一道圓錐曲線角最大值問題的解法探究

王新新

【摘要】圓錐曲線最值問題是高考數學壓軸題的常考題型之一，而在解析幾何這一大類中涉及的幾何量如角、邊長、面積是求最值的常見對象.本文依據典型實例探究此類問題的解法思路.

【關鍵詞】圓錐曲線；角最大值；高中數學

在求角最值類型的問題中，難點在于如何將角的最值轉化為研究代數式計算或者利用數形結合思想通過直觀圖形進行求解.本文將根據一道圓錐曲線角最大值問題的典型例題探索此類題目的解題思路.

例題? 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為223，直線l與橢圓C交于A，B兩點，當直線l過橢圓C的焦點，且與x軸垂直時，|AB|=23.

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖1，設直線l過點（1，0）且傾斜角為鈍角，P為弦AB的中點，當∠OPB最大時，求直線l的方程.

圖1

對于問題（1）易得橢圓C的方程為：x29+y2=1.問題（2）有如下幾種解法.

思路1? 轉化為斜率問題，利用正切公式

在解析幾何背景下有關角的表示問題，要注意到角本質上是由直線相交構成的，而與直線有關的角就是直線斜率所代表的傾斜角，對于傾斜角可以用正切公式處理，而角可以由傾斜角相加或相減得到，因此利用兩角和差的正切公式就可以表示出角的正切值大小.

解? 設點A（x1，y1），B（x2，y2），

則直線AB的方程為y=k（x－1）（k<0）.

由A，B兩點在橢圓上可得

x129+y12=1，x229+y22=1.

兩式相減整理得到y12－y22x12－x22=－19，

即y1+y2x1+x2·y1－y2x1－x2=－19，

根據斜率的表達式此等式可化為kOPkAB= －19，

所以kOP=－19k.

設直線l，OP的傾斜角分別為α，β，

則∠OPB=α－β，tan∠OPB=tan（α－β）

=tanα－tanβ1+tanαtanβ=98k+19k

=－98－k+1－9k≤－98×23=－34.

當且僅當k=－13時取等號，

所以直線l的方程為y=－13（x－1）.

正切值是研究角大小最有效的三角函數形式，在運算過程中，要注意所求角是由哪兩條直線相交構成的，應該如何通過角之間的轉化得出，選取不同的角運算量一般也不相同.

思路2? 轉化為向量的坐標運算

向量是解決解析幾何問題的重要工具，因為向量點乘公式中帶有角的余弦值形式，所以可以找到兩向量夾角即為所成角的向量，再結合題目條件代入向量的坐標形式運算，即可得到角的余弦值并討論大小.

解? 設直線AB的方程為y=k（x－1）（k<0），

點A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

則由A，B兩點在橢圓上可得

x129+y12=1，x229+y22=1.

兩式相減整理得到y12－y22x12－x22=－19，

即y1+y2x1+x2·y1－y2x1－x2=－19，

根據斜率的表達式此等式可化為kOPkAB=－19，

所以kOP=－19k.

易得y0=－x09k.

當∠OPB最大時，∠OPA最小，

結合圖形可知∠OPA∈0，π2.

由PA=12BA，

cos∠OPA=|PO·PA||PO‖PA|=|PO·BA||PO‖BA|

=|x0+ky0|1+k2·x02+y02

=8911+k2·1+181k2

=891+181k2+k2+181≤45，

當且僅當k=－13時取等號，

所以直線l的方程為y=－13（x－1）.

在討論時要先確定角的大致范圍，理清余弦函數在此區間內的變化趨勢，其次在得到最值后要對取等條件進行回代，對角的范圍進行檢驗.

思路3? 利用點到直線的距離公式，并結合正弦值討論

點到直線的距離公式：對于平面上一點（x0，y0），其到直線l：Ax+By+C=0（其中A，B不同時為零）的距離d=|Ax0+By0+C|A2+B2.通過將角對應的邊的長度表示出來，再結合其斜邊的長度表達式，就可以得到角的正弦值.對于正弦值的大小進行討論即可.

解? 當∠OPB最大時，∠OPA最小，

由圖形可知∠OPA∈0，π2.

要使∠OPA最小，在此范圍內，可以轉化為sin∠OPA最小.

設點A（x1，y1），B（x2，y2），

直線AB的方程為y=k（x－1）（k<0），

與x29+y2=1聯立，

可得（9k2+1）x2－18k2x+9k2－9=0，

所以x1+x2=18k29k2+1，

y1+y2=k（x1+x2－2）=－2k9k2+1，

得到點P的坐標為（9k29k2+1，－k9k2+1）.

由原點到直線l的距離d=－kk2+1，

則點O到點P的距離可表示為

|OP|=（9k29k2+1）2+（－k9k2+1）2

=－k81k2+19k2+1，

對于∠OPA的正弦形式可得

sin∠OPA=d|OP|=9k2+1（k2+1）（81k2+1）

=81k4+18k2+181k4+82k2+1，

對此式進行變換得1－64k281k4+82k2+1=1－6481k2+1k2+82≥35.

當且僅當k=－13時等號成立，所以直線l的方程為y=－13（x－1）.

在討論角的大小之前要先確定角的范圍，在對正弦值表達式進行化簡的過程中要利用齊次構造思想，將其轉化為可以使用基本不等式的形式，再進行運算即可.

結語

以上三種方法從三個層面解決了這道圓錐曲線角最大值問題，核心就在于如何將難以通過計算研究的角的大小轉換為代數的運算.其次無論是三角函數的哪一種表示方法，都要注意對角的范圍進行討論，這樣才能避免錯解漏解的情況.