構(gòu)造基本圖形 凸顯幾何直觀

［ 摘 要 ］幾何圖形的變化往往能夠揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力．研究者以一節(jié)“正方形的截線段變化”的探究課設(shè)計(jì)為例，通過(guò)構(gòu)造基本圖形，讓學(xué)生形成解題思路，產(chǎn)生幾何聯(lián)想，積累解題經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)幾何直觀，提升核心素養(yǎng)．

［ 關(guān)鍵詞 ］課堂教學(xué)；基本圖形；幾何直觀；核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，基本圖形作為空間形式的重要組成部分，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和空間想象能力具有重要意義．而構(gòu)造，則是指通過(guò)觀察、分析圖形，發(fā)現(xiàn)圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而借助添加輔助線等方式，將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，例如構(gòu)造“8字型”“斜A型”“母子型”相似等，以便更好地解決問(wèn)題．

通過(guò)構(gòu)造基本圖形，首先可以將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的圖形，從而降低問(wèn)題的難度；其次，基本圖形具有許多獨(dú)特的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以簡(jiǎn)化問(wèn)題的解決過(guò)程；最后，構(gòu)造基本圖形可以提高學(xué)生的幾何直觀能力和空間想象能力，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

教材分析

本節(jié)課之前，教材已經(jīng)安排了相似三角形的學(xué)習(xí)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了充分條件．而在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，題目中往往比較多地出現(xiàn)了有關(guān)于兩條線段相截求其中一條被截線段一部分長(zhǎng)度的題目，或是求被截線段兩部分比例問(wèn)題．這在教材當(dāng)中也有所體現(xiàn)，如浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第142頁(yè)中作業(yè)題的第4題與第5題．基于此，筆者就以基本圖形的變換為線索設(shè)計(jì)了這節(jié)課．

學(xué)情分析

在此之前學(xué)生學(xué)習(xí)了相似三角形，對(duì)于相似三角形的幾種基本模型比較熟悉，這節(jié)課的前幾小題比較簡(jiǎn)單，學(xué)生通過(guò)少量時(shí)間的思考便可解答．主要難點(diǎn)在最后一次翻折變形，也就是軸對(duì)稱變形，學(xué)生需要通過(guò)之前總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)來(lái)構(gòu)造輔助線．教師在學(xué)生做題時(shí)應(yīng)稍加引導(dǎo)．

基于教學(xué)過(guò)程的數(shù)學(xué)問(wèn)題解答與分析

1.展示基本圖形，引入課題如 圖 1， 在 正 方 形 ABCD 中 ，AD = 6，點(diǎn)E與點(diǎn)F分別為DC與BC的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，DF交于點(diǎn)G．

（1） 當(dāng)E，F(xiàn)分別為DC，BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：AE ⊥ DF，并求出AG的值．

師生活動(dòng) 教師出示此題，讓學(xué)生在導(dǎo)學(xué)單上作答，教師巡視指導(dǎo)．解答完成后讓學(xué)生回答此題的解法，教師從中提取關(guān)鍵解法進(jìn)行板書．

生1：可以利用△ADE △DCF求得角之間的關(guān)系，再利用互余證出垂直關(guān)系，接下來(lái)利用Rt△ADE中的一個(gè)“母子型”相似來(lái)求得AG．

生 2：在 AE ⊥ DF 已證的前提下，可以先用面積法求出DG，再用勾股定理求出AG ．

生 3：可以建立平面直角坐標(biāo)系，以D為原點(diǎn)，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，從而求出各點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)求解．

教師：老師說(shuō)一種方法，將AE與BC延長(zhǎng)相較于點(diǎn)H，能不能用這種方法求出AG呢？

生 （眾）：可以利用“8 字型”相似來(lái)求解．

教師從中提取解決截線段求解的幾種方案：相似、三角函數(shù)、勾股定理、建系，并提出其中的局限性．相似往往比較難找，但是恰恰是解決這類問(wèn)題比較常見(jiàn)的方法，特別是在矩形這類圖形中構(gòu)造“8字型”相似比較常見(jiàn)，因?yàn)椤? 字型”可以將斜的線段關(guān)系轉(zhuǎn)換到矩形的邊所在的直線上．而勾股定理的局限性在于必須構(gòu)造出直角三角形才能解決問(wèn)題．而建系則對(duì)圖形整體要求比較高，在整體是矩形或是直角三角形的圖形中比較常見(jiàn)，而這題也剛好符合建系的標(biāo)準(zhǔn)．

