分式方程定參數 根的情況明方向

［摘 要］對于含有參數（字母系數）的分式方程，確定其中字母的值或取值范圍是常考點。不難發現，根據分式方程根的情況，可以建立關于字母的方程或不等式，從而確定字母的值或取值范圍。文章結合典例，從七個方面對含參的分式方程進行分析探討，以助力學生求解分式方程問題。

［關鍵詞］分式方程；根；參數；初中數學

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）35-0035-04

分式方程是初中數學的重要知識點。對于含參數的分式方程，如何確定其中字母的值呢？分式方程的根為我們指明了方向。分式方程的根有三種情況：一是有實根；二是無根，即無解；三是有增根。根據分式方程根的情況，我們可以建立關于字母的方程或不等式，從而確定字母的值或取值范圍。本文將對分式方程根的情況分類例析，以期對學生求解分式方程問題有所幫助。

一、已知分式方程的根，直接代入求值

代入法是一種重要的數學方法。如果已知分式方程的根，就可以直接將其代入分式方程，建立關于未知字母的方程，然后通過求解方程，得出字母的值。

［例1］已知關于[x]的方程[2axa-x=23]的根為[x=1]，求[a]的值。

分析：將[x=1]代入方程[2axa-x=23]得到關于[a]的分式方程，解該分式方程求出[a]的值，再檢驗a的值與[x]的值是否使最簡公分母為0。

解：將[x=1]代入方程[2axa-x=23]，得[2aa-1=23]，等式兩邊同時乘以[3（a-1）]得[3×2a=2（a-1）]，解得[a=-12]。檢驗：當[a=-12]時，[3（a-1）=3×-12-1=-92≠0]，∴[a=-12]是分式方程[2aa-1=23]的根，∴[a]的值為[-12]。

評注：把分式方程的根代入方程求出字母的值后，須檢驗字母的值是否使最簡公分母為0。若最簡公分母為0，則方程出現增根，此時原方程無解。

二、已知分式方程根的取值范圍，先解分式方程

若已知分式方程根的取值范圍，則應先解分式方程，用含字母的代數式表示分式方程的解。然后，根據根的取值范圍以及最簡公分母不為0的條件，建立關于字母的不等式組。最后，解這個不等式組，從而求得字母的取值范圍。

［例2］已知關于[x]的分式方程[m-2x-1+31-x=1]的解是非負數，求[m]的取值范圍。

分析：解出分式方程，根據解是非負數求出[m]的取值范圍，再根據最簡公分母不為0，令[x≠1]，求出[m]的值。

解：在分式方程[m-2x-1+31-x=1]兩邊同時乘以[x-1]，得[m-2-3=x-1]，解得[x=m-4]。∵關于[x]的分式方程[m-2x-1+31-x=1]的解是非負數，且[x-1≠0]，∴[m-4≥0]，且[m-4-1≠0]，解得[m≥4]，且[m≠5]。綜上，[m]的取值范圍為[m≥4]且[m≠5]。

評注：特別注意的是，由分式方程根的取值范圍求字母的取值范圍時，需考慮所求得的字母值取值范圍內是否使最簡公分母等于0。若求出字母的值使最簡公分母為0，這樣與方程有非負解矛盾。

三、規律型分式方程，方程的形式要統一

規律型分式方程描述的是一類方程，將待求解方程變形為規律型分式方程，可以根據此類方程解的特征求出所求方程的解。下面探究的就是一類規律型分式方程的解。這類分式方程的特點是左邊是一個未知數和一個分式的和，且分式的分母是未知數，分子是兩個常數的積；右邊則是這兩個常數的和。這類分式方程的解往往是這兩個常數。

［例3］閱讀：對于兩個不等的非零實數[a]，[b]，若分式[（x-a）（x-b）x]的值為零，則[x=a]或[x=b]。又因為[（x-a）（x-b）x=x2-（a+b）x+abx=x+abx-（a+b）]，所以關于[x]的方程[x+abx=a+b]有兩個解，分別為[x1=a]，[x2=b]。應用上面的結論解答下列問題：

（1）方程[x+8x=6]有兩個解，分別為[x1=2]，[x2=]" " " " " " " " 。

（2）關于[x]的方程[x+m-nmnx=m+4mn-n2mn]的兩個解分別為[x1=2]，[x2=]" " " " " " "。

（3）關于[x]的方程[2x+n2-n2x-1=2n]的兩個解分別為[x1]，[x2（x1lt;x2）]，求[2x1-12x2]的值。

分析：（1）將方程變形為[x+abx=a+b]的形式，利用閱讀材料中的結論確定方程的解；（2）將方程變形為[x+abx=a+b]的形式，利用題中[x1]的值及特殊方程的結論確定[x2]的值；（3）方程變形后，利用題中的結論表示出[x1]與[x2]，再代入原式計算。

