把握度量本質 促進量感發展

黃碧峰

【摘? ?要】度量在數學學習和應用中具有重要的意義和價值，既是學生形成量感的起點，又是檢測學生量感水平的標尺，是培育學生量感的重要載體。結合“認識面積”的教學實例，從度量的內涵、度量對象的屬性、度量標準的優化、度量活動的設計以及度量結果的精確五個方面對度量進行深入闡述，進而把握度量本質，促進量感發展。

【關鍵詞】量感；度量；核心素養

在我國小學數學課程中，“數感”與“量感”的概念長期處于模糊狀態。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中只有“數感”概念而無“量感”概念。然而，很多國家（如新加坡、加拿大、美國）的中小學數學課程中都設置了以“度量”或“測量”為主線的課程內容，以凸顯量感的重要性。《義務教育數學課程標準（2022年版）》中新增了“量感”這一核心素養的主要表現，并指出：“量感主要指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知……建立量感有助于學生養成用定量的方法認識和解決問題的習慣，是形成抽象能力和應用意識的經驗基礎。”［1］。

量感的建立需要經歷“工具度量—復合表象—度量經驗—合理估測”四個步驟，是一個循環往復的過程。其中，工具度量是量感建立的基礎，利用工具度量能使學生在實際度量過程感悟刻畫物體某一方面的屬性（如面的大小）的相關經驗，從而形成相應的度量經驗，這些度量經驗可以支撐學生對物體進行合理的估測，而估測得準確與否，又要借助工具度量進行檢驗，進而判斷學生的量感水平。由此可見，度量既是學生形成量感的起點，又是檢測學生量感水平的標尺，是培育學生量感的重要載體。本文以人教版教材三年級下冊“認識面積”為例，在探討度量內涵的基礎上，說明度量的核心要素，具體包括度量對象、度量標準、度量活動和度量結果。

一、度量的內涵

量可以分為兩類：離散的量和連續的量。離散的量的基本度量方法是“數數”，即數出一堆物體由多少個獨立個體構成，以“1”為度量單位，如1把傘、1間房和1個桃。而連續的量的度量需要規定統一的“度量單位”，借助度量工具進行測量［2］。對于不方便直接度量的量，如速度、體積等，則可以通過計算得到度量的結果。

相應地，度量也可以分為兩類：第一類是對事物個數和順序的度量（指自然數），需要通過抽象得到度量結果，是人類思維的結果；第二類是生活中常見量的度量，需要借助工具得到度量結果，是人類實踐的結果［3］。本文討論的是第二類度量，即將一個待測多少或大小的量與該屬性的一個標準量或單位量進行比較，從而得到該量的量值的過程［4］。簡單來說，就是度量事物含有“多少個”標準量或單位量。

綜上可知，數是對度量結果的表達，度量是數學的本質，是人們創造出來的數學語言，是人們認識、理解和表達現實世界的工具［5］。

二、度量對象的一些屬性

（一）度量對象具有可測量

度量對象聚焦于客觀事物的大小、多少、長短等有關的計量問題，這說明度量對象具有可測量。因此，在教學中，教師要精心創設真實情境，組織學生開展豐富的度量活動，讓他們充分經歷度量的過程，從而體會度量對象的可測量。

例如，在“認識面積”的教學中，可以根據長方形的大小來說明面積的可測量。教師可以安排這樣的度量活動：讓學生分別以圓形、正三角形、小正方形、為測量工具，測量長方形的面積。即引導學生完整經歷“先借助這些測量工具能否大致比較出長方形的面積的大小，再要準確反映長方形面積的大小，思考用什么測量工具（小正方形）作面積單位合適”的過程（如圖1）。在這一過程中，教師帶領學生充分體會面積的可測量，引導他們感悟：面積單位要密鋪所測圖形，且拼擺方便，正方形恰好具有這樣的特點。

