淺談一道圓錐曲線點對稱問題的解題方法

高華順

【摘要】圓錐曲線是高考的重要考點之一，考查學生對于三種圓錐曲線橢圓、雙曲線、拋物線的理解和運算能力.圓錐曲線本身具有的對稱性往往會對解題起到一定的簡化作用，本文將結合實例探究點對稱問題的解題方法.

【關鍵詞】圓錐曲線；對稱；高中數學

圓錐曲線點對稱問題主要聚焦于圓錐曲線中點，線的對稱性性質或是所要滿足的條件的探究.下面根據一道圓錐曲線點對稱問題來探究此類有關圓錐曲線對稱性的解法方法，以供參考.

題目? 已知橢圓C：x24+y23=1，存在一實數m，使得對于直線l：y=4x+m，橢圓C上有不同的兩點關于這條直線對稱，試確定m的取值范圍.

解法1? 設而不求，利用韋達定理

對于圓錐曲線中需要研究涉及直線與橢圓交點的問題，一般來說在聯立得到關于交點坐標的方程后，并不選擇解出方程的解來表示交點坐標，而是利用韋達定理得到交點坐標之間的關系，整體代入到表達式中驗證或者求解.對于圓錐曲線對稱類問題，交點坐標之間一般是有聯系的，可以簡化運算.

解析? 橢圓上存在兩點A，B關于直線l：y=4x+m對稱，

設直線AB：y=－14x+n，

與橢圓聯立y=－14x+nx24+y23=1，

可得方程13x2－8nx+16n2－48=0.

則由直線AB與橢圓有兩個不同的交點，

可得Δ=－192（4n2－13）>0，

即－132

由韋達定理可得x1+x2=8n13，

則A，B兩點中點的橫坐標為4n13，縱坐標為12n13，

則點4n13，12n13在直線l：y=4x+m上，

代入可得m=－4n13，

結合n的范圍可得－21313

點的對稱一般都要涉及對兩點所構成的線段的中點的坐標進行表示，此時韋達定理所得到的表達式結構就可以符合所需.在表示出中點坐標之后，代入中點需要滿足的條件中，如在某條直線上，就可以得到未知數的值或范圍.

解法2? 數形結合，利用點差法

數形結合思想是解決圓錐曲線問題的重要思想，對于此類對稱問題，可以在畫出簡圖后將題目原本有關對稱的條件轉化為簡圖中可視化的幾何狀態，再利用代數運算得到幾何狀態所需要滿足的條件即可.

解析? 設橢圓上關于l：y=4x+m對稱的兩點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中點為M（x0，y0），將點A，B的坐標代入橢圓方程后，

得到x124+y123=1，x224+y223=1，

作差得kAB=y1－y2x1－x2=－3x04y0=－14，

y0=3x0，

所以以－14為斜率的平行弦的中點軌跡是直線y=3x在橢圓內的一段，不包括端點.

將y=3x與橢圓C：x24+y23=1聯立，

得兩交點P，Q坐標為P－21313，－61313，Q21313，61313，

所以問題可以轉化為直線l：y=4x+m與線段y=3x，x∈－21313，21313有交點.

易得－21313

點差法是解決圓錐曲線對稱問題的一個妙招.利用圓錐曲線表達式結構的特殊性，利用點差法可以得到有關斜率的表達式，再代入相關條件就可以解得弦中點坐標滿足的等式，簡化了運算過程.

解法3? 根據方程根的分布討論

利用方程思想，對于聯立得到的方程的根所滿足的情況進行討論，利用Δ與其方程所代表的函數圖象滿足的性質，就可以得到答案.

解析? 設橢圓上關于l：y=4x+m對稱的兩點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中點為M（x0，y0），將點A，B的坐標代入橢圓方程后得到

x124+y123=1，x224+y223=1，

作差得kAB=y1－y2x1－x2=－3x04y0=－14，

y0=3x0.

因為點M（x0，y0）在直線l：y=4x+m上得

y0=4x0+m，

結合可解得x0=－m，y0=－3m，

所以直線AB的方程為y=－14x－134m，

代入橢圓方程整理可以得到13x2+26mx+169m2－48=0，此方程在［－2，2］上有兩個不相等的實根.

令f（x）=13x2+26mx+169m2－48，

則根據根的分布可以得到

Δ>0，f（2）≥0，f（－2）≥0，－2<－m<2，

解得－21313

此解法的關鍵在于對根所在范圍的限制如何通過代數運算表示，要充分結合函數圖象和題目限制條件討論，以防錯解漏解.

結語

上述三種方法從不同角度解決了這道圓錐曲線點的對稱問題，此類問題的關鍵在于怎么合理轉化對稱的條件，使其變為可以使用的等式.掌握數形結合思想和點差法解決對稱問題的技巧，可以使此類問題迎刃而解.

參考文獻：

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