滲透數學思想 透視核心素養

摘要：與三角形有關的計算問題，時常在試卷或練習中遇見.雖然這樣的題目普遍比較簡單，但易與其他知識點融合形成綜合題，從而在提高難度后給學生解題帶來困難.數學思想既是解決數學問題的方法，也是核心素養的體現.教師只有在教學中不斷滲透數學思想，才能幫助學生形成核心素養.為此，本文中以三角形的有關計算為例，談一談如何滲透數學思想和透視核心素養.

關鍵詞：三角形；數學思想；核心素養；方程思想；分類討論思想

課堂教學的目的不只是為了傳授知識，還要讓學生掌握和運用數學思想，更要不斷提升學生的數學核心素養.本文中以三角形的有關計算為例，談一談與之相關的數學思想的滲透.

1 核心素養透視

在人教版教材八年級上冊第十一章“三角形”第二節第一課時“三角形內角和定理”中體現了如下幾個方面的核心素養：

首先，邏輯推理.“三角形內角和定理”作為第十一章“三角形”中的內容 ，不僅基礎，而且非常重要.在本章及本節中，通過具體的實例幫助學生充分理解證明的重要性和必要性，同時體會演繹推理的嚴謹性.另外，借助平行線的性質和判定定理、三角形內角和定理等的證明過程，不斷提高學生的推理能力和邏輯思維能力[J].

其次，數學抽象.在本節知識的學習中，需要學生從具體的實例中抽象出定義、定理、推論、命題等，不斷積累從具體到抽象的活動經驗[J]，并且要求學生通過抽象不斷把握事物或事物間的數學本質，最終逐漸形成一般性思考問題的意識或習慣.

2 數學思想及分析

在與三角形有關的計算中，三角形的內角和定理占據著非常重要的地位.該定理通常用于計算或證明，是非常基礎的幾何知識，主要體現了方程思想和分類討論思想.下面，結合例題分別分析這兩種數學思想.

2.1 方程思想

2.1.1 方程思想解讀

利用公式等已知信息（包括隱含條件）建立等量關系，并且根據方程（組）解決數學問題的思想或方法，就是方程思想.本節中的三角形內角和定理對三角形三個內角之間的數量關系進行了完整表述，從方程角度來看，如果三個內角中已知兩個獨立條件，那么就可利用方程思想求出該三角形每個內角的具體度數.

2.1.2 例題分析

例1有一個△ABC，∠A，∠B，∠C分別是它的三個內角，且∠A=∠B+30°，∠B=14∠C.求△ABC每個內角的度數.

分析：題中給出了“∠A=∠B+30°”和“∠B=14∠C”兩個獨立條件，根據方程思想，只需利用三角形內角和定理列方程即可求解.

解：∵∠A=∠B+30°，∠B=14∠C，

∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠B+30°+∠B+4∠B=180°.

∴∠B=25°.

∴∠A=55°，∠C=100°.

評析：應用方程思想解決三角形的有關計算問題，關鍵在于充分發揮兩個獨立條件的作用，因為這些數量關系有利于設未知數.在解題過程中，起到關鍵作用的是三角形內角和定理，它將“∠B，∠A=∠B+30°，∠C=4∠B”“串”起來，該知識點起到了“橋梁”作用.

練習1如圖1，△ABC是銳角三角形，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，AD和CE相交于點F，且∠AFE=58°，則∠ACB+∠BAC=_______°.

2.2 分類討論思想

2.2.1 分類討論思想解讀

分類討論思想作為初中數學中非常重要的一種數學思想，在代數、幾何部分都經常出現.這種數學思想，在三角形的有關計算問題中也有體現.這樣的題通常題意復雜，而且包含著多種情況，需要先分類再討論.筆者認為，這里需注意三個問題：首先，分類時需要遵循標準一致和不重不漏原則.分類的標準一致就保證了幾種情況與題意的契合度，不重不漏則保證了解題的準確度，是邏輯思維能力的體現.其次，討論時幾種情況相對獨立，不相互影響.也就是說，將每種情況作為一個單獨的題目對待，在解決該種情況時，無需兼顧其他幾種情況.這時候，既體現了邏輯思維能力，又體現了推理能力.最后，將分類討論的結果綜合起來.通常分類討論后會產生多個符合題意的結果，此時需將這些結果綜合起來，用“綜上所述……”進行表述[J].

2.2.2 例題分析

例2在△ABC中，AB=AC，一條過三角形頂點的直線將三角形分成了兩個等腰三角形.試求△ABC中各個內角的度數.

分析：三角形有三個頂點，題中并未指明是哪個頂點，因此這樣的直線應該有三種情況，且每種情況中的直線可向兩側將三角形分為兩個等腰三角形.所以，本題需利用分類討論思想解決.

解：（1）直線過點A，有兩種情況，如圖2、圖3.

①如圖2，過點A的直線與BC交于點E，且BE=AE，AE=EC.所以，△ABE和△ACE都是等腰三角形.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∵BE=AE，AE=EC，

∴∠B=∠C=∠BAE=∠CAE.

∵∠B+∠C+∠BAC=180°，

∴∠B=∠C=45°，∠BAC=90°.

②如圖3，過點A的直線與BC交于點F，且AB=BF，AF=FC.所以，△ABF和△ACF都是等腰三角形.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∵AB=BF，AF=FC，

∴∠B=∠C=∠FAC，∠BFA=∠BAF=2∠B.

∵∠B+∠C+∠BAC=180°，

∴∠B=∠C=36°，∠BAC=108°.

（2）直線過點B，有兩種情況，如圖4、圖5.

①如圖4，過點B的直線與AC交于點D，且BD=AD，BD=BC.所以，△ABD和△BCD都是等腰三角形.

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C.

∵BD=AD，BD=BC，

∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠C.

∵∠BDC=2∠A，

∴∠C=2∠A，∠ABD=∠CBD.

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.

②如圖5，過點B的直線與AC交于點G，且AG=BG，CB=CG.所以，△ABG和△BCG都是等腰三角形.

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C.

∵AG=BG，CB=CG，

∴∠A=∠ABG，

∠CBG=∠CGB.

∵∠BGC=2∠A，

∴∠CBG=2∠A.

∴∠ACB=3∠A.

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴∠A=1807°，∠ABC=∠C=5407°.

（3）直線過點C，與（2）一樣.

綜上所述，△ABC各個內角的度數分別是：45°，45°，90°或36°，36°，108°或36°，72°，72°或1807°，5407°，5407°.

總而言之，知識是問題與素養之間的“橋梁”，利用所學知識解決問題，從而依靠知識體現出素養.因此，教師在教學時要不斷滲透數學思想，要透視核心素養.

參考文獻：

[1]劉鴻英.核心素養下的初中幾何微課教學——以與三角形有關的角為例[J].福建中學數學，2018（8）：47-49.

[2]王弟成.結合數學思想 培養核心素養——以解三角形中方程思想運用為例[J].中學數學月刊，2021（5）：57-59.

[3]曹文靜.初中數學核心素養理念下數學思想的滲透和能力培養——以人教版七年級數學《幾何圖形初步》為例[J].進展，2021（17）：127-129.