（二）度量對象具有唯一性

事物的屬性是多元的，如橘子的形狀、大小（直徑、表面積、體積等）、顏色、質量、氣味、甜度等都是它的屬性。在這些屬性中，有些可以通過度量、運算等數學的方式進行刻畫。

對事物進行度量時，度量對象的唯一性體現在兩個方面：一是只能在多種屬性中鎖定一種屬性作為對象進行度量，二是度量對象的大小是唯一的。例如，在“認識面積”教學中，度量對象只指向面積這種屬性，且每一個度量對象的面積大小是唯一的。雖然度量工具的不同會影響度量結果的精確性，但面積大小不會因為度量工具的不同而發生改變。

三、度量標準的優化

度量標準即度量單位，度量單位的形成會經歷從多元到統一，從粗略到精細的發展過程。度量的基本方法就是將同一度量單位進行不斷累加，同一屬性的多個度量單位組合在一起就形成了度量工具。可見，對度量單位的認識與理解是發展量感的關鍵，教師應重視對度量單位形成過程的教學，讓學生經歷從“自主選擇單位度量”到“使用統一單位度量”的過程。

（一）豐富材料：體驗度量標準的多元

學生的度量方法具有多元性，度量單位就是把不同學生的度量方法標準化，從而確保度量結果的唯一性。教學中，教師要為學生提供豐富的學習材料，鼓勵學生嘗試以不同的度量標準作為度量工具開展度量活動，充分感受度量方法和度量工具的多樣化。

例如，在“認識面積”的教學中，除了圓形、正三角形、小正方形、小長方形，等腰直角三角形、橢圓形、梯形等也可以用作度量標準。事實上，只要度量標準的面積比度量對象小，都可以用作度量標準來度量度量對象的面積。以此，可幫助學生積累豐富的度量經驗，體會度量標準的多元性，感悟統一單位的必要性，深化對概念的理解與把握。

（二）改進策略：經歷度量標準的優化

優化是數學重要的思想方法。教師要設計具有關聯性、進階性的驅動性任務，在具體度量活動中引導學生經歷觀察、操作，通過分析、比較各種度量標準在度量量的大小時的優勢和不足，從建構、解構到重構，不斷改進度量策略，選擇最優策略進行度量，找到最優標準，完整經歷度量標準優化的全過程。

例如，在“認識面積”教學中測量長方形的面積環節，可以設計“用不同形狀的圖形度量—用不同正方形密鋪度量—用邊長為1的正方形密鋪度量”三個層次的度量活動，促使學生充分經歷度量標準的優化過程，深化學生對度量單位意義的理解。

層次一：學生分別用圓、正三角形、正方形作為工具度量長方形的面積。探究發現：每個規則圖形都可以作為度量標準，即長方形面積是由幾個圓的面積組成，長方形面積是由幾個正三角形的面積組成，長方形面積是由幾個正方形的面積組成，其中正方形能鋪滿所測長方形。

層次二：學生用不同的正方形作為工具度量長方形的面積。探究發現：同一長方形可以由幾種不同的正方形的面積組成，從而幫助學生理解統一度量單位的必要性。

層次三：學生分別用邊長為1的正方形作為工具度量長方形的面積。探究發現：同一長方形可以由相同個數的邊長為1的正方形的面積組成，且四條邊一樣長，在擺放時不用考慮方向和位置，作為面積單位更合適。

學生在教師的引導下，用不同形狀和不同邊長的圖形作為度量標準對長方形面積進行度量，通過層層推進，在比較、辨析中得出結論：很多圖形都可以用作度量標準進行度量，其中邊長為1的小正方形是最合適、最方便的圖形，度量的結果也是最準確的，為后面“面積單位”的教學打下基礎。

四、度量活動的設計

豐富多彩的度量活動是發展學生量感的重要基礎。教師可以創設多維度的度量活動，讓學生循序漸進地形成對量的清晰表象，理解其度量本質。

（一）度量對象與標準單位的轉化

度量對象的大小往往不等于一個度量單位的大小，因此，度量就是把度量對象的大小轉化為若干個較小的度量單位的累加。度量時，需要選擇最合適、較小的度量單位來測量度量對象的大小，本質上就是變大為小、用小量大。

例如，在“認識面積”的教學中，以小正方形面積為標準，用若干個小正方形來度量長方形面積的大小，本質上就是把度量對象（長方形的面積）轉化為同一屬性的較小的度量單位（小正方形的面積），用較小的度量單位的累加刻畫度量對象的大小。

