APOS理論下的初中數學概念教學

【摘" 要】數學概念作為知識基礎，對學生學科核心素養發展至關重要。初中階段的數學概念教學具有承上啟下的作用，而將APOS理論引入概念教學，能夠讓學生經歷操作、過程、對象和圖式四個階段，深入理解并把握數學概念的本質。本文通過文獻分析明確APOS理論內涵，并以蘇科版初中數學八年級上冊第二章《軸對稱圖形》為例對數學概念教學策略進行研究，進而提出如下參考建議：活動階段——創設情境，引導體驗，感知概念；過程階段——問題啟發，引導探究，抽象概念；對象階段——分層練習，引導辨析，內化概念；圖式階段——梳理知識，引導聯系，納入體系。

【關鍵詞】APOS理論；初中數學；概念教學

數學概念是數學的基礎，一方面初中數學概念學習是對小學階段數學知識的承接，另一方面也是對高中階段數學理論學習的鋪墊，加強初中數學概念教學既有利于實現教學的有效銜接，也能夠促進學生的整體發展。APOS理論是一種建構主義個體數學學習理論，起源于20世紀80年代末，美國學者杜賓斯基等人提出的概念學習理論模型。該模型強調，學生在學習概念時需經歷心智建構過程，依次經歷操作或活動（Action）、對象（Object）、過程（Process）和圖式（Schema）四個階段，而將這一理論引入初中數學課程中對提升概念教學效果有著重要意義。接下來，本文就以蘇科版初中數學八年級上冊第二章《軸對稱圖形》為例對APOS理論下的初中數學概念教學進行探究。

一、活動階段——創設情境，引導體驗，感知概念

APOS學習理論從層次上來講，可以分為四個層次和階段，首先是活動階段，這一階段主要在于以學生固有的認知為基礎，充分考量學生的個體差異性，通過針對性活動給予學生切身體驗，從而讓學生對知識具有直觀的認知。在這一階段我們可以按照以下步驟展開教學。

（一）創設情境，激發興趣

生動有趣的情境能夠減輕學生學習抽象數學概念的壓力，激發他們思考探究的熱情，也能夠在引導下主動完成抽象和歸納活動，達到預期學習目的。因此，在數學概念教學中，教師要根據學生的實際需要，創設貼近他們生活實際和認知水平的學習情境，促使他們以情境中的感性材料為基礎產生探究概念的興趣。在《軸對稱圖形》這一單元第一課《軸對稱與軸對稱圖形》的教學設計中，教師通過學情分析發現學生在日常生活中已經接觸到許多軸對稱圖形，如“雙喜字”、中國結、奧運五環等等，并對這類圖形的特點具備一定的感性認知。因此，在課堂導入階段，教師利用多媒體展示了“雙喜字”、中國結、奧運五環等生活中常見的軸對稱圖形，并引導學生觀察討論這些圖形的特點，以引出“軸對稱”“軸對稱圖形”這兩個數學概念。這樣的設計將概念的引入與學生的生活經驗相結合，有效激發了他們的觀察興趣，為后續通過活動體驗生成概念奠定了基礎。

（二）啟發誘導，強化體驗

概念的引入不能只憑借簡單的情境堆砌，還需要依靠恰當的啟發和引導。所以在活動階段，教師應根據概念特點設計問題，引導活動體驗，促進認知提升。例如，在上述《軸對稱與軸對稱圖形》的教學導入環節，教師不僅展示了多長軸對稱圖形，也提出了問題：下列圖片形狀是怎么樣的？它們有什么共同的特性？你在生活中還見到過哪些類似的圖形？在通過討論找到這些圖形的對稱軸后，教師指導學生對一張紙進行對折，并從折疊處剪出一個圖形。隨后，教師引導學生思考：展開紙張后，會呈現怎樣的圖形？折痕兩側的圖案有何關聯？是否具備上述圖形的共同特征？

通過實踐操作、強化體驗，學生對“軸對稱”“軸對稱圖形”的概念形成了更加直觀而深入的認識，也為概念的生成奠定了認知基礎。

二、過程階段——問題啟發，引導探究，抽象概念

APOS學習理論的進階階段是過程階段，也是APOS理論的關鍵階段，這一階段重點在過程，通過APOS理論支撐，引導學生從過程中提煉知識內核，從而形成自己對于知識的認知。在這一階段，教師應精心設計問題，引發學生抽象思維活動，并鼓勵引導表達，促使概念生成。

（一）設計問題，思考概念本質

在概念生成過程中，教師要注意問題設計，并給予學生充足的思考時間和空間，解放他們的頭腦，引導觀察、分析、思考、交流和合作探究等一系列活動，促使其在問題中抽象概念的核心本質，理解概念的含義。

例如，在《軸對稱圖形》這一單元第四課《線段、角的軸對稱性》的教學設計中，教師安排了“對折線段”這一活動，并向學生提出問題：對折線段，探索折痕與線段的關系；第二次對折線段，觀察折痕任一點到線段兩端點距離的關系；通過對對折后的線段進行觀察，學生之間展開討論，比較線段端點到折線的距離，并在提示和反思中逐漸認識到線段對稱性的表象。這樣的認知有利于學生抓住線段對稱性的本質，鍛煉抽象思維，也可以為后續的概念表述奠定基礎。