教學(xué)分析 此題的圖形出自勾股圖的一部分，在學(xué)生學(xué)習(xí)全等與正方形之后常有出現(xiàn)，主要難點(diǎn)在于利用互余證明角相等．學(xué)生學(xué)習(xí)了相似以后也可以利用相似更好地解決問(wèn)題，這體現(xiàn)了舊題新解的思想．借助此題，讓學(xué)生回想之前學(xué)過(guò)的方法，以起到一個(gè)復(fù)習(xí)的作用．同時(shí)，也讓學(xué)生對(duì)截線段這類題型的解法有一個(gè)歸納，在之后的解題中有路可走，而不是一路抓瞎．在基礎(chǔ)問(wèn)題得到解決后，教師進(jìn)一步深化問(wèn)題并進(jìn)行拓展．通過(guò)改變題目的條件和要求，讓學(xué)生更加靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．

2.稍加改變，鞏固解法

在上述例題題干的基礎(chǔ)上，筆者稍加改變形成之后的題目：

（2） 如圖 2，當(dāng) E與 C重合，F(xiàn)仍然為BC中點(diǎn)時(shí)，求AG的值．

（3）如果E仍然與C重合，而F是 BC 上的任意一點(diǎn)，設(shè) FC = m，你能用m的代數(shù)式表示出AG嗎？師生活動(dòng) 教師出示此題，先讓學(xué)生在導(dǎo)學(xué)單上作答，教師巡視指導(dǎo)，然后由學(xué)生給出解題過(guò)程．

此題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生利用不多的 時(shí) 間 便 可 解 出 ， 有 的 利 用 了△ADG與△GFC構(gòu)成的“8字型”相似進(jìn)行解答，也有的通過(guò)建系進(jìn)行解答．因?yàn)锳G本身沒(méi)有在直角三角形中，所以沒(méi)有學(xué)生通過(guò)構(gòu)造直角三角形利用勾股定理進(jìn)行解答．

教學(xué)分析：此題對(duì)上題當(dāng)中的基本圖形進(jìn)行了一個(gè)簡(jiǎn)單的變形，難度不大，主要目的是讓學(xué)生對(duì)之前的解法進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的運(yùn)用，起到一個(gè)鞏固的作用．

3.加深難度，靈活運(yùn)用

如圖3，（4）在（2）的條件下，將△DCF沿DF翻折，使C落在C'上，DC'交AC于點(diǎn)H，求AH的值．

師生活動(dòng) 教師出示此題，讓學(xué)生在導(dǎo)學(xué)單上作答，教師巡視指導(dǎo)，解答完后讓學(xué)生回答此題解法．此題難度較大，需要學(xué)生有一定時(shí)間的思考，對(duì)之前總結(jié)的方法有一個(gè)深入的認(rèn)識(shí)，下面是學(xué)生所提出的解法．

生 4：連結(jié) C'G，如圖 4，證明△ AHD △ C'HG， 從 而 得 到 AH ∶C'H = AD ∶ C'G = AD ∶ CG．根據(jù)前面的結(jié)論可以求得CG，從而得到之前比例式的值，然后設(shè) AH = x，將DH，HG，C'H 這些線段表示出來(lái)，通過(guò)列方程解出AH．

生 5：想到構(gòu)造“8 字型”，如圖 5，延長(zhǎng) DC'交 CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，C'M 與 AB 交于點(diǎn) N，從而構(gòu)造出△AHD △CHM的“8字型”相似模型，得到AH ∶ CH = AD ∶ MC，將問(wèn)題的求解關(guān)鍵轉(zhuǎn)換到 MC 這條線段上．這里還注意到有一個(gè)“斜 A型”的相似即△MC'F △MCD，從而可以得到MF ∶ MD = C'F ∶ CD.只要設(shè)MB = x，根據(jù)之前的比例式即可列出方程求解．