解：（1）∵[2×4=8]，[2+4=6]，∴將方程[x+8x=6]改寫成[x+2×4x=2+4]，可以看出原方程的兩個解分別為[x1=2]，[x2=4]。

（2）由題中的結論知，方程有一根為2，故將方程變形為[x+m-n2mn×2x=m-n2mn+2]，得方程另一個根為[m-n2mn]，則[x1=2]，[x2=m-n2mn]。

（3）方程整理得[2x-1+n（n-1）2x-1=n+n-1]，得[2x-1=n-1]或[2x-1=n]，可得[x1=n2]，[x2=n+12]，則[2x1-12x2]的值為[n-1n+1]。

評注：為求出所求方程的解，需將所求方程變形為與示例方程相同的結構形式，即分式的分子為兩個數之積，且方程的右邊恰是這兩個數的和。本題采用觀察法與轉化法解題。在第（3）小題中，將[2x-1]視為一個整體（未知數），先求得關于[2x-1]的方程，再求出[x]的值。

四、有整數解的分式方程要分類討論

要求含參分式方程的整數解，需先解出分式方程，然后對分式方程的解進行討論，看字母取何值時，分式方程的解才能為整數。當字母滿足某個不等式組時，還要解不等式組求得字母的取值范圍，最后結合這兩個方面來確定字母的值。

［例4］若數[m]使關于[y]的不等式組[2y+1gt;0，2（y+2m）≤5m，]至少有三個整數解，且使關于[x]的分式方程[8-mx2-x-2=xx-2]有整數解，求所有滿足條件的整數[m]的值的和。

分析：先解一元一次不等式組，確定[y]的取值范圍，由不等式組至少有三個整數解得[m]的取值范圍；再解分式方程得到[x]的值，根據分式方程有整數解及[m]的取值范圍，進一步討論[m]的具體取值。

解：不等式組[2y+1gt;0，2（y+2m）≤5m]的解集為[-12lt;y≤12m]，∵關于[x]的不等式組[2y+1gt;0，2（y+2m）≤5m，]至少有三個整數解，∴[12m≥2]，∴[m≥4]。關于[x]的分式方程[8-mx2-x-2=xx-2]的解為[x=4m-3]，∵要使分式方程[8-mx2-x-2=xx-2]有意義，令[2-x≠0]，即[4m-3≠2]，∴[m≠5]。∵關于[x]的分式方程[8-mx2-x-2=xx-2]有整數解，∴[4m-3]為整數，且[m≥4]，∴[m=4]或7，∴所有滿足條件的整數[m]的值的和為[4+7=11]。

評注：實際上，當[x=4m-3]為整數時，[m-3]可取±1，±4，±2，但是結合[m≥4]的結論，[m]只能取4或7。當分式方程的解為整數時，分子一般為常數，分母一般為含字母的代數式。對此可先確定分母的可能取值，再根據字母的取值范圍進行取舍。

五、分式方程有增根，增根代入整式方程

分式方程的增根是指使分式方程的最簡公分母為0的[x]的值。增根不是分式方程的解，但卻是去分母后得到的整式方程的解。因此，我們可將分式方程的增根代入去分母后得到的整式方程中，以求得未知字母的值。由此可見，增根也有“用武之地”。

［例5］關于[x]的分式方程[2x-2+mx（x+1）（x-2）=3x+1]。（1）若方程的增根為[x=2]，求[m]的值；（2）若方程有增根，求[m]的值。

分析：（1）根據分式方程的性質先去分母，再移項并合并同類項，得一元一次方程，然后把[x=2]代入即可求得[m]的值；（2）根據分式方程增根的定義，首先確定方程的增根為[x=-1]或[x=2]，再分別代入整式方程求得m的值。

解：（1）在分式方程[2x-2+mx（x+1）（x-2）=3x+1]兩邊同時乘[（x+1）（x-2）]，去分母得[2（x+1）+mx=3（x-2）]，移項、并合并同類項，得[（m-1）x+8=0]，當方程的增根為[x=2]時，[（m-1）×2+8=0]，解得[m=-3]。

（2）當方程有增根時，方程的增根為[x=-1]或[x=2]，由（1）可得當[x=2]時，[m=-3]，當[x=-1]時，[（m-1）×（-1）+8=0]，解得[m=9]，∴[m=9]或[m=-3]。

