“不動”點“妙”解數列通項

王春宇

【摘要】數列是不動點妙解的重要應用領域，但有些數列的通項公式由于遞推關系的復雜性而難以求解.本文介紹不動點妙解數列通項的方法，通過尋找數列中的不動點，將數列中的某一項作為參數，代入遞推關系式中，求解得到該項的通項公式.該方法可以簡化數列遞推關系的處理，使得求解數列通項公式更加容易.

【關鍵詞】高中數學；數列；不動點

數列在高中數學中占有很重要的地位，而有些數列的通項公式由于數列遞推關系的千變萬化變得很復雜.定義方程f（x）=x的根為函數f（x）的不動點，通過函數不動點，可把數列遞推關系an=fan－1轉化為我們熟知的等差數列、等比數列或較易求通項的數列

命題1? 形如an=pan－1+q（p≠0），λ是此形式an=f（an－1）的不動點，即λ=pλ+q，則an－λ=p（an－1－λ），這樣我們就得到{an－λ}的等比數列.

證明? 因為an－λ=pan－1+q－λ=pan－1+q－pλ－q=p（an－1－λ），

所以{an－λ}為等比數列.

命題2? 形如an=aan－1+bcan－1+d（c≠0，ad－bc≠0），λ是此形式an=f（an－1）的不動點，即λ=aλ+bcλ+d，則1an－λ=cλ+da－cλ·1an－1－λ+ca－cλ（a，b，c，d，λ為常數），令bn=1an－λ，這樣我們就得到形如an=pan－1+q.

證明? 因為λ=aλ+bcλ+d，

所以b－dλ=cλ2－aλ，

所以1an－λ=1aan－1+bcan－1+d－λ

=1（a－cλ）an－1+b－dλcan－1+d=can－1+d（a－cλ）an－1+b－dλ=can－1+d（a－cλ）an－1+cλ2－aλ=can－1+d（a－cλ）（an－1－λ）=c（an－1－λ）+cλ+d（a－cλ）（an－1－λ）=cλ+da－cλ·1an－1－λ+ca－cλ.

例1? 已知數列an的首項為a1=5，前n項和為Sn，且Sn＋1=2Sn+n+5（n∈N*），求數列an的通項公式.

解? 由已知Sn＋1=2Sn+n+5，

得當n≥2時，Sn=2Sn－1+（n-1）+5，

兩式相減，得an＋1=2an+1（n≥2），

當n=1時，S2=2S1+6，

即a1+a2＝2a1+6，

即a2=a1+6，

又a1=5，所以a2=11，

從而a2=2a1+1，

故an＋1=2an+1對n∈N*成立.

令x=2x＋1，則x=-1，在遞推式an＋1=2an+1兩邊同時減去－1，

即an＋1+1=2（an+1），

所以數列{an+1}是公比為2的等比數列，

所以an+1=（a1+1）×2n－1=6×2n－1，

故an=3×2n-1（n∈N*）.

例2? （重慶高考題）設數列an滿足a1=1，8an+1an－16an+1+2an+5=0（n≥1），求數列an的通項公式.

解? 方法1

化簡8an+1an－16an+1+2an+5=0，

得an+1=2an+516－8an，

令x=2x+516－8x，

則x=12或54.

在遞推式an+1=2an+516－8an兩邊同時減去12，

即an+1－12=2an+516－8an－12，

化簡得1an+1－12=21an－12－43.

令bn=1an－12，

得bn+1=2bn－43，

再令λ=2λ－43，則λ=43，

從而bn+1－43=2bn－43，

故bn－43=2n－1b1－43.

又b1=1a1－12=2，

從而得bn=4+2n3.

又bn=1an－12，

故an=5+2n－14+2n.

方法2? 化簡8an+1an－16an+1+2an+5=0，

得an+1=2an+516－8an，

令x=2x+516－8x，則x=12或54.

在遞推式兩邊同時減去12或54，

即an+1－12=6（an－12）16－8an，

an+1－54

=12（an－54）16－8an，

所以an+1－12an+1－54=12an－12an－54，

從而an－12an－54=12n－1a1－12a1－54=－42n，

所以an=5+2n－14+2n.

對于求此類一次齊次分式數列通項，方法1不管有一個不動點還是兩個不同不動點都可以，但方法2要求更苛刻一些，它要求有兩個不同的不動點.

結語

數列很能鍛煉學生的思維，它有一定的技巧，不動點“妙”解數列（特別是分式數列）通項就是這樣的一種技巧，我們要一看到求數列通項就看看“不動點法”可不可以用，靈活運用它.其實不動點還可以解決更多的數列通項的題，大家如果有興趣可以更深入地探究，只要大膽嘗試，就會有發現.千變萬化的遞推關系，“不動”點以靜制動，點到路“通”，“妙”解分式數列.

參考文獻：

［1］侯雪花.等差數列、等比數列的一個新的性質［J］.2007（19）：17-18.

［2］張玉良.基于構造法的高中數學解題教學——以等差、等比數列為例［J］.2019（13）：135.

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