例談巧設問題鏈促進學生數(shù)學思維發(fā)展

毛晶晶 王喆

【摘要】等比數(shù)列求和涉及錯位相減法，公式的推導過程比較抽象和繁瑣.為了激發(fā)學生的學習興趣、突破教學難點，在教學過程中，如何巧妙設置問題鏈，啟發(fā)學生一步步地探索公式，促進學生數(shù)學思維發(fā)展，是本節(jié)教學設計的關鍵問題.

【關鍵詞】高中數(shù)學；等比數(shù)列求和；錯位相減

等比數(shù)列求和公式的推導過程中采用自主探究教學法.師生共同參與整個教學活動，教師是活動的主導，學生是活動的主體.以問題為導向，啟發(fā)學生自主探索公式.課堂導入部分提出植樹相關的等比數(shù)列求和的問題，讓學生構建等比數(shù)列求和的模型.繼續(xù)通過問題引導學生發(fā)現(xiàn)逐項相加的方法求和比較繁瑣，須引入等比數(shù)列前n項和公式進行求解，體會引入公式的必要性.通過“錦囊提示”引導學生開展探究性學習［1］，以小組討論的方式一步步地推導等比數(shù)列前n項和公式，以加深對錯位相減法的理解.最后提出問題，讓學生利用公式解決前面的“問題2”，體會數(shù)學來源于生活又應用于生活.

1? 創(chuàng)設情境，引入問題

請學生觀看北京沙塵暴視頻，思考怎樣才能改善沙塵暴的問題.

為改善沙塵暴現(xiàn)狀，市民王師傅決心用10天的時間植樹：第1天，他自己種1棵樹；第2天，他發(fā)動一個人和他一起，各種1棵樹；第3天，這兩個人每人再發(fā)動一人加入種樹行列，各種1棵樹.如此繼續(xù)下去……問10天一共需要采購多少棵樹苗？

問題1? 你能計算出前5天他們一共需要采購多少棵樹苗？

1+2+4+8+16=31.

問題2? 王師傅堅持不懈地發(fā)動群眾種樹，那么種樹10天他們一共需要采購多少棵樹苗？（各小組討論）

1+2+4+8+16+32+64+128+512=1023.

小結? 比較兩問的答案，5天需要31棵，而10天竟然需要1023棵樹苗.相信只要群眾都有植樹的意識，加入植樹的行列，沙塵暴的問題一定能夠改善.

請學生思考能否用逐項相加的方法計算100天所需的樹苗呢？

答案：可以，但是計算量比較大.

2? 構建模型，推導公式

引導學生通過觀察發(fā)現(xiàn)每天所需樹苗構成等比數(shù)列，100天所需樹苗就是計算數(shù)列前100項的和.下面我們來研究等比數(shù)列前n項和公式.

問題3? 若 an是以a1為首項，q為公比的一個等比數(shù)列，如何計算前n項和Sn呢？

一般地，設an是一個公比為qq≠0的等比數(shù)列，則它的前n項和

Sn=a1+a2+a3+…an－1+an.①

簡述三國時期劉備給趙云三個錦囊的故事，激發(fā)學生的學習興趣.下面以“三個錦囊”的形式提示大家一步步完成公式的推導過程.計算有困難可以拆錦囊1.

錦囊1? ①式兩邊同乘以公比q.

qSn=a1q+a2q+a3q+…an－1q+anq

=a2+a3+a4+…an+an+1. ②

接下來計算有困難可以拆錦囊2、3.

錦囊2? 尋找①和②相同的項.

相同的項為：a2，a3，a4，...，an，接下來如何計算呢？如果沒有思路可拆錦囊3.

錦囊3? 作差消去相同的項.

①-②得：（1－q）Sn=a1－an+1，

當q≠1時， Sn=a1－an+11－q=a1－anq1－q ；

又由于an+1=a1·qn，

所以Sn=a1－a1·qn1－q=a11－qn1－q .

問題4? 當q=1時，如何計算Sn？（各小組討論）

解? 當q=1時，

即a1=a2=a3=…=an－1=an，

所以Sn=a1+a2+a3+…an－1+an=na1.

…小結? 等比數(shù)列前n項和公式為：

Sn=a1（1－qn）1－q（q≠1），na1（q=1），

或Sn=a1－anq1－q（q≠1），na1（q=1）.

3? 運用公式，學以致用

問題5? 如何用公式計算“問題2”中10天需要采購多少棵樹苗？

解? 每天種樹的棵數(shù)構成的數(shù)列為 ：

1，2，4，8，16…

所以a1=1，q=2，n=10，

由公式Sn=a11－qn1－q，

所以S10=1－2101－2=1023.

答：10天需要采購1023棵樹苗.

4? 結語

本節(jié)課創(chuàng)新了教學設計，通過以植樹為題材設計等比數(shù)列求和相關問題，讓學生直觀感受環(huán)境問題日益嚴重、植樹造林的重要性.接著通過設計一系列有梯度的問題，讓學生發(fā)現(xiàn)用逐項相加的方法在項數(shù)較多時計算較繁瑣，需要引入等比數(shù)列前n項和公式.而在傳統(tǒng)教學中學生探究公式存在困難，所以教師在課前自制三個錦囊，內藏三條提示，學生在錦囊提示下一步步地完成了公式的探究過程.這一環(huán)節(jié)能有效提升學生的學習自信心，加深對錯位相減法的理解，突破教學難點.公式的推導過程運算技巧性強，條理清晰，有利于提升學生的數(shù)學運算、邏輯推理核心素養(yǎng)［2］.最后由特殊到一般，用公式來解決前面的問題，讓學生學以致用、體會數(shù)學的應用價值.

教師在課前設計好具有啟發(fā)性的問題，以問題為導向，引導學生了解知識產生和發(fā)展的必要性和合理性，并學會利用新學的知識和方法解決實際生活中的問題，這對提高課堂教學的實際效果和培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)方面具有十分重要的意義．

參考文獻：

［1］隋雪梅.中學數(shù)學中探究性學習的實踐分析［J］．文理導航（中旬），2022（04）：10-13.

［2］于秀娟.淺談中學數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略［J］.當代家庭教育，2020（24）：35-37.