（二）具體測量到邏輯演算的漸躍

度量的進階性體現在學生的度量活動，通常會經歷三個階段：第一階段是用一個一個標準單位測量度量對象的大小，既指向量概念的理解，又指向量大小的度量，需要學生在真實情境中進行操作體驗，在這個階段，直接數標準單位數是主要的度量方式；第二階段是用標準單位度量整體量的局部，根據整體量與局部量之間的關系，推演出整體量的大小，這個階段需要將數局部單位數與演算整體單位數相結合；第三階段是不借助具體的單位模型，通過想象、推理、歸納等思維活動，演算特定對象的大小，在這個階段，基于邏輯的演算是主要的度量方式。

例如，人教版教材三年級下冊“面積”單元是發展度量意識的重要內容，教學中，要讓學生反復經歷“擺—數”的活動過程，通過度量活動深化學生對面積概念的理解，理解面積的大小就是指度量對象包含了多少個面積單位，進而體會面積與面積單位之間的關系。在后續“長方形面積的計算”的教學中，需要借助面積與面積單位之間的關系，組織學生經歷“用單位正方形密鋪—用單位正方形部分鋪—不用單位正方形想象鋪”的逐步進階過程（如圖2），從而建立長方形的面積與長方形的長、寬之間的聯系，理解“長×寬”代表了這個長方形包含的面積單位的個數，并歸納出長方形的面積計算公式：長方形的面積=長×寬。

五、度量結果的精確

在度量過程中，學生可以選擇不同的度量標準對圖形的面積進行度量，但是對于同一個度量對象，度量的結果是守恒的。當然，度量中必然存在誤差，在給出度量結果的同時，也要理解其度量的誤差范圍。所謂度量結果的精確，也是指在允許誤差范圍內的精確。但誤差有大有小，教師要引導學生思考誤差產生的原因以及控制誤差產生的策略，進而調整度量的結果，使其更加接近精確［6］。

（一）理解誤差

誤差是度量值與真實值之間的差異。度量活動的目的是得到精確的度量結果，需要運用科學的度量方法和精密的度量工具。但現實生活中沒有絕對完美的度量操作，又因為度量工具的限制，再小的度量單位也無法滿足更精細化的度量需求。因此，誤差是絕對存在的。

（二）控制誤差

雖然誤差是不可避免的，但可以通過使用科學的度量方法和適切的度量工具來控制誤差。例如，在“認識面積”的教學中，一是要使用科學的度量方法，在選用單位小正方形作為度量單位度量長方形的面積時，應盡量減小密鋪的單位小正方形之間的縫隙，盡量不重疊、不超出度量對象的外邊框等。二是要使用適切的度量工具，通過選用不同的圖形（如圓形、正三角形、正方形）進行度量，發現選擇正方形作為度量標準要比圓形、正三角形好，因為正方形平鋪時沒有縫隙，更接近于密鋪，更接近長方形的真實面積。事實上，尋找適切的度量工具的過程就是對度量標準進行優化的過程。雖然在小學階段并沒有對度量提出精確性的要求，但是就在數學學習中培養堅持真理、嚴謹求實的科學態度的角度來講，度量的精確性應該是度量學習的追求。

學生量感的培育并非一日之功，而是一個長期的、不斷體驗、循環反復的成長過程，是一個螺旋上升的過程。只有引導學生積極參加度量活動，在一次次度量活動中積累度量經驗，才能逐步促進學生量感的發展。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］孫思雨，孔企平.“量感”的內涵及培養策略［J］.小學數學教師，2021（7/8）：44-47.

［3］娜仁格日樂，史寧中.度量單位的本質及小學數學教學［J］.數學教育學報，2018，27（6）：13-16.

［4］邵光華，姜夢凡，苗榕峰.新課標視角下的量感及其培養［J］.課程·教材·教法，2023，43（5）：95-101.

［5］史寧中.為什么要強調量感［J］.小學教學（數學版），2021（10）：8-10.

［6］平國強.“量感”及其培養［J］.教學月刊·小學版（數學），2023（1/2）：27-31.

（浙江省杭州大關小學教育集團）