高中數學解題教學中學生高階思維能力的培養

于素娟

【摘要】本文以“恒成立求參數問題”解題為例，探究高中數學解題過程中思維能力的培養路徑.高中數學教師需要深挖題目中的思維訓練點，通過有針對性的解題訓練促進學生的高階思維發展.

【關鍵詞】高中數學；高階思維；恒成立求參數

布魯納的研究將學習分為六個水平，其中前三種為低階思維，后三種為高階思維.數學作為一門研究數量關系和空間形式的科學，在新課程下的數學教學中，培養學生的數學思維品質已成為關鍵.高中數學教師應以高階思維能力為基礎，以解題教學為載體，促進學生在有針對性的解題訓練中發展高階思維.

1? 精心選擇題目，奠定高階思維發展基礎

在高中數學解題教學中，為了促進高階思維的發展，教師必須要精心選擇題目，力求選擇具備代表性的題目，確保學生能夠在題目解答過程中提升高階思維的發展.

根據這一原則，在基于“恒成立求參數問題”培養學生高階思維時，筆者為學生精心設計了一道題目：

已知x≥1時，xlnxx+1≤m（x－1）恒成立，求實數m的取值范圍.

2? 開放式解題，促進高階思維發展

以往，高中數學教師在解題教學中，基本上都是按照傳統的解題教學思路進行，這種解題教學模式嚴重束縛了學生思維發展.鑒于此，為了培養學生的數學高階思維能力，教師需要打破傳統的解題教學模式，為學生構建一個更加開放性的解題課堂，使得學生在主動思考、交流探究中，提升思維的廣闊性和靈活性，促進高階思維的發展［2］.

在本題的解題教學中，教師首先引領學生進行思考，形成第一種常見的解題策略：

當x＞1時，題目中左邊恒大于零，所以m>0.

設f（x）=xlnxx+1－m（x－1），

則f（x）≤0對x≥1恒成立，

且f′（x）=x+lnx+1（x+1）2－m.

令g（x）=x+lnx+1（x+1）2，

則有g（1）=12，

又因為g′（x）=－x2－2xlnx+1x（x+1）3<0，

因此g（x）為遞減函數，所以g（x）∈0，12.

當m≥12時，f′（x）≤0，則f（x）遞減，

又f（1）=0，所以f（x）≤0，因此m≥12；

當0＜m＜12時，基于零點存在性定理，存在唯一x0∈（1，+∞），使得f′（x0）=0；

根據g（x）為遞減函數，

及f′（x）=x+lnx+1（x+1）2－m=g（x）－m知，

f′（x）為嚴格減函數，故當x∈（1，x0）時，f′（x）>0，所以f（x）在（1，x0）上嚴格增，從而f（x）>f（1）=0，與f（x）≤0不符，因此0＜m＜12不合題意，舍去.

綜上得知m≥12.

在完成上述解題之后，教師帶領學生對這一解題思路展開分析，明確其優缺點.在此基礎上，教師引導學生持續思考，尋找新的解題路徑.學生經過自主思考和交流，提出了運用構造函數的方法，將原題目轉化成為求函數最值問題進行解答：

xlnxx+1≤m（x－1）xlnx≤m（x2－1），

令h（x）=xlnx－m（x2－1），則h（x）≤0對x≥1恒成立，

且h′（x）=lnx+1－2mx

=xlnx+1x－2m，

設g（x）=lnx+1x，g′（x）=－lnxx2≤0，因此，g（x）在1，+∞上嚴格減，所以g（x）∈0，1.

當2m≥1時，h′（x）≤0，因此，h（x）在1，+∞嚴格減，

又h（1）=0，所以h（x）≤0；

當2m≤0時，h′（x）≥0，因此，h（x）在1，+∞嚴格增，h（1）=0，所以h（x）≥0，

當0＜2m＜1時，h′（x）在1，+∞存在唯一零點，設h′（x0）=0.當x∈（1，x0）時，h′（x）>0，因此h（x）在［1，x0）上嚴格增.所以x∈（1，x0）時，h（x）＞0.

綜上得出m≥12.

在利用構造函數解決問題的基礎上，為了進一步培養學生的高階思維，教師在教學中聚焦構造函數解決問題的過程，提出問題：構造函數解決問題時，需要對參數進行討論.那么通過什么樣的解題方法可省去參數討論，或者減少參數討論現象呢？在這一問題的引導下，學生再次進行思考，形成了如下解題法：

當x=1時，m∈R；

當x＞1時，m≥xlnxx2－1.

令g（x）=xlnxx2－1，

因為g′（x）=x2（1-lnx）-lnx-1（x2-1）2，根據其形式可知函數值隨著x的增大而減少，且當x等于1時，g′（x）取得最大值為0，故可得g′（x）=x2（1－lnx）－lnx－1（x2－1）2≤0，即g（x）在（1，+∞）上遞減，所以m≥limx→1xlnxx2－1，由于f（x）與g（x）符合洛必達法則的零比零型計算公式中的limx→af（x）=0，limx→ag（x）=0條件，故根據洛必達法則零比零型計算公式：limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=A，可得limx→1xlnxx2－1=limx→1lnx+12x，

因此m≥12［3］.

3? 結語

綜上所述，新課程下，培養學生的高階思維能力已經成為高中數學課堂教學的重中之重.鑒于此，高中數學教師在組織課堂教學時，應充分發揮解題教學這一載體，努力轉變傳統的解題教學方式.結合教學內容，精心選擇練習題目，并為學生營造一個開放性的解題環境，引領學生從多個角度探究，從而促進數學高階思維的發展.

參考文獻：

［1］劉娜娜.通過多種思維技巧優化高中數學解題研究［J］.數理化解題研究，2023（06）：29-31.

［2］王梅玲.基于高階思維培養的高中數學教學策略實踐與研究［D］.濟南：濟南大學，2022.

［3］舒華瑛.高中數學解題教學中學生高階思維能力的培養——以恒成立求參數問題為例［J］.延邊教育學院學報，2021，35（05）：205-209+214.