生 6：想到利用直角 C'來(lái)構(gòu)造一個(gè)“一線三直角”模型，如圖6，過(guò)點(diǎn) C'作 AB 的平行線交 AC，AD，BC 于點(diǎn) Q，M，N，得到△DC'M△C'FN，從而得到DM ∶ C'N = C'M ∶NF = C'D ∶ C'F = CD ∶ CF． 設(shè)AM = x，表示出 DM 與 NF，通過(guò)之前的比例式即可表示出C'M與C'N，再根據(jù) C'M + C'N = DC即可列出方程求解．求出 AM 后，AQ 與 C'Q 也就已知，然后利用△QHC' △CHD這一對(duì)“8 字型”相似模型即可求得QH，與AQ相加得出AH．

教學(xué)分析 此題體現(xiàn)了圖形的軸對(duì)稱變換，在基本圖形上進(jìn)行軸對(duì)稱變換也是很常用的題目形成方法．對(duì)于做了之前題目的學(xué)生馬上能夠思考到這個(gè)圖形當(dāng)中CG，AG，DG可求，生4想到的是直接構(gòu)造涉及AH的相似模型；生5想到的是在矩形當(dāng)中比較常用的求截線段長(zhǎng)度的方法，即構(gòu)造“8字型”的相似模型來(lái)將斜線段比例轉(zhuǎn)化為鉛垂或水平線段的比例；生6則是根據(jù)一個(gè)直角想到可以構(gòu)造“一線三直角”模型來(lái)幫助解題，這里雖然將AH分割了，但分割的兩部分都在比較特殊的圖形當(dāng)中，也是比較不錯(cuò)的解法．

4.總結(jié)反思，課堂小結(jié)

教學(xué)內(nèi)容 對(duì)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行小結(jié)．

師生活動(dòng) 教師提出在這節(jié)課中有何收獲，學(xué)生主要就如何解決截線段長(zhǎng)度問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)，主要集中在構(gòu)造與截線段有關(guān)的相似模型．教學(xué)分析 這節(jié)課主要從基本圖形出發(fā)，層層深入變換，幫助學(xué)生熟練運(yùn)用相似等方法來(lái)解決截線段長(zhǎng)度問(wèn)題．同時(shí)，也讓學(xué)生對(duì)之前學(xué)過(guò)的方法進(jìn)行復(fù)習(xí)和歸納，為以后求解類似問(wèn)題提供思路和方法．教學(xué)反思

在幾何教學(xué)中，教師對(duì)一些重要的概念和能力的培養(yǎng)要有一定的認(rèn)識(shí)．

首先，對(duì)于基本圖形與變換的重要性，有更深的理解．基本圖形中往往有著明確的基本量，而當(dāng)其進(jìn)行變換時(shí)，可以從基本量中找出變換后圖形中的量改變與否．例如，在正方形中通過(guò)截取線段，可以利用相似來(lái)將斜的線段比例進(jìn)行等比轉(zhuǎn)換，從而增加條件的獲取．

其次，明確推理能力在幾何教學(xué)中的重要性．在解決幾何問(wèn)題時(shí)，學(xué)生需要根據(jù)條件判斷哪些量是確定的，哪些量是可以改變的．基本圖形中往往有一些明確的基本結(jié)論，學(xué)生如果能從復(fù)雜的幾何題中提取或構(gòu)造出一些基礎(chǔ)圖形，將會(huì)更快地找到解題方法．

此外，教師要意識(shí)到在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力．學(xué)生自身需要意識(shí)到圖形的變化，同時(shí)在日常教學(xué)中教師也要不斷引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的變化．這種能力的獲得并非一蹴而就，需要通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的引導(dǎo)和訓(xùn)練．因此，在教學(xué)中教師應(yīng)盡量引導(dǎo)學(xué)生去主動(dòng)觀察和思考，以提高他們的空間觀念和幾何直觀能力．

最后，認(rèn)識(shí)到模型觀念在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性．學(xué)生在解題中往往會(huì)遇到條件缺失的情況，對(duì)此，教師首先要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到初中數(shù)學(xué)問(wèn)題都是萬(wàn)變不離其宗的，其次要鼓勵(lì)學(xué)生利用已學(xué)的基本圖形和基本結(jié)論來(lái)解決新問(wèn)題，從而提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)．

綜上所述，在未來(lái)的教學(xué)中，教師需要更加注重培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、幾何直觀能力和模型觀念，以提高他們的數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的能力．同時(shí)，教師也需要不斷反思自己的教學(xué)策略，以便更好地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)步．