體會與感受.

（2）模型建立與求解.在建立模型的過程中，教師要做好引導(dǎo)，讓學(xué)生感受與體會數(shù)學(xué)抽象與模型建立的過程.

（3）模型解釋與反思：在教師引導(dǎo)下，讓學(xué)生建立模型求得結(jié)果后適當(dāng)加入解釋與反思環(huán)節(jié).在教學(xué)中教師拿一個易拉罐，讓學(xué)生親自測量一下，檢驗(yàn)結(jié)果是否正確，以加深對模型構(gòu)建過程的體驗(yàn).

（4）總結(jié)提升：完成建模求解后，引導(dǎo)學(xué)生理清建模思路，對數(shù)學(xué)建模有一個整體的認(rèn)知.^［2］

深度學(xué)習(xí)是發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑.如何引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)在學(xué)科教學(xué)中尤為重要，它引導(dǎo)著教師的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施，又為學(xué)生提出了學(xué)習(xí)目標(biāo)與要求，促進(jìn)了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)更深層次的認(rèn)知與理解，是培育學(xué)科核心素養(yǎng)的必然選擇.本文主要從理論層面闡述了深度學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間的關(guān)系，并結(jié)合實(shí)際教學(xué)案例力圖闡明要導(dǎo)向深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，應(yīng)從教學(xué)目標(biāo)的確立、問題情境的創(chuàng)設(shè)、學(xué)生活動等入手精心設(shè)計(jì)，把整個理念融入到各個教學(xué)環(huán)節(jié)中，從而創(chuàng)設(shè)出有辨析性、探究性和實(shí)踐性，學(xué)生感興趣喜參與的好課堂，讓學(xué)生在知識遷移與深度思維過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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