評注：方程有特定增根[x=2]與方程有增根是不一樣的。通過上述例題的解析，可以看到，當方程有增根時，要全面分析能使最簡公分母[（x+1）（x-2）]為0的[x]的值，并分類討論，從得出[m]的兩個可能值。

六、分式方程無解要分類討論

已知分式方程無解，求未知字母的值時，需要分類討論。第一種情況是分式方程有增根，把分式方程的增根代入去分母后的整式方程求得未知字母的值；第二種情況是整式方程無解。造成整式方程無解的因是自變量的系數為0而常數項不為0所致。

［例6］已知關于[x]的分式方程[mx+1-2m-x-1x2+x=0]無解，求[m]的值。

分析：去分母，得[mx-2m+x+1=0]，方程無解有兩種情況：分式方程有增根和去分母后的整式方程無解，據此解答；分式方程有增根時，結合增根的定義可得[x]的值，將其代入方程可得[m]的值。

解：原分式方程的左右兩邊同乘[x（x+1）]去分母，得[mx-2m+x+1=0]，∵分式方程無解，故分為兩種情況：①分式方程有增根，得[x=0]或[x=-1]，將[x=0]，[x=-1]分別代入，得[m=12]或[m=0]。②方程[mx-2m+x+1=0]，即[（m+1）x=2m-1]無解，∴[m+1=0]且[2m-1≠0]，∴[m=-1]。綜上所述，[m=12]或[m=0]或[m=-1]。

評注：上述分類討論分式方程無解的兩種情況，都是在分式方程去分母后化為整式方程的基礎上展開的。增根不適合分式方程，但是適合整式方程。值得注意的是，當去分母后的整式方程無解時，也會造成分式方程無解。

七、新定義分式方程，注意轉化

新定義的分式方程需轉化為易于理解的舊知識，再遷移已學知識進行求解。例如，“相似方程”指的是有一個相同解的兩個方程；“相伴方程”是指有相同整數解的兩個方程。

［例7］對于一些特殊的方程，我們給出兩個定義：①若兩個方程有相同的一個解，則稱這兩個方程為“相似方程”；②若兩個方程有相同的整數解，則稱這兩個方程為“相伴方程”。（1）判斷一元一次方程[3-2（1-x）=4x]與分式方程[2x+12x-1-1=44x2-1]是否是“相似方程”，并說明理由；（2）已知關于[x]，[y]的二元一次方程[y=mx+6]與[y=x+4m]是“相伴方程”，求正整數[m]的值。

分析：（1）先求出兩個方程的解，再根據“相似方程”的定義即可判斷；（2）根據題意用[m]表示出[x]的值，再根據“相伴方程”的定義及[m]為正整數即可求出[m]的值。

解：（1）一元一次方程[3-2（1-x）=4x]與分式方程[2x+12x-1-1=44x2-1]不是“相似方程”，理由如下：解一元一次方程[3-2（1-x）=4x]，得[x=12]，解分式方程[2x+12x-1-1=44x2-1]，得[x=12]，檢驗：當[x=12]時，[（2x+1）（2x-1）=0]，∴原分式方程無解，∴一元一次方程[3-2（1-x）=4x]與分式方程[2x+12x-1-1=44x2-1]不是“相似方程”。

（2）∵關于[x]，[y]的二元一次方程[y=mx+6]與[y=x+4m]是“相伴方程”，所以兩個方程有相同的整數解，∴[mx+6=x+4m]，∴[（m-1）x=4m-6]，①當[m-1=0]時，方程無解，②當[m-1≠0]，即[m≠1]時，[x=4m-6m-1]，即[x=4-2m-1]，∵[x]，[y]均為整數，∴[m-1=1]，2，-1，-2，又∵[m]取正整數，∴[m=2]或3。

評注：本題通過新定義，綜合考查了一元一次方程、分式方程及二元一次方程組等知識。理解新定義并將其轉化為舊知識是解題的關鍵。

通過上述的分析與解答，我們發現，根據分式方程的根確定參數時，需考慮分母不為零的情況。若分式方程有實根，則直接代入即可求得字母的值；若分式方程有增根，則需把增根代入去分母后的整式方程求解；若分式方程無解，則需分類討論分式方程有增根與去分母后的整式方程無解的情況。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 劉家良.由分式方程解的正、負求系數的取值范圍（初二）[J].數理天地（初中版），2018（10）：12.

[2]" 湯建明.例析與增根有關的分式方程解的問題[J].初中生世界，2016（22）：49-50.

（責任編輯" " 黃春香）