（二）引導表達，概括概念內容

在促使學生認識并理解了概念的表象后，教師應將學習的主動權繼續交給學生，引導嘗試用數學的語言表達客觀世界，即對所學的概念進行描述，以發展學生的語言表達能力與抽象能力。例如，在探究《線段、角的軸對稱性》的概念教學中，學生根據“對折線段”活動認識了線段的對稱性，并在引導和鼓勵下做出如下描述：線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸；線段的垂直平分線上的點與線段兩端距離相等。在“用圓規找點”活動中，觀察得到的點均具有此特點。經過指導與糾正，得出結論：到線段兩端距離相等的點位于該線段的垂直平分線上。在“用直尺和圓規作線段垂直平分線”的活動中，學生通過觀察實踐操作，描述出結論：線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合。這些描述有效鍛煉了學生的抽象概括思維，培養了他們數學表達能力，加深了對數學概念本質的認識，也促進了核心素養的發展。

三、對象階段——分層練習，引導辨析，內化概念

APOS的另一個層次就是關于研究對象的階段，基于前兩個層次，這一層次主要針對對象進行分析，對于抽象的知識進行內化，實現認知的飛躍。從具體到內涵再到具體，最終將知識充分理解，成為自身的知識儲備。在這一階段，教師可以引導學生獨立思考、組織小組交流，并對學生進行針對性訓練、引導概念辨析，進而真正內化概念。

（一）針對練習，鞏固概念

在生成新的數學概念后，教師還應設計習題引導學生練習應用，促使其鞏固概念，消化吸收。例如，在《線段、角的軸對稱性》的教學指導中，為夯實概念學習，教師設計習題：

（1）已知Rt△ABC，BC=4，AB的垂直平分線交AC于點D，若AC=6，則△BCD的周長=____。

（2）在△ABC中，BC=4，AB的垂直平分線交AC于點D，若AC=6，則△BCD的周長=____。這兩道習題相對簡單，為學生鞏固線段、角的軸對稱性提供了幫助。在解答過程中，教師要求學生獨立完成，并通過課堂巡視加以指導，針對學生常見的錯誤進行講解糾正，促使學生更加準確地理解數學概念。

（二）利用變式，內化概念

變式在數學解題中十分常見。變式可以將原題中的信息發生變化，促使解題者進一步思考數學知識的本質。在概念教學中，教師可以根據習題設計變式，以強調數學概念的本質屬性，讓學生更清楚地理解概念，讓概念的理解更豐滿。

例如，在上述習題（2）中教師進行了變式，啟發學生辨別概念、深入學習：變式1：在△ABC中AB的垂直平分線交AC與點D，已知AB=7，△BCD的周長等于11，則△ABC的周長=____。變式2：△ABC中AB的垂直平分線交AC與點D，已知∠A=35°則∠BDC=____。這兩個變式在原題的基礎上改變了條件，讓學生對角的軸對稱性進行了深入探究，并從多方面把握了概念的本質。

四、圖式階段——梳理知識，引導聯系，納入體系

APOS的最終階段是將知識在頭腦中形成圖式，從而更好地梳理知識結構，將知識系統化，以便更好地運用知識解決實際中遇到的問題，構建綜合心理圖式。在這一階段，教師應啟發學生回顧聯想之前所學，并建構知識體系，深入數學概念之間的邏輯關系，進而將新學概念納入已建構的數學知識體系。

（一）梳理知識，繪制結構圖

結構圖是一種可視化工具，能夠幫助學生整理思維，厘清概念間的關聯，形成整體認識。在學生完成新的數學概念學習后，教師應引導他們繪制知識結構圖，回顧學習過程和方法，梳理知識脈絡，以系統把握所學概念。

例如，在完成《軸對稱圖形》這一單元的概念學習后，學生根據教師指導梳理知識脈絡，形成了結構圖。結構圖主要圍繞“軸對稱的性質”和“軸對稱圖形”這兩個核心概念展開。在“軸對稱圖形”概念下，按照“線段”“角”“等腰三角形”“等邊三角形”這四部分進一步梳理，以形成更加細致的概念，并進行橫向對比，以把握不同軸對稱圖形的特點。

（二）擴展聯想，完善概念體系

在數學學科中各個概念之間都存在著普遍的關聯性，因此，概念的學習也不是孤立的。根據APOS理論的指導，教師需要引導學生將所掌握的新概念與既有認知結構中的相關概念建立縱橫交錯的聯系，構建圖式，形成知識體系。例如，在《軸對稱圖形》的概念教學中，教師一方面關注本單元概念的內涵與外延，將“軸對稱的性質”“軸對稱圖形”等概念在同一體系下形成關聯，構建綜合圖式，形成相對獨立的知識體系；另一方面針對“線段”“角”“等腰三角形”“等邊三角形”的特點，明確概念間的區別，重點提示、避免混淆，以提升學生的認知，促使其形成更加完善、準確的概念體系。

五、結束語

總之，在APOS理論視角下的概念教學強調通過情境活動引導學生思考，以獲得初步感知；通過操作活動引導反思，實現概念抽象；通過鞏固訓練和知識辨析來內化概念；通過知識聯系建立系統化圖式。在未來，隨著課程改革的深入，教育工作者還應繼續挖掘APOS理論在數學課程教學中的應用價值，探索其與學生核心素養發展之間的關系，并形成更多可參考的教學范式，為初中數學課程的深化改革探索更多可能。

（本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃2022年度重點課題“新課標背景下APOS理論在初中數學概念教學中的實踐研究”階段研究成果，課題編號：B/2022/03/252）