“三招”解決一道解三角形長度比值問題

李娟

【摘要】解三角形問題是高考數學中的重要考點，題型多樣，主要研究三角形中的角、邊等幾何量的范圍或者比值大小，涉及知識點廣泛.本文根據實例探討此類問題的妙解妙法，以供讀者參考.

【關鍵詞】高中數學；解三角形；正、余弦定理

在做此類題目時，首先要對基本的知識點有所掌握，如正、余弦定理和正、余弦公式以及基本的三角代換等等.有時還需要借助三角函數利用導數進行研究.下面就根據一道例題來談談此類解三角形長度比值問題的解法.

例題? 如圖1所示，正三角形ABC內有一點P，∠BPC=π2，∠APC=5π6，連接AP并延長交BC于點D，則|CD||CB|=.

圖1

解析? 本題以點的位置為基礎，在正三角形這樣的特殊三角形背景下研究長度比值問題，同時利用了“布洛卡點”這樣的拓展情境，符合新高考對于題目創新的要求，具有很好的區分度.

方法1? 有機轉化邊和角

解決三角形問題重點要關注三角形的邊和角，就是利用題目中的條件將各種不同的三角形的邊和角進行結合討論.雖然是一個整體的題目，但是往往在研究時先聚焦于一個三角形，利用正、余弦定理，三角形面積公式等知識點進行運算，有時還會出現題目中的條件難以處理的情況，也可以另外設元，構造相關的等式來研究.

解? 設正三角形ABC的邊長為2，

|CD|=2λ，∠CDP=θ.

在△CAD中，∠CAD=2π3－θ，

由正弦定理可得|CD|sin2π3－θ=CAsinθ，

代入得λ=sin2π3－θsinθ.

在Rt△CPB中，可得

|CP|=|CB|cos∠BCP=2cos5π6－θ.

在△CDP中，由正弦定理可得|CD|sinπ6=|CP|sinθ，

代入可得λ=cos5π6－θ2sinθ.

由上述兩式可得cos5π6－θ=2sin2π3－θ.

展開并整理可得tanθ=－33.

于是得到λ=sin（2π3－θ）sinθ=13.

所以|CD||CB|=2λ2=λ=13.

將角與邊的關系經過合理的轉化變為有用的條件代入到所需的表達式中后就需要合理運用設參的技巧，借助正、余弦定理，三角恒等式就可以得到基本的關系式，從而解出所需要的量.在運算過程中合理使用中間量也是解決此類問題的重要方法.

方法2? 面積表示方法等價轉化

面積表示方法等價轉化的關鍵在于找到適合于面積轉化的三角形，并且對于待求的量，要使其能夠通過面積等式轉化得出.所以在面積的表示形式上就會有所講究，有時不僅需要代數運算，還需要從幾何圖形上觀察出一些特征，從而達到簡化過程的目的.

解? 設∠CBP=θ，

則有∠ABP=π3－θ，

而∠APB=2π3，

則知∠PAB=θ.

在Rt△BPC中，

|PB|=|BC|cosθ，|PC|=|BC|sinθ.

在△APB中，有|PB|sinθ=|AB|sin2π3，

從而可得|PB|=233|AB|sinθ=|BC|cosθ，

又因為|AB|=|BC|，

所以tanθ=32.

所以|CD||DB|=S△PCDS△PDB=12|PC‖PD|sinπ612|PB‖PD|sinπ3

=|PC|sinπ6|PB|sinπ3=12|BC|sinθ32|BC|cosθ

=tanθ3=12.

因此根據|CD|，|CB|，|DB|三者的關系可得|CD||CB|=13.

此方法是解三角問題的常用方法，在發現同底或者等高的三角形時，就可以考慮在三角形之間建立相應的關系，再將其面積通過同一變量表示出來，解出相對應的特殊點，就可以得到答案.同時表示面積時還需要考慮用哪個角作為夾角來計算，也會在運算上起到作用.

方法3? 運用正弦定理轉化

正弦定理中最常見的形式就是比值，有時還需要將外接圓半徑當做一個中間量來求解，但是往往不需要解出具體的數值，只需要解出表達式即可.在使用正弦定理時，也可以將其它三角形中的正弦定理形式寫出，根據補角的正弦值相等的性質，也可以得到需要的條件.

解? 設∠CBP=θ，

則有∠ABP=π3－θ，

而∠APB=2π3，

則知∠PAB=θ.

在Rt△BPC中，

|PB|=|BC|cosθ，|PC|=|BC|sinθ.

在△APB中，結合正弦定理有|PB|sinθ=|AB|sin2π3，

從而可得|PB|=233|AB|sinθ=|BC|cosθ，

又因為|AB|=|BC|，

所以tanθ=32.

在△ABD中，再次結合正弦定理可得

|BD|sinθ=|AB|sin2π3－θ.

然后由此式整理可得

|BD|=|AB|sinθsin2π3－θ=23|AB|

=23|BC|.

所以|CD||CB|=13.

對于長度比值問題，題目中的條件肯定會混雜著三角形的角和邊兩個方面，此時正弦定理就可以建立兩者之間的橋梁.在直接用長度算比值難度較大的情況下，就可以嘗試轉化成角的形式進行比較，有時可能有意想不到的效果.

結語

以上三種方法從三角形之間的轉化，面積的轉變，正弦定理邊角的互換三個方面解決了這道問題.在運算時合理采取數形結合的思想也能達到簡化運算的目的.總的來說，解三角形問題是常用到數形結合思想的一類問題.充分利用三角形三角有關公式，將知識串聯起來，問題就可迎刃而解.