數列求和的常見類型及求解策略

汪金蕾

摘要：數列求和是高考的重點和熱點，能夠培養學生的邏輯推理和數學運算的核心素養。數列求和問題具有靈活多變、技巧性較強等特點，為此本文通過精簡的例題和變式，對數列求和的不同類型進行歸類，旨在提供一個可行的“模板”幫助學生快速地解決數列求和問題。

關鍵詞：核心素養 等差數列 等比數列 數列求和

題型一 公式法

等差數列的前n項和公式：[Sn=n（a1+an）2=na1+n（n-1）2d]，等比數列的前n項和公式：[Sn=na1? ? ? ? ?（q=1）a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q≠1）]

【例1】若[an=2n-1]，求數列[an]的前[n]項和[Sn]。

解：[Sn=n（1+2n-1）2=n2]

【變式】若[an=13?2n-1]，求數列[an]的前n項和[Sn]。

評注：直接代入等差（等比）數列的前n項和公式。

題型二 倒序相加法

這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法. 一個數列[an]與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么可將數列的前n項和Sn正序與倒序的兩式相加，就得到一個常數列的和。

【例2】設[f（x）=（x-12）3]，求[f（12023）+f（22023）+…+f（20212023）+f（20222023）]的值。

解：由題知[f（x）+f（1-x）=0]，設[a=f（12023）+f（22023）+…+f（20212023）+f（20222023）]①，

則[a=f（20222023）+f（20212023）+…+f（22023）+f（12023）]②；由①[+]②可得[2a=0]，則原式=0。

【變式】設[f（x）=x21+x2]，求[f（12023）+f（12022）+…+f（1）+…+f（2022）+f（2023）]的值。

評注：倒序相加時，注意觀察首末兩項自變量的關系，這往往是解題的關鍵。

題型三 錯位相減法

這是推導等比數列的前n項和公式時所用的方法.這種方法主要用于求數列[{an?bn}]的前n項和，其中[an]，[bn]分別是等差數列和等比數列，可運用乘公比錯位相減進行求和。

【例3】若[an=n?2n-1]，求數列[an]的前[n]項和[Sn]。

解：[Sn=1+2?2+3?22+…+n-1?2n-2+n?2n-1]①，

[2Sn=1?2+2?22+…+（n-2）?2n-2+（n-1）?2n-1+n?2n]②，

①-②得[-Sn=1+2+22+…+2n-1-n?2n=1-2n1-2-n?2n]；即[Sn=（n-1）2n+1]

【變式】若[an=（2n-1）13n]，求數列[an]的前n項和[Sn]。

評注：該題型計算量較大，計算時應注意格式和正負號，解題時若含參數，要注意分類討論；該題型也可用裂項相消法。

題型四 裂項相消法

這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。裂項法的實質是將數列中的每項拆成兩項或多項，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和。

【例4】若[an=1n（n+1）]，求數列[an]的前[n]項和[Sn]。

解：由[an=1n-1n+1]，則[Sn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1]

【變式】若[an=1n+n+2]，求數列[an]的前[n]項和[Sn]。

評注：裂項法將通項拆成兩項之差后，需要再通分驗證，乘上系數。

題型五 分組求和法

一個數列的通項公式是由若干個可求和的數列組成的，求和時可分別求和后再將其合并。

【例5】若[an=2n+2n-1]，求數列[an]的前[n]項和[Sn]。

解：[Sn=n（2+2n）2+1-2n1-2=n2+n+2n-1]

【變式】若[an=1（2n-1）（2n+1）+3?2n-1]，求數列[an]的前[n]項和[Sn]。

評注：分組求和的本質是將數列變形為若干個可求和的數列。

題型六 分奇偶求和之隔項等差（等比）

隔項等差（或等比）數列是等差（或等比）數列的延伸與拓展。若[an+t-an=d]（或[an+tan=q]，[q≠0]），其中t為常數，[t∈N*]且[t≥2]，則稱數列[an]是隔項等差（或等比）數列，隔項等差數列的公差為[dt]，隔項等比數列的公比為[qt]，求通項公式時需要討論n的奇偶性。

【例6】若[an]滿足[a1=1]，[a2=1]且[an+2-an=2]，求數列[an]的前n項和[Sn]。

解：當n為奇數時，[a1=1]，[an=a1+（n-1）?1=n]；當n為偶數時，[a2=1]，[an=a2+（n-2）?1=n-1]；

當n為偶數時，[Sn=a1+a3+…+an-1+a2+a4+…+an=1+3+…+1+3+…=n22]；

當n為奇數時，[Sn=Sn-1+an=（n-1）22+n=n2+12]；所以[Sn=n22，n為奇數n2+12，n為偶數，n∈N*]

【變式】若[an]滿足[a1=1]，[a2=1]且[an+2an=2]，求數列[an]的前n項和。

評注：隔項等差（或等比）數列求和關鍵是確定奇數列偶數列的公差（或公比）。

題型七 絕對值型

絕對值型實際是一個去絕對值的過程，將絕對值內的數列進行分類討論，對于n 的不同取值范圍，分別進行求和運算。

【例7】若[an=10-2n]，求數列[{|an|}]的前n項和[Tn].

解：設數列[an]的前n項和為[Sn]；由[an≥0]得[n≤5]，所以當[1≤n≤5]時，[an≥0]，當[n≥6]時，[an<0]；

當[1≤n≤5]時，[Tn=a1+a2+…+an=a1+a2+…+an=Sn=9n-n2]，

當[n≥6]時，[Tn=a1+a2+…+an=a1+…+a5-a6+…an=S5-Sn-S5=2S5-Sn=n2-9n+40]

所以[Tn=9n-n2，1≤n≤5n2-9n+40，n≥6，n∈N*]

【變式】若[an=2n-9]，求數列[{|an|}]的前n項和[Tn]。

評注：絕對值的臨界值就是分類討論的點。

題型八 并項求和法

形如[an=（-1）nf（n）]的擺動數列或成周期性變化的數列，可采用兩項合并求解。而對于前n項求和，涉及奇偶問題，則需要討論n的奇偶性。

【例8】已知[an=（-1）n（2n-1）]，求數列[an]的前2n項和[S2n]。

解：[S2n=-1+3+-5+7+…+[-4n-3+4n-1]=2?n=2n]

【變式】已知[an=-1nn2]，求數列[an]的前2n項和[S2n]。

評注：注意觀察數列的遞推關系，找出相鄰項之間的關系。

數列求和的方法比較多，學生應掌握這幾種常見的數列求和類型，同時在求解過程中需要多觀察多分析數列的遞推關系，找到合適的解決方法。